高中数学 第一章 解三角形章末归纳总结 新人教A版必修5.doc

【成才之路】2015-2016学年高中数学 第一章 解三角形章末归纳总结 新人a教版必修5一、选择题1在abc中，a、b、c分别是三内角a、b、c的对边，若acosabcosb，则abc一定是()a等腰三角形b直角三角形c等边三角形 d等腰三角形或直角三角形答案d解析由正弦定理，得.又acosabcosb，即，即sinacosasinbcosb，sin2asin2b2a2b或2a2bab或ab.abc是等腰三角形或直角三角形，故选d2在abc中，c60，ab，bc，那么a等于()a135 b105c45 d75答案c解析由正弦定理知，即，所以sina，又由题知，bcab，a45.3在abc中，内角a、b、c的对边分别是a、b、c，若a2b2bc，sinc2sinb，则a()a30 b60c120 d150答案a解析由余弦定理得：cosa，由题知b2a2bc，c22bc，则cosa，又a(0，180)，a30，故选a4三角形两边之差为2，夹角的余弦值为，面积为14，那么这个三角形的此两边长分别是()a3和5 b4和6c6和8 d5和7答案d解析设夹角为a，cosa，sina，sbcsina14，bc35，又bc2，b7，a5.5设abc的内角a、b、c所对的边分别为a、b、c，若bcos cccos basin a，则abc的形状为()a锐角三角形 b直角三角形c钝角三角形 d不确定答案b解析本题考查正弦定理由正弦定理，得sinbcoscsinccosbsin2a，所以sin(bc)sin2a，sinasin2a，而sina0，sina1，a，所以abc是直角三角形6如图所示，设a、b两点在河的两岸，一测量者在a所在的河岸边选定一点c，测出ac的距离为50m，acb45，cab105后，就可以计算a、b两点的距离为()a50m b50mc25m dm答案a解析由题意知abc30，由正弦定理得，ab50(m)二、填空题7(20142015益阳模拟)在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c.若asinabsinbcsincasinb，则角c等于_答案解析由正弦定理，得a2b2c2ab，所以cosc，又0c，所以c.8(20142015福州模拟)在abc中，bc1，b，abc的面积s，则sinc_.答案解析因为在abc中，bc1，b，abc的面积s，所以sabcbcbasinb，即1ba，解得ba4.又由余弦定理，得ac2bc2ba22bcbacosb，即得ac，由正弦定理，得，解得sinc.三、解答题9(2015山东青岛市质检)设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知，b3.(1)求角b；(2)若sina，求abc的面积解析(1)，.a2b2acc2，即a2c2b2ac，cosb.b(0，)，b.(2)由b3，sina，sinb，得a2.由ab得ab，从而cosa，故sincsin(ab)sinacosbcosasinb.abc的面积sabsinc.10在abc中，内角a、b、c的对边分别为a、b、c，且a2b2c2bc.(1)求a；(2)设a，s为abc的面积，求s3cosbcosc的最大值，并指出此时b的值解析(1)由余弦定理，得cosa.又0a，a.(2)由(1)得sina，又由正弦定理及a，得sbcsinaasinc3sinbsinc，s3cosbcosc3(sinbsinccosbcosc)3cos(bc)当bc，即b时，s3cosbcosc取最大值3.一、选择题11(2015合肥市质检)已知abc的三边长分别为a，b，c，且满足bc3a，则的取值范围为()a(1，) b(0,2)c(1,3) d(0,3)答案b解析依题意得cab.ccabca3a，于是有2c4a,00)，a45，则满足此条件的三角形个数是()a0 b1c2 d无数个答案a解析直接根据正弦定理可得，可得sinb1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0.14一艘海轮从a处出发，以每小时40n mile的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达b处，在c处有一座灯塔，海轮在a处观察灯塔，其方向是南偏东70，在b处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么b，c两点间的距离是()a10n mile b10n milec20n mile d20n mile答案a解析如图所示，易知，在abc中，ab20n mile，cab30，acb45，根据正弦定理得，解得bc10(n mile)二、填空题15(2015天津十二区县联考)已知abc中，ab1，sinasinbsinc，sabcsinc，则cosc_.答案解析设abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，因为sinasinbsinc，则由正弦定理得abc，又因为sabcabsincsinc，所以ab，故cosc.16已知平面内四点o、a、b、c满足0，1，则abc的面积为_答案解析由0知o为abc的重心，又由得()0，所以，同理，所以o为abc的垂心故abc为正三角形即|cos1201，|2.saoc|sin120，sabc.三、解答题17(2015武汉市调研)已知abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且满足bcos2aa(2sinasinb)，c，cosb.(1)求sina；(2)求a，b的值解析(1)在abc中，由正弦定理及bcos2aa(2sinasinb)知sinbcos2asina(2sinasinb)，sinbcos2asinbsin2a2sina，sin2acos2a1，sinb2sina，又cosb，sinb.sinasinb.(2)由(1)可知b2a，由余弦定理b2a2c22accosb及b2a，c得(2a)2a272acosb而cosb，3a24a70，即(3a7)(a1)0，a1，b2.18如下图所示，甲船以每小时30n mile的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于a1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的b1处，此时两船相距20n mile.当甲船航行20min到达a2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的b2处，此时两船相距10n mile，问乙船每小时航行多少n mile?解析解法一：如图，连结a1b2，由题意知a2b210n mile，a1a23010n mile.所以a1a2a2b2.又a1a2b218012060，所以a1a2b2是等边三角形所以a1b2a1a210n mile.由题意知，a1b120n mile，b1a1b21056045，在a1b2b1中，由余弦定理，得b1ba1ba1b2a1b1a1b2cos45202(10)222010200.所以b1b210n mile.因此，乙船速度的大小为6030(n mile/h)答：乙船每小时航行30n mile.解法二：如下图所示，连结a2b1，由题意知a1b120n mile，a1a23010n mile，b1a1a2105，又cos105cos(4560)cos45cos60sin45sin60，sin105sin(4560)sin45cos60cos45sin60，在a2a1b1中，由余弦定理，得a2ba1ba1a2a1b1a1a2cos105202(10)222010100(42)，所以a2b110(1)n mile由正弦定理，得sina1a2b1sinb1a1a2，所以a1a2b145，