九年级数学上册 第22章 第7课时 二次函数的图象与各项系数之间的关系导学案 （新版）新人教版.doc

二次函数的图象与各项系数之间的关系一、学习目标l 通过观察二次函数的图象的形成过程，导出二次函数的图象与系数的关系；l 能根据字母间的关系判断二次函数的性质；l 理解和探索相关二次函数的图象之间的关系二、知识回顾1抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关? 与二次项系数a.2抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是（0，c）3抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是三、新知讲解1二次函数图象与的关系二次项系数，决定了抛物线开口的大小和方向：a的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小（1）当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线与y轴交于正半轴；当c0时，抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac0，则a+b+c0；（2）当x=1时，若y=0，则a+b+c=0；（3）当x=1时，若y0，则a+b+c0，则a-b+c0；（2）当x=-1时，若y=0，则a-b+c=0；（3）当x=-1时，若y0，则a-b+c0四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！1根据二次函数各项系数的符号判断二次函数图象【例1】（2013秋临沂期末）如图，若a0，b0，c0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（）a b c d总结：1. 此类题一般采取排除法解决.2. 二次函数中的系数a，b，c的符号决定了二次函数图象的大概位置，其中：（1） 由a的符号可以确定二次函数图象的开口方向；（2） 由a，b的符号可以确定抛物线对称轴的位置；（3） 由c的符号可以确定抛物线与y轴交点的位置.练1（2011招远市模拟）已知二次函数y=ax2+bx+a21的图象如下图，若b0，则符合条件的图象为（）a b c d2根据一次函数图象推断二次函数图象【例2】（2011秋安庆期中）已知直线y=ax+b如图所示，则二次函数y=ax2+bx+3的图象可能是（）a bc d总结：已知一次函数图象判断二次函数图象的方法：（1） 先根据一次函数图象的位置，判断a，b的符号；（2） 再结合二次函数各项系数来判断二次函数图象的位置；（3） 一般采用排除法.练2（2013上城区二模）已知函数y=（xm）（xn）（其中mn）的图象如下图所示，则函数y=nx+m的图象可能正确的是（）a b c d3根据二次函数的图象判断式子符号【例3】（2014秋广河县校级期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，请结合图象，判断下列各式的符号abc；b24ac；a+b+c；ab+c总结：已知抛物线y=ax2+bx+c的图象，可以得到以下信息（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定；（2）c的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定；（3）b的符号：由a及对称轴的位置确定；（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定；（5）a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定；（6）a-b+c的符号：由x=-1时抛物线上的点的位置确定；（7）2ab的符号：由对称轴的位置及直线x=1 或x=-1的位置共同确定练3（2014资阳一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，对称轴x=1，给出四个结论：abc0；2a+b=0；b24ac；ab+c0其中正确结论个数是（）a0 b1 c2 d3五、课后小测一、选择题1（2015毕节市）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关系式错误的是（）aa0 bb0 cb24ac0 da+b+c02（2015普陀区一模）如果二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，那么（）aa0，b0，c0 ba0，b0，c0ca0，b0，c0 da0，b0，c03（2013秋张家港市期末）已知二次函数y=ax2+bx+c，若a0，c0，那么它的图象大致是（）a b c d4（2014台山市模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则一次函数y=ax+c的图象大致是（）a b c d5（2013密云县二模）如图，二次函数y=ax2+bx+c中a0，b0，c0，则它的图象大致是（）a bc d6（2012常德模拟）当a0，b0，函数y=ax2+bx与函数y=ax+b的图象是（）a b c d7（2012鞍山三模）在同一直角坐标系内，二次函数y1=ax2+bx+c与y2=cx2+bx+a的图象大致为（）a b c d8（2012秋萧山区校级月考）已知：a0，b0，c0，则二次函数y=a（x+b）2+c的图象可能是（）a bc d9（2011枣阳市自主招生）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是（）ab24ac0 bab+c0 cabc0 d2a+b010（2011绵阳校级自主招生）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下结论：a+b+c0；ab+c0；b+2a0；abc0其中所有正确结论的序号是（）a b c d11（2009秋河西区期末）已知二次函数y=ax2+bx+c的系数满足abc0，则它的图象可能是（）a b c d 12（2015春鼓楼区校级月考）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴为直线x=0.5，判断点（a+b+c，abc）在第（）象限a一 b二 c三 d四二、解答题13已知函数y=ax2+bx+c，若a0，b0，c0，问这个函数的图象与x轴交点情况14二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论正确的有哪些？