高中数学 3.1 空间向量及其运算 3.1.2 空间向量的数乘运算课件 新人教A版选修21.ppt

3 1 2空间向量的数乘运算 1 掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律 了解共线 平行 向量的意义 2 理解共线向量定理和共面向量定理及其推论 会证明空间三点共线与四点共面问题 1 数乘的定义及运算律 1 实数 与空间向量a的乘积仍然是一个向量 记作 a 称为向量的数乘运算 a的长度是 a a的方向 当 0时 a与a同向 当 0时 a与a反向 2 空间向量的数乘运算律分配律 a a a a b a b 结合律 a a 名师点拨若 0 则 a 0 答案 c 答案 3a 3b 5c 2 共线向量与共面向量 1 共线向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 则这些向量叫做共线向量或平行向量 对空间任意两个向量a b b 0 a b的充要条件是存在实数 使a b 2 共面向量 平行于同一个平面的向量 叫做共面向量 如果两个向量a b不共线 那么向量p与向量a b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 x y 使p xa yb 做一做2 1 下列说法正确的是 a a a 0 与 a方向相同c 直线l的方向向量一定在直线l上d 平行于同一平面的向量 叫做共面向量解析 选项a中若 0 则 a与a反向 选项b中 两向量不能作除法 选项c中 方向向量与直线可能平行 不在同一直线上 答案 d 做一做2 2 下列说法正确的是 a 在平面内共线的向量在空间不一定共线b 在空间共线的向量在平面内不一定共线c 在平面内共线的向量在空间一定不共线d 在空间共线的向量在平面内一定共线答案 d 1 向量共线的充要条件及其应用剖析 1 空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样 当我们说a b共线时 表示a b的两条有向线段所在的直线既可能是同一条直线 也可能是平行直线 当我们说a b时 也具有同样的意义 2 共线 这个概念具有自反性 即a a 也具有对称性 即若a b 则b a 3 如果应用上述结论判断a b所在的直线平行 那么还需说明a 或b 上有一点不在b 或a 上 题型一 题型二 题型三 题型四 空间向量的数乘运算 例1 已知abcd为正方形 p是abcd所在平面外的一点 p在平面abcd上的射影恰好是正方形abcd的中心o q是cd的中点 求下列各式中x y的值 分析 画出图形 根据向量的加减和数乘运算解题 题型一 题型二 题型三 题型四 反思对于这类题目 应结合图形 充分利用向量平移来处理向量的加减运算和数乘运算 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 向量共线与三点共线问题 题型一 题型二 题型三 题型四 反思判断两个向量a b是否共线 就是寻求是否存在一个非零实数x 使a xb 要充分运用空间向量的运算法则 结合图形得出a xb 从而a b 而证明空间三点共线可转化为证明空间两个向量共线 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 三个向量共面与四点共面问题 例3 如图所示 已知四边形abcd是平行四边形 点p是四边形abcd所在平面外一点 连接pa pb pc pd 设点e f g h分别为 pab pbc pcd pda的重心 1 试用向量方法证明e f g h四点共面 2 试判断平面efgh与平面abcd的位置关系 并用向量方法证明你的判断 分析 可以利用共面向量定理或其推论完成第 1 问的证明 从几何图形直观判断 第 2 问中的两个平面应该是平行关系 题型一 题型二 题型三 题型四 解 1 证明 如图 分别延长pe pf pg ph交对边于点m n q r 因为e f g h分别是所在三角形的重心 所以m n q r分别为所在边的中点 顺次连接m n q r得到的四边形mnqr为平行四边形 且有 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思 1 空间向量基本定理的应用之一就是证明四点共面 2 用共线向量定理证明线线平行 从而证明面面平行 可使问题简单化 3 要学会用向量的知识来解决立体几何问题 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四