全国各地名校中考数学5月试卷分类汇编 开放探究型问题.doc

开放探究型问题一、选择题1、（2013浙江省宁波模拟题）课题研究小组对附着在物体表面的三个微生物（课小组成员把他们分别标号为，）的生长情况进行观察记录这三个微生物第一天各自一分为二，产生新的微生物（分别被标号为，），接下去每天都按照这样的规律变化，即每个微生物一分为二，形成新的微生物（课题组成员用如图所示的图形 进行形象的记录）那么标号为的微生物会出现在（ ） a第天 b第天 c第天 d第天11211110121201918171615141354987623（第12题图）答案：caebcdf2、（2013山东德州特长展示）如图，在abc中，点e 、d、f分别在边ab、bc、ca上，且deac，dfab下列说法中错误的是( ) a四边形aedf是平行四边形b如果bac=90 ，那么四边形aedf是矩形c如果adbc，那么四边形aedf是正方形d如果ad平分bac，那么四边形aedf是菱形二、填空题1、（2013河南沁阳市九年级第一次质量检测）如图，rtabc中，在ac边上取点o画圆使o经过a、b两点，下列结论中：；以o为圆心，以oc为半径的圆与ab相切；延长bc交o与d，则a、b、d是o的三等分点正确的序号是 (多填或错填不给分)2、（2013年湖北省武汉市中考全真模拟）已知在矩形abcd中，ab=3，bc=4，p为对角线ac上一点，过p作bp的垂线交直线ad于点q，若apq为等腰三角形，则ap的长度为 或 . 3.6或1三、解答题第1题图1（2013年安徽初中毕业考试模拟卷一）如图，在中，ac=6，bc=8，ab=10，点d、e分别在ab、ac上，且de将的周长分成相等的两部分，设ae=，ad=，的面积为s.（1）求出与的函数关系式，并写出的取值范围；（2）求出s关于的函数关系式，并判断s是否有最大的值，若有，则求出其最大值，并指出此时的形状；若没有，请说明理由. 答案：（1）de平分abc的周长，即yx12y关于x的函数关系式为：y12x（2x6）（2）过点d作dfac，垂足为ff，即，abc是直角三角形，acb90，即故当x6时，s取得最大值此时，y1266，即aead因此，ade是等腰三角形2. （2013年北京房山区一模）已知，抛物线，当1x5时，y值为正；当x1或x5时，y值为负.（1）求抛物线的解析式.（2）若直线（k0）与抛物线交于点a（，m）和b（4，n），求直线的解析式.（3）设平行于y轴的直线x=t和x=t+2分别交线段ab于e、f，交二次函数于h、g.求t的取值范围是否存在适当的t值，使得efgh是平行四边形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由.答案：解：（1）根据题意，抛物线与x轴交点为（1,0）和（5,0）-1分，解得.抛物线的解析式为. -2分 （2）的图象过a（，m）和b（4，n）两点 m=，n=3 ， a（，）和b（4，3） - 3分 直线（k0）过a（，）和b（4，3）两点，解得.直线的解析式为. -4分（3）根据题意，解得t2 -5分根据题意e（t，），f（t+2，） h（t，），g（t+2，），eh=，fg=. 若efgh是平行四边形，则eh=fg，即= 解得t=， - -6分t=满足t2. 存在适当的t值，且t=使得efgh是平行四边形.-7分3. （2013年北京龙文教育一模） 如图，在平面直角坐标系xoy中,二次函数的图象与轴交于（-1,0）、（3,0）两点, 顶点为.(1) 求此二次函数解析式； (2) 点为点关于x轴的对称点，过点作直线：交bd于点e，过点作直线交直线于点.问：在四边形abkd的内部是否存在点p，使得它到四边形abkd四边的距离都相等，若存在，请求出点p的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 在（2）的条件下，若、分别为直线和直线上的两个动点，连结、，求和的最小值.第3题图答案：解:(1) 点a、b的坐标分别为（-1,0）、（3,0）， 解得 二次函数解析式为. 2分 （2）可求点c的坐标为（1，） 点d的坐标为（1，）.