高中数学 第二章 平面向量 2.5 向量的应用学案 苏教版必修4.doc

2.5向量的应用 学习目标1.能运用平面向量的知识解决一些简单的几何问题与简单的物理问题.2.掌握两种基本方法选择基向量法和建系坐标法.3.通过对一些典型问题的研究和讨论，进一步复习巩固平面向量的基础知识、基本方法知识链接1向量可以解决哪些常见的几何问题？答(1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系(2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题2用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？答(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系预习导引1向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：ab(b0)abx1y2x2y10.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，abab0x1x2y1y20.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos .(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|.2向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是向量(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算，运动的叠加亦用到向量的合成(3)动量m是数乘向量(4)功即是力f与所产生位移s的数量积.要点一向量在平面几何中的应用例1如图，已知o为abc所在平面内一点，且满足|2|2|2|2|2|2，求证：o为abc的垂心证明设a，b，c，则cb，ac，ba，由题设：|2|2|2|2|2|2，化简：a2(cb)2b2(ac)2c2(ba)2，得cbacba，从而(ba)cbcac0，.同理，所以o为abc的垂心规律方法垂直问题的解决，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的内积为零，而在此过程中，则需运用线性运算，将目标向量用基底表示，通过基底的内积运算式使问题获解跟踪演练1如图，点o是abc的外心，e为三角形内一点，满足，求证：.证明o为外心，|.，()，()()|2|20，即0.故.要点二向量在平面解析几何中的应用例2已知abc的三个顶点a(0，4)，b(4,0)，c(6,2)，点d、e、f分别为边bc、ca、ab的中点(1)求直线de、ef、fd的方程；(2)求ab边上的高线ch所在直线方程解(1)由已知得点d(1,1)，e(3，1)，f(2，2)，设m(x，y)是直线de上任意一点，则.(x1，y1)，(2，2)(2)(x1)(2)(y1)0，即xy20为直线de的方程同理可求，直线ef，fd的方程分别为x5y80，xy0.(2)设点n(x，y)是ch所在直线上任意一点，则.0.又(x6，y2)，(4,4)4(x6)4(y2)0，即xy40为所求直线ch的方程规律方法对于解析几何中有关直线平行与垂直问题常可转化为考虑与直线相关的向量的共线与垂直，将形转化为数，使问题容易解决跟踪演练2已知点a(2，1)(1)求过点a与向量a(5,1)平行的直线方程；(2)求过点a与向量a(5,1)垂直的直线方程解(1)设所求直线上任一点p(x，y)，则(x2，y1)由题意知a，即(x2)5(y1)0，即x5y70.故过点a与向量a(5,1)平行的直线方程为x5y70.(2)设所求直线上任一点p(x，y)，则(x2，y1)由题意知，a，即a0，即5(x2)(y1)0，即5xy90.故过点a与向量a(5,1)垂直的直线方程为5xy90.要点三向量在物理中的应用例3如图所示，两根绳子把重1 kg的物体w吊在水平杆子ab上，acw150，bcw120，求a和b处所受力的大小(绳子的重量忽略不计，g10 n/kg)解设a、b所受的力分别为f1、f2，10 n的重力用f表示，则f1f2f，以重力的作用点c为f1、f2、f的始点，作图如图，使f1，f2，f，则ecg18015030，fcg18012060.|cos 30105.|cos 60105.所以，a处所受的力为5 n，b处所受的力为5 n.规律方法向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量平行四边形法则把抽象物理问题转化为数学问题跟踪演练3如图，在细绳o处用水平力f2缓慢拉起所受重力为g的物体，绳子与铅垂方向的夹角为，绳子所受到的拉力为f1，求(1)|f1|、|f2|随角的变化而变化的情况；(2)当|f1|2|g|时，角的取值范围解(1)由力的平衡原理知，gf1f20，作向量f1，f2，g，则，四边形oacb为平行四边形，如图由已知aoc，boc90，|，|tan .