九年级数学上册 第22章 第1课时 二次函数的定义导学案 （新版）新人教版.doc

二次函数的定义一、学习目标1掌握二次函数的定义；2根据实际问题列出二次函数的关系式，并求出函数的自变量的取值范围.二、知识回顾1一元二次方程的一般形式是什么？2一次函数、正比例函数的定义是什么？一般地，如果有y=kx+b(k,b为常数，且k0)，那么y叫做x的一次函数.y=kx（k0)中，y叫做x的正比例函数，可见，正比例函数是一次函数的特殊形式，即b=0的一次函数.三、新知讲解1二次函数的定义一般地，形如的函数，叫做二次函数.这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为0.二次函数中，x是自变量，x的取值范围是全体实数.2二次函数的结构特征等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2；a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.3二次函数的一般形式，它有几种特殊形式：当b=0,c0时，y=ax2+c；当b0，c=0时，y=ax2+bx；当b=0,c=0时，y=ax2.注意：根据解析式判定二次函数时，首先要把解析式化为一般形式.四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！1二次函数的识别【例1】（2014春未央区校级期末）已知下列函数：（1）y=32x2；（2）y=；（3）y=3x（2x1）；（4）y=2x2；（5）y=x2（3+x）2；（6）y=mx2+nx+p（其中m、n、p为常数）其中一定是二次函数的有（ ）a2个 b3个 c4个 d5个总结：二次函数需具备的三个条件：函数的关系式是整式；自变量的最高次数是2；二次项系数不为0.练1下列各式：y=x+2；y=（2x+1）（x2）2x2；其中y是x的二次函数的有_（只填序号）.2根据实际问题列出函数关系式并求出函数自变量的取值范围【例2】用一根长为800cm的木条做一个长方形窗框，若宽为x cm，写出它的面积y与x之间的函数关系式，并判断y是x的二次函数吗？总结：1. 用二次函数描述实际问题中变量之间的关系，首先要审题，找出其中的已知量和未知量，并弄清它们之间的关系，根据相等关系列出二次函数关系式.2. 一般要将列出的二次函数关系式化为一般形式.3. 注意自变量的取值范围.练2设圆柱的高为6cm，底面半径为rcm，底面周长为ccm，圆柱的体积为vcm3（1）分别写出c关于r、v关于r、v关于c的函数关系式；（2）这三个函数中，哪些是二次函数？3根据二次函数的定义求参数或参数取值范围【例3】已知函数，当m=_时，它是二次函数总结：此类题目要根据二次函数的概念建立方程模型求解，注意不要忽略二次函数中二次项系数不等于零这一隐含条件.练3当m时，关于x的函数y=（m21）x2+（m1）x+3是二次函数五、课后小测一、选择题1（2015闸北区一模）在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）ay=x2 by= cy=kx2 dy=k2x2（2014秋石城县校级月考）下列函数中是二次函数的有（ ）y=x+；y=3（x1）2+2；y=（x+3）22x2；y=+xa4个 b3个 c2个 d1个3（2015巴中模拟）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）a y= by=2x+1 cy=x2+x2 dy2=x2+3x4（2015春西安校级月考）当m不为何值时，函数y=（m2）x2+4x5（m是常数）是二次函数（ ）a2 b2 c3 d3二、填空题5函数y=（x21）的自变量x的取值范围是_6说出下列二次函数的二次项系数a，一次项系数b和常数项c（1）在y=5x2+2x中，a=_，b=_，c=_（2）在y=2（x3）2+4中，a=_，b=_，c=_7圆的面积s与其周长c之间的函数关系式是_，自变量的范围是_8如图所示，长方体的底面是边长为xcm的正方形，高为6cm，请你用含x的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积s=_，长方体的体积为v=_，各边长的和l=_，在上面的三个函数中，_是关于x的二次函数三、解答题9（2012春古浪县校级月考）分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）d=n2n，（2）y=1x210已知y与x2成正比例，且当x=3时，y=18，写出y与x之间的函数解析式，它是二次函数吗？11根据下面的条件列出函数解析式，并判断列出的函数是否为二次函数：（1）如果两个数中，一个比另一个大5，那么，这两个数的乘积p是较大的数m的函数；（2）一个半径为10cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积s（cm2）是方孔边长x（cm）的函数；（3）有一块长为60m、宽为40m的矩形绿地，计划在它的四周相同的宽度内种植阔叶草，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积s（cm2）是草坪宽度a（m）的函数12已知函数y=（m2m）x2+mx+（m+1），m是常数（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，求m的值典例探究答案：【例1】【解析】根据二次函数的定义求解解：（1）y=32x2；（3）y=3x（2x1）=6x23x；（4）y=2x2符合二次函数的定义，属于二次函数；（2）y=的右边不是整式，所以不是二次函数；（3）y=x2（3+x）2=6x9，属于一次函数；（4）y=mx2+nx+p（其中m、n、p为常数），当m=0时，该函数不是二次函数综上所述，其中一定是二次函数的有3个故选：b点评：本题考查二次函数的定义一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）的函数，叫做二次函数其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）也叫做二次函数的一般形式练1【解析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