高中数学 5.2实数集的基数同步精练 北师大版选修31.doc

实数集的基数练习1集合论的创始人是()a美国人 b英国人 c俄国人d德国人2康托指出了有理数和无理数的一个重要区别是()a无理数集是有理数集的补集b有理数集和无理数集都是无穷集合c有理数集是可数的，无理数集是不可数的d有理数集的基数大于无理数集的基数3康托在用反证法证明实数集合是不可数的时，构造了一个不在序列中的数b，这种构造方法是()a康托归谬法 b康托区间套法c康托斜线法 d康托对角线法4如果集合a与集合b的某个子集是对等的，而不与b对等，则()a集合a的数量有可能等于集合b的数量b集合a的数量有可能多于集合b的数量c集合a的数量一定少于集合b的数量d集合a的数量与集合b的数量无法比较大小51873年11月29日到12月7日这短短的几天里，康托给数学家_写了两封信，奠定了无限理论的基础6如果一个集合的整体可以与它的一部分建立一一对应关系，则该集合一定是_集合7若a1，a2是可数集，证明：a1a2也是可数的8证明：实数集上的任何开区间(a，b)(ab)都不可数90与1之间满足下述条件的实数：它们的十进制小数表示中只有1,2,3,4,5,6,7，而不含其他数字，例如：0.314 265 743，0.146 732 175 4，0.456 773 321 5，等等证明：所有这样实数的集合是不可数的10上网搜集并整理数学家戴德金的生平资料参考答案1答案：d2答案：c3答案：d4答案：c5答案：戴德金6答案：无限7证明：设a1a11，a12，a13，a2a21，a22，a23，按a11a21a12a22a13a23排序后，分别对应1,2,3,4,5,6，也可用下图表示：如果a1与a2中的元素有重复，则去掉重复的元素再按照上述规则数下去，则可得到a1a2和z的一个一一对应关系，所以a1a2也是可数的8证明：首先建立(0,1)到(a，b)的一一对应令对应法则f：xy(ba)xa，按照对应法则f，对于(0,1)内的任一元素x，在(a，b)中都有唯一的一个元素y(ba)xa与之对应，反之，对于(a，b)内的任一元素y，按照对应法则f，在(0,1)内存在唯一的元素x与之对应故(0,1)与(a，b)对等，因为(0,1)是不可数的，所以(a，b)也是不可数的9证明：假设满足条件的实数是可数的，这样我们总可以按照给定的一一对应关系，把满足条件的实数与正整数集之间的对应关系用下表表示：10.a11a12a1320.a21a22a2330.a31a32a33k0.ak1ak2ak3现在，我们构造一个新的实数b：b0.b1b2b3，其中bi显然这样构造的实数满足上述已知条件但是，由于b1a11，所以b不同于序列中的第一个数0.a11a12a13；由于b2a22，所以b不同于序列中的第二个数0.a21a22a23；同样的方法，数b不同于序列中的任何一个数，这与假设该集合可数矛盾所以满足条件实数的集合是不可数的10答：参考材料如下：戴德金(dedekind，julius wilhelm richard,18311916，德国数学家),1831年10月6日生于不伦瑞克，1916 年2月12日卒于同地.1850年入格丁根大学，成为c.f.高斯的学生，1852 年完成关于欧拉积分的博士论文，受到高斯赏识.1854年起在格丁根大学任讲师在格丁根他与任教的p.g.l.狄利克雷和b.黎曼结为好友后来狄利克雷和黎曼的全集都是由戴德金编辑的.1858年他应聘到瑞士苏黎世综合工科学校任教.1862年回到不伦瑞克综合工科学校教书戴德金在数学上有很多新发现不少概念和定理以他的名字命名他的主要贡献有以下两个方面：在实数和连续性理论方面，他提出戴德金分割，给出了无理数及连续性的纯算术的定义.1872年，他的连续性与无理数出版，使他与g.康托、k.魏尔斯特拉斯等一起成为现代实数理论的奠基人在代数数论方面，他建立了现代代数数和代数数域的理论，将e.e.库默