可求 直线ad的解析式为 .由题意可求 直线bk的解析式为. 直线的解析式为, 可求出点k的坐标为(5,).易求 . 四边形abkd是菱形. 菱形的中心到四边的距离相等， 点p与点e重合时，即是满足题意的点，坐标为（2， ） . 5分 (3) 点d、b关于直线ak对称, 的最小值是.过k作kfx轴于f点. 过点k作直线ad的对称点p,连接kp,交直线ad于点q, kpad. ak是dab的角平分线, . 的最小值是.即bp的长是的最小值. bkad, . 在rtbkp中,由勾股定理得bp=8. 的最小值为8. 8分4（2013年北京顺义区一模）如图，已知抛物线与轴交于点，且经过两点，点是抛物线顶点，是对称轴与直线的交点，与关于点对称（1）求抛物线的解析式；（2）求证：；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使与相似若有，请求出所有符合条件的点的坐标；若没有，请说明理由第4题图答案：解：（1）将点代入得 1分解之得，所以抛物线的解析式为 2分（2）由（1）可得抛物线顶点 3分 直线的解析式为 由是对称轴与直线的交点，则 由与关于点对称 ，则4分证法一：从点分别向对称轴作垂线，交对称轴于在和中，所以所以 5分证法二：直线的解析式为点 关于对称轴的对称点是将点代入可知点在直线所以 （3）在中，三内角不等，且为钝角 若点在点下方时，在中，为钝角因为，所以和不相等所以，点在点下方时，两三角形不能相似 6分 若点在点上方时，由，要使与相似只需（点在之间）或（点在的延长线上）解得点的坐标为或 8分第1题图5（2013年安徽初中毕业考试模拟卷一）如图，在中，ac=6，bc=8，ab=10，点d、e分别在ab、ac上，且de将的周长分成相等的两部分，设ae=，ad=，的面积为s.（1）求出与的函数关系式，并写出的取值范围；（2）求出s关于的函数关系式，并判断s是否有最大的值，若有，则求出其最大值，并指出此时的形状；若没有，请说明理由. 答案：（1）de平分abc的周长，即yx12y关于x的函数关系式为：y12x（2x6）（2）过点d作dfac，垂足为ff，即，abc是直角三角形，acb90，即故当x6时，s取得最大值此时，y1266，即aead因此，ade是等腰三角形6. （2013年北京房山区一模）已知，抛物线，当1x5时，y值为正；当x1或x5时，y值为负.（1）求抛物线的解析式.（2）若直线（k0）与抛物线交于点a（，m）和b（4，n），求直线的解析式.（3）设平行于y轴的直线x=t和x=t+2分别交线段ab于e、f，交二次函数于h、g.求t的取值范围是否存在适当的t值，使得efgh是平行四边形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由.答案：解：（1）根据题意，抛物线与x轴交点为（1,0）和（5,0）-1分，解得.抛物线的解析式为. -2分 （2）的图象过a（，m）和b（4，n）两点 m=，n=3 ， a（，）和b（4，3） - 3分 直线（k0）过a（，）和b（4，3）两点，解得.直线的解析式为. -4分（3）根据题意，解得t2 -5分根据题意e（t，），f（t+2，） h（t，），g（t+2，），eh=，fg=. 若efgh是平行四边形，则eh=fg，即= 解得t=， - -6分t=满足t2. 存在适当的t值，且t=使得efgh是平行四边形.-7分7. （2013年北京龙文教育一模） 如图，在平面直角坐标系xoy中,二次函数的图象与轴交于（-1,0）、（3,0）两点, 顶点为.(1) 求此二次函数解析式； (2) 点为点关于x轴的对称点，过点作直线：交bd于点e，过点作直线交直线于点.问：在四边形abkd的内部是否存在点p，使得它到四边形abkd四边的距离都相等，若存在，请求出点p的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 在（2）的条件下，若、分别为直线和直线上的两个动点，连结、，求和的最小值.第3题图答案：解:(1) 点a、b的坐标分别为（-1,0）、（3,0）， 解得 二次函数解析式为. 