并说明理由（1）3a+b0；（2）0ba+1；（3）b+2a0；（4）a典例探究答案：【例1】分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答：解：a0，抛物线的开口方向向下，故第三个选项错误；c0，抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，故第一个选项错误；a0，b0，对称轴为x=0，对称轴在y轴右侧，故第四个选项错误故选b点评：考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数符号的关系练1分析：由抛物线的开口向下可知a的符号，由对称轴为x=0可以推出b的取值范围，然后即可作出选择解答：解：选项a，b对称轴为y轴，对称轴为x=0，即b=0，故此选项错误；c、抛物线开口向上，x=0a、b异号，即b0故此选项正确；d、抛物线开口向下，x=0a、b异号，即b0故此选项错误；故选：c点评：本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，根据对称轴符号以及a的符号得出是解题关键【例2】分析：利用一次函数图象得出a，b的符号进而得出二次函数开口方向和对称轴位置，即可得出答案解答：解：已知直线y=ax+b如图所示：故a0，b0，a，b异号，二次函数对称轴在x轴正半轴，且开口向下，故选：b点评：此题主要考查了一次函数与二次函数图象与系数的关系，熟练利用一次函数性质得出a，b符号是解题关键练2分析：根据图象可得出方程=（xm）（xn）=0的两个实数根为m，n，且一正一负，又mn，则m0n根据一次函数y=nx+m的图象的性质即可得出答案解答：解：如图，函数y=（xm）（xn）（其中mn），抛物线与x轴的两个交点横坐标分别是m，n，且m0ny=nx+m的图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴故选：d点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题以及一次函数的性质，是重点内容要熟练掌握【例3】分析：抛物线开口向下得到a0，对称轴在y轴的左侧，a与b同号，得到b0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c0，于是abc0；抛物线与x轴没有交点，所以=b24ac0；取x=1，观察图象得到图象在x轴下方，则x=1，y=a+b+c0；取x=1，观察图象得到图象在x轴下方，则x=1，y=ab+c0解答：解：抛物线开口向下，则a0，对称轴在y轴的左侧，则x=0，则b0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方，则c0，abc0；抛物线与x轴没有交点，所以=b24ac0；当自变量为1时，图象在x轴下方，则x=1时，y=a+b+c0；当自变量为1时，图象在x轴下方，则x=1时，y=ab+c0点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数=b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=b24ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b24ac0时，抛物线与x轴没有交点练3分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断解答：解：抛物线的开口向上，a0，与y轴的交点为在y轴的负半轴上，c0，对称轴为x=0，a、b异号，即b0，abc0；故本结论正确；对称轴为x=1，2a=b，2a+b=0；故本结论正确；从图象知，该函数与x轴有两个不同的交点，所以根的判别式=b24ac0，即b24ac；故本结论正确；由图象知，x=1时y0，所以ab+c0，故本结论错误故选d点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用课后小测答案：一、选择题1解：a、抛物线开口向下，则a0，所以a选项的关系式正确；b、抛物线的对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b0，所以b选项的关系式正确；c、抛物线与x轴有2个交点，则=b24ac0，所以d选项的关系式正确；d、当x=1时，y0，则a+b+c0，所以d选项的关系式错误故选d2解：图象开口方向向上，a0；图象的对称轴在x轴的正半轴上，0，a0，b0；图象与y轴交点在y轴的负半轴上，c0；a0，b0，c0故选：c3解：a0，图象开口向下，故a、b错误；c0，图象与y轴的交点在x轴的上方，故c错误；故d正确；故选：d4解：抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，a0，c0，一次函数y=ax+c的图象经过第一、二、三象限故选a5解：二次函数y=ax2+bx+c中a0，该函数图象开口方向向上故d错误；二次函数y=ax2+bx+c中a0，b0，对称轴x=0故b错误；二次函数y=ax2+bx+c中c0，该函数图象与y轴交于负半轴，故c错误故选a6解：a0，y=ax2+bx图象开口向上，排除c、d；a0，b0，函数y=ax+b图象经过第一、三、四象限，排除a，故选b7解：a、当二次函数y1=ax2+bx+c的图象的开口方向是向下，a0，二次函数y2=cx2+bx+a与y轴交于负半轴；故本选项错误；b、当二次函数y1=ax2+bx+c的图象的开口方向是向下，a0；又对称轴x=0，b0，而该函数与y轴交于负半轴，c=0；二次函数y2=cx2+bx+a变为一次函数，故本选项错误；c、当二次函数y1=ax2+bx+c的图象的开口方向是向上，a0，二次函数y2=cx2+bx+a与y轴交于正半轴；故本选项错误；d、当二次函数y1=ax2+bx+c的图象的开口方向是向上，a0，此时c0，二次函数y2=cx2+bx+a与y轴交于正半轴；故本选项正确故选d8解：当a0时，二次函数的图象的开口向上，选项b和c错误；c0，二次函数的图象的顶点的纵坐标是负数，在x轴的下方，选项a、d都符合，b0，二次函数的图象的顶点的横坐标是b0，即顶点在y轴的右边，选项d错误；只有选项a正确；故选a9解：a、图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b24ac0，故本选项正确；b、当x=1时，y=ab+c0，故本选项正确；c、图象开口向上，a0，与y轴交于负半轴，c0，对称轴在y轴右侧，0，b0，abc0，故本选项错误；d、对称轴在1的左边，1，又a0，2a+b0，故本选项正确故选c10解：当x=1时，y=a+b+c=0，故错误；当x=1时，图象与x轴交点负半轴明显大于1，y=ab+c0，故正确；由抛物线的开口向下知a0，对称轴为0x=1，2a+b0，故正确；对称轴为x=0，a0a、b异号，即b0，由图知抛物线与y轴交于正半轴，c0abc0，故错误；正确结论的序号为故选：b11解：当a0时，因为abc0，所以b、c异号，由d图可知c0，故b0，0，即函数对称轴在y轴左侧，选项（d）不符合题意由b图可知c0，故b0，0，即函数对称轴在y轴右侧，选项（b）不符合题意显然a0时，开口向下，因为abc0，所以b、c同号，对于a、由图象可知c0，则b0，对称轴0，即函数对称轴在y轴右侧，a不正确；对于 c，c0，则b0，对称轴0，c选项正确故选c12 解：抛物线开口向下，a0，抛物线的对称轴在y轴的右侧，b0，所以a选项错误；抛物线与y轴的交点在x轴上方，c0，abc0，x=1时，y0，a+b+c0，点（a+b+c，abc）在第四象限故选d二、解答题13解：=b24ac0，这个函数图象与x轴有两个交点，设这个函数图象与x轴两个交点的坐标为（x1，0）、（x2，0），x1x2=，a0，c0，x1x20，一个在x轴的正半轴，另一个在x