即|f1|，|f2|g|tan ，.由此可知，当从0逐渐增大趋向于时，|f1|、|f2|都逐渐增大(2)当|f1|2|g|时，有2|g|，cos ，又0，).1如图，平行四边形abcd中，已知ad1，ab2，对角线bd2，则对角线ac的长为_答案解析设a，b，则ab，ab，而|ab|2，52ab4，ab，又|2|ab|2a22abb2142ab6，|，即ac.2.用两条成120角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重量为10 n，则每根绳子的拉力大小为_ n.答案10解析设重力为g，每根绳的拉力分别为f1，f2，则由题意得f1，f2与g都成60角，且|f1|f2|.|f1|f2|g|10 n.每根绳子的拉力都为10 n.3正方形oabc的边长为1，点d、e分别为ab，bc的中点，试求cosdoe的值解以oa，oc所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：，故cosdoe.即cosdoe的值为.4在abc中，abac，d为ab的中点，e为acd的重心，f为abc的外心，证明：efcd.证明建立如图所示的平面直角坐标系设a(0，b)，b(a,0)，c(a,0)，则d(，)，(a，)易知abc的外心f在y轴上，可设为(0，y)由|，得(yb)2a2y2，所以y，即f(0，)由重心坐标公式，得e(，)，所以(，)所以(a)()()0，所以，即efcd.1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持2应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力一、基础达标1在abc中，已知a(4,1)，b(7,5)，c(4,7)，则bc边的中线ad的长是_答案 解析bc中点为d，| .2已知直线l1：3x4y120，l2：7xy280，则直线l1与l2的夹角是_答案45解析在直线l1上任取两点得向量v1(4，3)，l2上任取两点得向量v2(1，7)，则v1与v2的夹角为.则|cos |.两直线夹角为45.3点o是三角形abc所在平面内的一点，满足，则点o是abc的_答案垂心解析，()0.0.obac.同理oabc，ocab，o为三条高的交点即垂心4已知点a(，1)，b(0,0)，c(，0)，设bac的平分线ae与bc相交于e，那么有，其中_.答案3解析如图所示，由题意知abc30，aec60，ce，3，3.5在直角坐标系xoy中，已知点a(0,1)和点b(3,4)，若点c在aob的平分线上且|2，则_.答案解析已知a(0,1)，b(3,4)，设e(0,5)，d(3,9)，四边形obde为菱形aob的角平分线是菱形obde的对角线od.设c(x1，y1)，|3，.(x1，y1)(3,9)，即.6一条河宽为400 m，一船从a出发航行，垂直到达河正对岸的b处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达b处所需时间为_ min.答案1.5解析船和水流速度的合速度是船的实际航行速度，如图|v1|20 km/h，|v2|12 km/h.根据勾股定理|v|16 km/h m/min.所需时间为1.5(min)7.点o是平行四边形abcd的中点，e，f分别在边cd，ab上，且.求证：点e，o，f在同一直线上证明设m，n，由，知e，f分别是cd，ab的三等分点，m(mn)mn，(mn)mmn.又o为和的公共点，故点e，o，f在同一直线上二、能力提升8已知非零向量与满足0且，则abc的形状是_三角形答案等边解析由0，得角a的平分线垂直于bc.abac.而cos，又，0，180，bac60.故abc为等边三角形9在四边形abcd中，(1,2)，(4，2)，则四边形的面积为_答案5解析因为在四边形abcd中，(1,2)，(4,2)，0，所以四边形abcd的对角线互相垂直，又|，|2，该四边形的面积：|25.10已知曲线c：x，直线l：x6.若对于点a(m,0)，存在c上的点p和l上的点q使得0，则m的取值范围为_答案2,3解析由0知a是pq的中点，设p(x，y)，则q(2mx，y)，由题意2x0,2mx6，解得2m3.11如图，已知ab是o的直径，点p是o上任一点(不与a，b重合)，求证：apb90.(用向量方法证明)证明连结op，设向量a，b，则a且ab，ab，b2a2|b|2|a|20，即apb90.12三角形abc是等腰直角三角形，b90，d是bc边的中点，bead，延长be交ac于f，连结df.求证：adbfdc.证明如图所示，建立直角坐标系，设a(2,0)，c(0,2)，则d(0,1)，于是(2,1)，(2,2)，设f(x，y)，由，得0，即(x，y)(2,1)0，2xy0.又f点在ac上，则，而(x,2y)，因此2(x)(2)(2y)0，即xy2.由式解得x，y，f，(0,1)，又|cos cos ，cos ，即co