2分 （2）可求点c的坐标为（1，） 点d的坐标为（1，）.可求 直线ad的解析式为 .由题意可求 直线bk的解析式为. 直线的解析式为, 可求出点k的坐标为(5,).易求 . 四边形abkd是菱形. 菱形的中心到四边的距离相等， 点p与点e重合时，即是满足题意的点，坐标为（2， ） . 5分 (3) 点d、b关于直线ak对称, 的最小值是.过k作kfx轴于f点. 过点k作直线ad的对称点p,连接kp,交直线ad于点q, kpad. ak是dab的角平分线, . 的最小值是.即bp的长是的最小值. bkad, . 在rtbkp中,由勾股定理得bp=8. 的最小值为8. 8分8（2013年北京顺义区一模）如图，已知抛物线与轴交于点，且经过两点，点是抛物线顶点，是对称轴与直线的交点，与关于点对称（1）求抛物线的解析式；（2）求证：；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使与相似若有，请求出所有符合条件的点的坐标；若没有，请说明理由第4题图答案：解：（1）将点代入得 1分解之得，所以抛物线的解析式为 2分（2）由（1）可得抛物线顶点 3分 直线的解析式为 由是对称轴与直线的交点，则 由与关于点对称 ，则4分证法一：从点分别向对称轴作垂线，交对称轴于在和中，所以所以 5分证法二：直线的解析式为点 关于对称轴的对称点是将点代入可知点在直线所以 （3）在中，三内角不等，且为钝角 若点在点下方时，在中，为钝角因为，所以和不相等所以，点在点下方时，两三角形不能相似 6分 若点在点上方时，由，要使与相似只需（点在之间）或（点在的延长线上）解得点的坐标为或 8分9、(本题满分15分)如图（1），p为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点(1).如点p为锐角的费马点且abc60，pa=3，pc=4，求pb的长。(4分)(2).如图（2），在锐角外侧作等边连结求证：过的费马点，且(6分)(3).已知锐角，acb60，分别以三边为边向形外作等边三角形abd,bce,acf,请找出的费马点，并探究sabc与sabd的和,sbce与sacf的和是否相等。(1+4分)acb图（1）图（2）解：由abp与bpc相似,得pb2=papc,pb=2 ；（2）在bb上取点p，使bpc=120，连接ap，再在pb上截取pe=pc，连接ce，bpc=120,epc=60，pce是正三角形。acb图（1）图（2）pc=ce,pce=60,ceb=120.acb是正三角形,ac=cb,acb=60.pca+ace=ace+ecb=60,pca=ecb,acpbce,apc=bec=120,pa=eb,p为锐角的费马点.bb过的费马点p,且bb=eb+pb+pe=pa+pb+pc.（3） 连接dc,bf交与点p，则p为锐角的费马点.在dac与baf中,da=ba,dac=baf,ac=af,dacbaf.sdac=sbaf,acb=caf=60,afbc.sbaf=scaf, sdac=scaf.同理可证sdbc=sbec,.sacf+sbce=sdac+sdbc=sabc+sabd10. 如图1，在面积为3的正方形abcd中，e、f分别是bc和cd边上的两点，aebf于点g，且be=1（1）求证：abebcf；（2）试求abe和bcf重叠部分的面积；（3）如图2，将abe绕点a逆时针方向旋转到abe，点e落在cd边上的点e处，则abe在旋转前后与bcf重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由（1）证明：正方形abcd中，abe=bcf=90，ab=bc， abf+cbf=900， aebf， abf+bae=900， bae=cbf， 2分 abebcf. 3分（2）正方形面积为3，ab=.又be=1，tanbae=bae=30，cbf=30 5分ge=，gb=. 