解解：y是x的二次函数的有，故答案是：，点评：本题考查了二次函数的定义，一般形式是y=ax2+bx+c（a0，且a，b，c是常数，x是未知数）【例2】【解析】根据矩形的周长表示出长，根据面积=长宽即可得出y与x之间的函数关系式解：设宽为xcm，矩形的周长为800cm，矩形的长为cm，y=x=x2+400x（0x400）y是x的二次函数点评：本题考查了根据实际问题抽象出二次函数模型及二次函数的定义，属于基础题，表示出矩形的长是解答本题的关键练2【解析】（1）根据圆的周长公式和圆柱的体积公式来列函数关系式；（2）根据二次函数的定义进行解答解：（1）圆柱的底面半径为rcm，底面周长为ccm，c=2r（cm）；又圆柱的高为6cm，底面半径为rcm，圆柱的体积为vcm3，v=r26=6r2（cm3）设圆柱的高为6cm，底面周长为ccm，圆柱的体积为vcm3，v=（）26=（cm3）综上所述，c关于r、v关于r、v关于c的函数关系式分别是：c=2r、v=6r2、v=（2）根据二次函数的定义知，v关于r的关系式v=6r2是二次函数点评：本题考查了二次函数的定义解题的关键是熟悉圆的面积公式、周长公式以及圆柱的体积公式【例3】【解析】根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可解：y=（m1）xm2+1+3x是二次函数，m2+1=2，且m10m=1或m=1（舍去）故答案为：1点评：此题考查了二次函数的定义，关键是根据定义列出方程，在解题时要注意m10练3【解析】根据二次函数的定义，使二次项的系数不为0，列式求值即可求得m满足的条件解：y是x的二次函数，m210，m1，故满足的条件是m1故答案为：1点评：本题考查二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义条件：二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a0，自变量最高次数为2课后小测答案：一.选择题1【解析】根据二次函数的定义形如y=ax2+bx+c（a0）是二次函数解：a、是二次函数，故a符合题意；b、是分式方程，故b错误；c、k=0时，不是函数，故c错误；d、k=0是常数函数，故d错误；故选：a点评：本题考查二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c（a0）是二次函数2【解析】一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0），那么y叫做x的二次函数根据定义的一般形式进行判断即可解：y=x+、y=+x的右边不是整式，故错误；y=3（x1）2+2，符合二次函数的定义，故正确；y=（x+3）22x2=x2+6x+9，符合二次函数的定义，故正确；故选：c点评：本题考查了二次函数的定义判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件3【解析】利用二次函数定义就可以解答解：a、y=，分母中含有自变量，不是二次函数，错误；b、y=2x+1，是一次函数，错误；c、y=x2+x2，是二次函数，正确；d、y2=x2+3x，不是函数关系式，错误故选：c点评：本题考查二次函数的定义4【解析】利用二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a0）解：根据二次函数的定义，得m20，即m2当m2时，函数y=（m2）x2+4x5（m是常数）是二次函数故选：b点评：本题考查二次函数的定义二.填空题5【解析】由于二次函数是一个整式函数，其自变量的取值范围是全体实数解：函数y=（x21）的自变量x的取值范围是全体实数点评：本题考查二次函数自变量的取值范围，比较简单6【解析】（1）根据二次项系数、一次项系数、常数项的定义解答；（2）先把二次函数化为一般形式，再解答解：（1）在y=5x2+2x中，a=5，b=2，c=0（2）函数y=2（x3）2+4化为一般形式为：y=2x212x+22，故a=2，b=12，c=22点评：本题考查的是二次函数的一般形式、各项系数与常数项7【解析】根据圆的面积以及周长公式进而结合r得出即可解：设圆的面积为r，则s=r2，c=2r，r=，r=，=，=，s=，（c0）点评：此题主要考查了二次函数的定义，正确得出r与s，c的关系是解题关键8【解析】侧面展开图的面积应为边长为xcm的正方形的周长乘6；长方体的体积应为边长为xcm的正方形的面积乘高；各边长的和应为边长为xcm的正方形的周长的2倍加上边长为6的4倍，找到x的次数为2的函数即为关于x的二次函数解：长方体的侧面展开图的面积s=4x6=24x；长方体的体积为v=x26=6x2；各边长的和l=4x2+64=8x+24；其中，v=6x2是关于x的二次函数点评：找到所求量的等量关系是解决问题的关键，注意此几何体为底面积为正方形的长方体三.解答题9【解析】（1）根据二次函数的定义可得到二次项系数、一次项系数和常数项；（2）根据二次函数的定义可得到二次项系数、一次项系数和常数项解：（1）二次项系数、一次项系数和常数项分别为、0；（2）二次项系数、一次项系数和常数项分别为1、0、1点评：本题考查了二次函数的定义：把y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a0）称为y是x的二次函数，其中a为二次项系数、b为一次项系数、c为常数项10【解析】由于y与x2成反比例，则有y=kx2（k0），然后把x=3，y=18代入即可求出k解：y与x2成反比例，y=kx2（k0），把x=3时，y=18代入得：18=32k，k=2，y与x之间的函数解析式为 y=它不是y与x不是二次函数关系，即y=不是二次函数点评：本题考查了二次函数的定义，正比例函数的定义二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）的函数，叫做二次函数其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）也叫做二次函数的一般形式11【解析】根据二次函数的定义，根据每一题的数量关系列出函数关系式解答即可解：（1）这两个数的乘积p与较大的数m的函数关系为：p=m（m5）=m25m，是二次函数；（2）剩余的面积s（cm2）与方孔边长x（cm）的函数关系为：s=1004x