全国高中数学竞赛二试模拟训练题(82)(1).doc

加试模拟训练题（82）1 如图，四边形abcd内接于圆，ab，dc延长线交于e，ad、bc延长线交于f，p为圆上任意一点，pe，pf分别交圆于r，s. 若对角线ac与bd相交于t. 求证：r，t，s三点共线。 2.对于每个实数x1，由xn+1=xn（xn+1/n），n1，构成序列x1，x2，证明：存在唯一的x1，使得0xnxn+11（n=1，2，）3.九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2:3的两个四边形证明：这九条直线中至少有三条经过同一点4. 已知49个正整数的集合，中的每个数的质因数不大于10，证明：中有4个互不相同的元素，它们的乘积等于某个整数的四次方。加试模拟训练题（82）1 如图，四边形abcd内接于圆，ab，dc延长线交于e，ad、bc延长线交于f，p为圆上任意一点，pe，pf分别交圆于r，s. 若对角线ac与bd相交于t. 求证：r，t，s三点共线。 先证两个引理。引理1:a1b1c1d1e1f1为圆内接六边形，若a1d1，b1e1，c1f1交于一点，则有.如图，设a1d1，b1e1，c1f1交于点o，根据圆内接多边形的性质易知 oa1b1oe1d1，ob1c1of1e1， oc1d1oa1f1，从而有 ， ， .将上面三式相乘即得，引理2：圆内接六边形a1b1c1d1e1f1，若满足则其三条对角线a1d1，b1e1，c1f1交于一点。该引理与定理2的证明方法类似，留给读者。例11之证明如图，连接pd，as，rc，br，ap，sd.由ebrepa，fdsfpa，知,.两式相乘，得. 又由ecrepd，fpdfas，知，. 两式相乘，得 由，得. 故. 对ead应用梅涅劳斯定理，有 由，得.由引理2知bd，rs，ac交于一点，所以r，t，s三点共线。2.对于每个实数x1，由xn+1=xn（xn+1/n），n1，构成序列x1，x2，证明：存在唯一的x1，使得0xnxn+11（n=1，2，）【题说】第二十六届（1985年）国际数学奥林匹克题6本题由瑞典提供【证】设p1（x）=x，pn+1（x）=pn（x）（pn（x）+1/n），（n1）那么pn（x）是正系数的2n-1次多项式于是xn=pn（x1），由于xn+1xn与xn1-1/n等价，问题可改为证明存在唯一的正实数t，使得1-1/npn（t）1（n=1，2，）由于pn（x）是严格的增函数（x0），pn（0）=0，且p1（1）=1，pn（1）1（n2），我们可以找到唯一的anbn1，使pn（an）=1-1/n及pn（bn）=1又由pn+1（an）=1-1/n及pn+1（an+1）=1-1/（n+1），可得anan+1同理，由pn+1（bn+1）=1及pn+1（bn）=1+1/n，得bn+1bn由于an，bn an-1，bn-1，所以pn-1（an）pn-1（an-1）p1（bn）-p1（an）=bn-an由“区间套定理”，存在唯一实数t，使得对所有n均满足antbn，由此得1-1/npn（t）13.九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2:3的两个四边形证明：这九条直线中至少有三条经过同一点【题说】 第六届(1972年)全苏数学奥林匹克八年级题4、十年级题5【证】 由梯形的面积等于高和中位线的积可知：分正方形成面积比为2:3的两个梯形(或矩形)的每条直线，都把沿着梯形的中位线作出的正方形的中位线分成同样的比如图，分正方形中位线为2:3的点共有四个，而直线有9条，故至少应有三条直线过这些点中的某一个 例7 已知49个正整数的集合，中的每个数的质因数不大于10，证明：中有4个互不相同的元素，它们的乘积等于某个整数的四次方。注：不妨假设且，考虑下面的有序数组，从各自的奇偶性看，共16种，所以肯定有4个有序组，它们的奇偶性次序完全相同。这样讨论有缺陷。先从49个有序组种取17个有序组，肯定有两个有序组的奇偶次序完全相同，这样两个有序数组记为，原来的49个有序组，还剩余4