6分（3）没有变化. 7分由（2）可知bae=30.ab=ad, abe= ade=90,ae公共，rtabertabe rtadedae=bae=bae=30ab与ae在同一直线上，即g点就是ab与bf的交点，如图所示.设bf与ae的交点为h，rtbagrthag. 11分s四边形hgbe= sbge即abe在旋转前后与bcf重叠部分的面积没有发生变化. 11. （黑龙江2013）(本题10分)如图，平面直角坐标系中o为坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于a、b两点，c为oa中点；（1）求直线bc解析式；（2）动点p从o出发以每秒2个单位长度的速度沿线段oa向终点a运动，同时动点q从c出发沿线段cb以每秒个单位长度的速度向终点b运动，过点q作qmab交x轴于点m，若线段pm的长为y，点p运动时间为t( )，求y于t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，以pc为直径作n，求t为何值时直线qm与n相切.解：（1） x=0时，y=6；y=0时，x=8， b（0,6） a(8，0) c为oa中点，c（4,0） （1分）设bc：4k+b=0， b=6，k= y=x+6 （1分） （2）qmab （1分）cm=t， （1分） 0t4时，pm= （0t4）（1分） （3）过n点作nhmq交直线mq于h点n为pc的中点，mn=（1分）mqabqmc=baosinqmc=sinbao=nh=2=（1分）pc=（1分）=2=，解得，或（1分）综上，或时，直线qm与n相切第27题图12、（2013山东德州特长展示）（本小题满分12分）已知：如图，在rtabc中，acb=90，bc=3 ，tanbac=，将abc对折，使点c的对应点h恰好落在直线ab上，折痕交ac于点o，以点o为坐标原点，ac所在直线为x轴建立平面直角坐标系（1）求过a、b、o三点的抛物线解析式；（2）若在线段ab上有一动点p，过p点作x轴的垂线，交抛物线于m，设pm的长度等于d，试探究d有无最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由（3）若在抛物线上有一点e，在对称轴上有一点f，且以o、a、e、f为顶点的四边形为平行四边形，试求出点e的坐标bacohxy解：（1）在rtabc 中，bc=3 ，tanbac=，ac=4ab=设oc=m，连接oh，如图，由对称性知，oh=oc=m，bh=bc=3，bho=bco=90，ah=abbh=2，oa=4m在rtaoh 中， oh2+ah2=oa2，即m2+22=(4m)2，得 m=oc=，oa=acoc=，o（0，0） a（，0），b（，3）2分设过a、b、o三点的抛物线的解析式为：y=ax（x）把x=，y=3代入解析式，得a=y=x（x）= 即过a、b、o三点的抛物线的解析式为y=4分（2）设直线ab的解析式为y=kx+b，根据题意得： 解之得 k= ，b=直线ab的解析式为y=6分设动点p（t，），则m（t，）7分d=（）（）= 当t=时，d有最大值，最大值为28分ybacohxe2e1e3d(3)设抛物线y=的顶点为dy=，抛物线的对称轴x=，顶点d（，）根据抛物线的对称性，a、o两点关于对称轴对称 当ao为平行四边形的对角线时，抛物线的顶点d以及点d关于x轴对称的点f与a、o四点为顶点的四边形一定是平行四边形这时点d即为点e，所以e点坐标为（）10分 当ao为平行四边形的边时，由oa=，知抛物线存在点e的横坐标为或，即或，分别把x=和x=代入二次函数解析式y=中，得点e（，）或e（，）所以在抛物线上存在三个点：e1（，），e2（，），e3（，），使以o、a、e、f为顶点的四边形为平行四边形12分13、(2013年福州市初中毕业班质量检查) (12分)如图，rtabc中，c90，acbc8，de2，线段de在ac边上运动(端点d从点a开始)，速度为每秒1个单位，当端点e到达点c时运动停止f为de中点，mfde交ab于点m，mnac交bc于点n，连接dm、me、en设运动时间为t秒 (1) 求证：四边形mfcn是矩形； (2) 