高中数学 2.3.2双曲线的简单几何性质课后习题 新人教A版选修21.doc

2.3.2双曲线的简单几何性质课时演练促提升a组1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是()a.2b.2c.4d.4解析:双曲线的标准方程为=1,所以a2=4,a=2,实轴长为4.答案:c2.双曲线=1的焦点到渐近线的距离为()a.2b.2c.d.1解析:由双曲线=1,得a2=4,b2=12,故c2=16.不妨取焦点(4,0),渐近线为y=x,则距离d=2.答案:a3.双曲线的两个顶点将焦距三等分,则它的离心率为()a.b.3c.d.解析:依题意可得2c=32a,即c=3a,所以e=3.答案:b4.与双曲线=1有共同的渐近线,且经过点(-3,2)的双曲线方程为()a.=1b.=1c.=1d.=1解析:由已知设双曲线方程为=(0),代入点(-3,2),得=.故双曲线为=1.答案:d5.若双曲线与椭圆4x2+y2=1有相同的焦点,它的一条渐近线方程为y=x,则这个双曲线的方程为()a.2x2-4y2=1b.2x2-4y2=2c.2y2-4x2=1d.2y2-4x2=3解析:因为椭圆4x2+y2=1的焦点坐标为,所以双曲线的焦点坐标为.又由双曲线的渐近线方程为y=x,得,即a2=2b2.由=a2+b2,得a2=,b2=.再结合双曲线的焦点在y轴上,知选c.答案:c6.已知双曲线=1(a0,b0)的离心率为,且过点(3,2),则此双曲线的方程为.解析:离心率为,双曲线为等轴双曲线,a=b.把点(3,2)代入方程,得=1.a2=b2=5.双曲线的方程为x2-y2=5.答案:x2-y2=57.若双曲线离心率为,焦点在x轴上,则其渐近线方程为.解析:因为e=,所以=5,=4,=2,故渐近线方程为y=2x.答案:y=2x8.如图,abcdef为正六边形,则以f,c为焦点,且经过a,e,d,b四点的双曲线的离心率为.解析:由双曲线的定义知|df|-|dc|=2a,|fc|=2c,若设正六边形的边长为1,则|df|=,|fc|=2,即c=1,所以-1=2a,即a=,所以e=+1.答案:+19.已知双曲线c的方程为=1(a0,b0),离心率e=,顶点到渐近线的距离为,求双曲线c的方程.解:依题意,双曲线焦点在y轴上,顶点坐标为(0,a),渐近线方程为y=x,即axby=0,所以,又e=,所以b=1,即c2-a2=1,-a2=1,解得a2=4,故双曲线方程为-x2=1.10.已知斜率为2的直线被双曲线=1截得的弦长为4,求直线l的方程.解:设直线l的方程为y=2x+b.设直线l与双曲线=1的交点为a(x1,y1),b(x2,y2).由化简,得10x2+12bx+3(b2+2)=0,则x1+x2=-,x1x2=,y1-y2=(2x1+b)-(2x2+b)=2(x1-x2).由|ab|=4,得(x1-x2)2+(y1-y2)2=16,5(x1-x2)2=16,即5(x1+x2)2-4x1x2=16,5=16,解得b2=.b=.故所求直线l的方程为y=2x.b组1.已知双曲线的方程是x2-=1,a1,a2分别是它的左、右顶点,f是它的右焦点,过f作垂直于x轴的直线交双曲线于点p,则=()a.4b.-4c.6d.-6解析:由条件知点a1(-1,0),a2(1,0),根据对称性,设p为第一象限内的交点,则p(,2).所以=(-1-,-2)(1-,-2)=6.故选c.答案:c2.双曲线=1(a0,b0)的两个焦点为f1,f2,若双曲线上存在点p,使|pf1|=2|pf2|,则双曲线离心率的取值范围为()a.3,+)b.(1,3c.2,+)d.(1,2解析:由题意知在双曲线上存在一点p,使得|pf1|=2|pf2|,如图.|pf1|-|pf2|=2a,|pf2|=2a,即在双曲线右支上恒存在点p使得|pf2|=2a,即|af2|2a.|of2|-|oa|=c-a2a,c3a.ca,ac3a.13,即1e3.双曲线离心率的取值范围为10)的两条渐近线分别交于点a,b,且aob的面积为8,则焦距为.解析:由双曲线x2-=1,得渐近线为y=bx,则交点为a(2,2b),b(2,-2b).saob=24b=8,b=2.又a2=1,c2=a2+b2=5.焦距2c=2.答案:24.已知双曲线的中心在原点,过右焦点f(2,0)作斜率为的直线,交双曲线于m,n两点,且|mn|=4,求双曲线方程.解:设所求双曲线方程为=1(a0,b0),由右焦点为f(2,0),知c=2,b2=4-a2,则双曲线方程为=1,直线mn的方程为y=(x-2),代入双曲线方程整理,得(20-8a2)x2+12a2x+5a4-32a2=0.设m(x1,y1),n(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.|mn|=4,解得a2=1,b2=4-1=3.故所求双曲线方程为x2-=1.5.过点m(0,-1)的直线l交双曲线2x2-y2=3于两个不同的点a,b,o是坐标原点,直线oa与ob的斜率之和为1,求直线l的方程.解:设直线l的方程为y=kx-1,代入2x2-y2=3中,得(2-k2)x2+2kx-4=0,当时,设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.又koa+kob=1,故(kx1-1)x2+(kx2-1)x1=x1x2,即(2k-1)x1x2-(x1+x2)=0.于是有(2k-1)=0,解得k=,经验证这个结果是符合的条件,故直线l的方程为2x-3y-3=0.6.已知双曲线c1:x2-=1.(1)求与双曲线c1有相同的焦点,且过点p(4,)的双曲线c2的标准方程;(2)直线l:y=x+m分别交双曲线c1的两条渐近线于a,b两点.当=3时(o为坐标原点),求实数m的值.解:(1)双曲线c1的焦点坐标为(,0),(-,0).设双曲线c2的标准方程为=1(a0,b0),则解得故双曲线c2的标准方程为-y2=1.(2)双曲线c1的渐