高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.3 导数的几何意义课件 新人教A版选修11.ppt

3 1 3导数的几何意义 1 了解平均变化率与割线之间 瞬时变化率与切线之间的关系 通过函数的图象理解导数的几何意义 2 了解导函数的概念 会求导函数 3 利用导数的几何意义 会求曲线上某点处的切线方程 1 2 3 1 切线的概念点p x0 f x0 是曲线上一定点 点pn xn f xn 是曲线上的点 当点pn沿着曲线趋近于点p时 割线ppn趋近于确定的位置 这确定位置的直线pt称为曲线在点p处的切线 1 2 3 2 导数的几何意义函数y f x 在点x0处的导数的几何意义是曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率 也就是说 曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率是f x0 相应地 切线方程为y f x0 f x0 x x0 1 2 3 做一做1 2 抛物线y f x 2x2在点p 1 2 处的切线l的倾斜角的正切值为 答案 4 1 2 3 3 函数的导函数当x x0时 f x0 是一个确定的数 则当x变化时 f x 是x的一个函数 称f x 是f x 的导函数 简称导数 f x 也记作y 即 1 2 3 分析由导数的定义可直接求得f x f 2 就是f x 在x 2处的函数值 1 对切线的理解剖析 1 曲线在某点处的切线与该点的位置有关 2 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点 可以有多个 甚至可以无穷多 与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线 2 函数f x 在点x0处的导数 导函数 导数 三者之间的区别与联系剖析 1 函数在一点处的导数 就是在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限 它是一个定值 不是变数 2 导函数 简称 导数 3 导数f x 是针对某一区间内任意点x而言的 函数f x 在区间 a b 内每一点都可导 是指对于区间 a b 内的每一个确定的值x0 都对应着一个确定的导数f x0 根据函数的定义 在区间 a b 内就构成了一个新的函数 就是函数f x 的导函数f x 4 函数y f x 在点x0处的导数f x0 就是导数f x 在x x0处的函数值 即f x0 3 理解导数的几何意义剖析函数y f x 在点x0处的导数的几何意义是曲线y f x 在点p x0 f x0 处切线的斜率 也就是说 曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率是f x0 相应地 切线的方程为y f x0 f x0 x x0 题型一 题型二 题型三 题型四 例1 1 点p处切线的斜率 2 点p处的切线方程 分析根据导数的几何意义知 函数y f x 在点x0处的导数就是曲线在该点处切线的斜率 再由直线方程的点斜式便可求出切线的方程 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思解决这类题 要先求出函数y f x 在x0处的导数 即曲线在该点处切线的斜率 再由直线方程的点斜式便可求出切线方程 应注意导数的几何意义中所说的点应在曲线上 否则在该点处的导数不是斜率 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 设p x0 y0 是满足条件的点 因为切线与直线y 4x 5平行 所以2x0 4 即x0 2 所以y0 4 所以满足题意的点是 2 4 反思解决此类问题 首先应设出切点坐标 然后根据导数的几何意义 求出切线的斜率 再利用两条直线平行求出切点坐标 题型一 题型二 题型三 题型四 1 抛物线上过哪一点的切线的倾斜角为45 2 抛物线上过哪一点的切线平行于直线4x y 2 0 3 抛物线上过哪一点的切线垂直于直线2x y 3 0 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 例3 已知曲线c y x3 求 1 曲线c上横坐标为1的点处的切线方程 2 1 中的切线与曲线c是否还有其他的公共点 解 1 将x 1代入曲线c的方程 得y 1 切点为p 1 1 过点p的切线方程为y 1 3 x 1 即3x y 2 0 题型一 题型二 题型三 题型四 反思1 导数的几何意义是曲线的切线的斜率 已知切点可以求斜率 已知斜率也可以求切点 从而可以与解析几何的知识相联系 2 导数几何意义的综合应用题目的解题关键还是求函数在某点处的导数 即切线的斜率 注意结合相关知识如函数 方程 不等式等求解 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 已知抛物线y x2 直线x y 2 0 求抛物线上的点到直线的最短距离 解 根据题意可知与直线x y 2 0平行的抛物线y x2的切线对应的切点到直线x y 2 0的距离最短 题型一 题型二