设四边形denm的面积为s，求s关于t的函数解析式；当s取最大值时，求t的值； (3) 在运动过程中，若以e、m、n为顶点的三角形与dem相似，求t的值abcdemfn第21题图备用图(1) 证明：mfac，mfc90 1分mnac，mfcfmn180fmn90 2分c90，四边形mfcn是矩形 3分(若先证明四边形mfcn是平行四边形，得2分，再证明它是矩形，得3分)(2) 解：当运动时间为t秒时，adt，f为de的中点，de2，dfefde1aft1，fc8(t1)7tabcdemfn四边形mfcn是矩形，mnfc7t 4分又acbc，c90，a45在rtamf中，mfaft1， 5分ssmde smne demfmnmf2(t1) (7t)(t1)t24t 6分st24t(t4)2当t4时，s有最大值 7分(若面积s用梯形面积公式求不扣分)(3) 解：mnac，nmedem 8分 当nmedem时， 9分1，解得：t5 10分 当emndem时， 11分em2nmde在rtmef中，me2ef2mf21(t1)2，1(t1)22(7t)解得：t12，t26(不合题意，舍去)综上所述，当t为2秒或5秒时，以e、m、n为顶点的三角形与dem相似 12分14、（2013河南沁阳市九年级第一次质量检测）（10分）某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元， 请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢利市场，该店应按原售价的几折出售？15、（2013河南沁阳市九年级第一次质量检测）（11分）以原点为圆心,为半径的圆分别交、轴的正半轴于a、b两点,点p的坐标为.(1)如图一，动点q从点b处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动一周,设经过的时间为t秒，当时，直线pq恰好与o第一次相切，连接oq.求此时点q的运动速度（结果保留）；(2)若点q按照中的方向和速度继续运动，为何值时，以o、p、q为顶点的三角形是直角三角形；在的条件下，如果直线pq与o相交，请求出直线pq被o所截的弦长.（补充说明：直角三角形中，如果一条直角边长等于斜边长的一半，那么这条直角边所对的角等于30.）解：（1）连接oq，则oqpqoq=1，op=2，所以，可得 所以点q的运动速度为/秒. 3分(2)由（1）可知，当t=1时， opq为直角三角形所以，当q与q关于x轴对称时，opq为直角三角形此时， 当q(0，-1)或q(0，1)时， 此时或即当，或时，opq是直角三角形. 7分当或时，直线pq与o相交.作ompq，根据等面积法可知：pqom=oqoppq= qm 弦长. 11分16、（2013年湖北省武汉市中考全真模拟）（本题满分6分）如图，在abc中，abc=90，beac于点e，点f在线段be上，1=2，点d在线段ec上，给出两个条件：dfbc；bf=df.请你从中选择一个作为条件，证明：afdafb解：选df/bc.证明略17、（2013年湖北省武汉市中考全真模拟）(本题满分10分) 如图1，在长方形纸片abcd中，其中1，将它沿ef折叠（点e、f分别在边ab、cd上），使点b落在ad边上的点m处，点c落在点n处，mn与cd相交于点p，连接ep.设，其中0n1(1) 如图2，当（即m点与d点重合），=2时，则= ；（2）如图3，当（m为ad的中点），的值发生变化时，求证：ep=ae+dp；(3) 如图1，当（ab=2ad），的值发生变化时，的值是否发生变化？说明理由解： 延长pm交ea延长线于g，则pdmgam，empemg.ep=eg=ea+ag=ea+dp. 