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加试模拟训练题（15）1、已知圆外一点，由向圆引两条切线，切点分别为，过点作直线，与圆交于两点，且满足，若交于点，交于点，与的中垂线交于点，证明四点共圆。（05年日本）2.设是正实数,且满足,证明: 3、设a是一个有个元素的集合，a的个子集两两互不包含，试证：（1）（2）其中表示所含元素的个数，表示个不同元素取个的组合数.4设是直角三角形的三边长。如果是整数，求证：可以被30整除。证明：不妨设是直角三角形的斜边长，则。加试模拟训练题（15）1、已知圆外一点，由向圆引两条切线，切点分别为，过点作直线，与圆交于两点，且满足，若交于点，交于点，与的中垂线交于点，证明四点共圆。（05年日本）证明 因为是调和点列，且，所以在关于点的阿波罗尼斯圆上。连，有。设的外接圆与交于点，则有，即在的中垂线上，从而有，因此四点共圆。2.设是正实数,且满足,证明: (第41届国际数学奥林匹克试题)分析与证明: 令.易知.则=同理有其它两式,再令 .则原不等式等价于齐次不等式:.因为 同理有; .故 .从而原不等式成立.3、设a是一个有个元素的集合，a的个子集两两互不包含，试证：（1）（2）其中表示所含元素的个数，表示个不同元素取个的组合数.（1993年，全国高中数学联赛二试第二大题）【证明】（1）据组合公式知，（1）式等价于 对于a的子集我们取补集并取的元素在前，元素在后，作排列，. 这样的排列共有个.显然,中每一个排列,也是a中的一个排列,若时，对应的排列与对庆的排列互不相同，则所对应的排列总数便不会超过a中排列的总数现假设中对应的某一排列，. 与（）中对应的某一排列相同（指出现的元素及元素位置都相同），则当时，；当时，这都与两两互不包含，矛盾.由于对应的排列对互不相同，而a中个元素的全排列有！个，故得 即（2）由上证及柯西不等式，有【评述】本题取自著名的sperner定理：设z为元素，为z的子集，互不包含，则的最大值为.4设是直角三角形的三边长。如果是整数，求证：可以被30整除。证明：不妨设是直角三角形的斜边长，则。若2 ，2 ，2 c，则，又因为矛盾！所以2|.若3 ，3 ，3 c，因为，则，又，矛盾！从而3|.若 5 ，5 ，
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