设ad=1,ab=2,过e作ehcd于h,efp=fpn=mpd=ema.efhema ae的长度发生变化,的值将发生变化.18、（2013年湖北省武汉市中考全真模拟）（本题满分12分）如图1，抛物线：与直线ab：交于x轴上的一点a，和另一点b(3，n)(1)求抛物线的解析式；(2)点p是抛物线上的一个动点（点p在a，b两点之间，但不包括a，b两点），pmab于点m，pny轴交ab于点n，在点p的运动过程中，存在某一位置，使得pmn的周长最大，求此时p点的坐标，并求pmn周长的最大值；(3)如图2，将抛物线绕顶点旋转180后，再作适当平移得到抛物线，已知抛物线的顶点e在第四象限的抛物线上，且抛物线与抛物线交于点d，过d点作轴的平行线交抛物线于点f，过e点作轴的平行线交抛物线于点g，是否存在这样的抛物线，使得四边形dfeg为菱形？若存在，请求e点的横坐标；若不存在请说明理由 、解：由题意得：a(-1,0)、b(3,2) 解得:抛物线的解析式为y=-x+x+2 设ab交y轴于d，则d（0，），oa=1，od=，ad=，=， pny轴, pnm=cdn=ado, rtadortpnm.=pn=pn. 当pn取最大值时, 取最大值. 设p(m, -m+m+2) n(m, m+).则pn=-m+m+2-(m+)=-m+m+. -1m3. 当m=1时,pn取最大值. pnm周长的最大值为2=.此时p(1,3). 设e(n,t),由题意得:抛物线为：y=-(x-)+,为：y=(x-n) +t. e在抛物线上，t=-(n-)+.四边形dfeg为菱形. df=fe=eg=dg连ed,由抛物线的对称性可知,ed=ef.deg与def均为正三角形.d为抛物线的顶点.d(,).dfx轴,且d、f关于直线x=n对称.df=2（n-）.def为正三角形.-=2(n-).解得：n=.t=-.存在点e，坐标为e(,-).19、（2013凤阳县县直义教教研中心）如图1，abc是等腰直角三角形，四边形adef是正方形，d、f分别在ab、ac边上，此时bdcf，bdcf成立.（1）当正方形adef绕点a逆时针旋转（）时，如图2，bdcf成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（2）当正方形adef绕点a逆时针旋转45时，如图3，延长bd交cf于点g. 求证：bdcf； 当ab4，ad时，求线段bg的长. 图1 图2 图3解（1）bdcf成立.理由：abc是等腰直角三角形，四边形adef是正方形，ab=ac，ad=af，bac=daf=90, bad=，caf=，bad=caf，badcaf. bdcf.（4分）（2）证明：设bg交ac于点m.badcaf（已证），abmgcm.bma cmg ，bma cmg.bgcbac 90.bdcf.（7分）过点f作fnac于点n.在正方形adef中，ad，anfn.在等腰直角abc 中，ab4，cnacan3，bc.rtfcnrtabm，am.cmacam4， . （9分）bma cmg，. cg. （11分）在rtbgc中，. . （12分）20、（2013凤阳县县直义教教研中心）如图，已知：直线y=-x+3交x轴于点a，交y轴于点b，抛物线y=ax2+bx+c经过a、b、c（1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点d的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点p，使abo与adp相似，求出点p的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点e，使ade的面积等于四边形apce的面积？如果存在，请求出点e的坐标；如果不存在，请说明理由解：（1）：由题意得，a（3，0），b（0，3）抛物线经过a、b、c三点，把a（3，0），b（0，3），c（1，0）三点分别代入得方程组 解得：抛物线的解析式为 （4分）（2）由题意可得：abo为等腰三角形,如图所示，若aboap1d，则dp1=ad=4 , p1若aboadp2 ，过点p2作p2 mx轴于m，ad=4, abo为等腰三角形, adp2是等腰三角形,由三线合一可得：dm=am=2= p2m，即点m与点c重合p2（1，2） （8分）（3）如图设点e ，则 当p1(-1,4)时，s四边形ap1ce=s三角形acp1+s三角形ace = 点e在x轴下方 代入得： ,即 =(-4)2-47=-120 此方程无解当p2