高中数学 第二章 平面向量 2.1.1 向量的概念学案 新人教B版必修4.doc

21向量的线性运算21.1向量的概念 学习目标1.能结合物理中的位移认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念知识链接1力和位移都是既有大小，又有方向的量，在物理学中常称为矢量，在数学中叫做向量；而把那些只有大小，没有方向的量称为数量，在物理学中常称为标量2已知下列各量：力；功；速度；质量；温度；位移；加速度；重力；路程；密度其中是数量的有，是向量的有.3向量与数量有什么联系和区别？ 答联系是：向量与数量都是有大小的量；区别是：向量有方向且不能比较大小， 数量无方向且能比较大小预习导引1向量的概念既有大小，又有方向的量叫做向量2向量的几何表示以a为始点，以b为终点的有向线段记作.3向量的有关概念(1)零向量：长度等于零的向量叫做零向量，记作0.规定：零向量与任意向量平行 (2)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(3)平行向量(共线向量)：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行也就是说方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量向量a平行于b，记作ab.要点一向量的概念例1给出下列各命题：零向量没有方向；若|a|b|，则ab；向量就是有向线段；两相等向量若其起点相同，则终点也相同；若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若四边形abcd是平行四边形，则，.其中正确命题的序号是_答案解析该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不定；该命题不正确，|a|b|只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同；该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；该命题正确，由向量相等的定义知，a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同，b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故ac；该命题不正确，因若b0，则对两不共线的向量a与c，也有a0，0c，但a kg2.5mmc；该命题不正确如图所示，显然有，.规律方法要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键跟踪演练1给出下列命题：若|a|b|，则ab或ab；向量的模一定是正数；起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；向量与是共线向量，则a、b、c、d四点必在同一直线上其中正确命题的序号是_答案解析错误由|a|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系错误.0的模|0|0.正确对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的错误共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、必须在同一直线上要点二向量的表示例2在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)，使|4，点a在点o北偏东45；(2)，使|4，点b在点a正东；(3)，使|6，点c在点b北偏东30.解(1)由于点a在点o北偏东45处，所以在坐标纸上点a距点o的横向小方格数与纵向小方格数相等又|4，小方格边长为1，所以点a距点o的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点a位置可以确定，画出向量如图所示(2)由于点b在点a正东方向处，且|4，所以在坐标纸上点b距点a的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点b位置可以确定，画出向量如图所示(3)由于点c在点b北偏东30处，且|6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点c距点b的横向小方格数为3，纵向小方格数为35.2，于是点c位置可以确定，画出向量如图所示规律方法在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段跟踪演练2中国象棋中规定：马走“日”字下图是中国象棋的半个棋盘，若马在a处，可跳到a1处，也可跳到a2处，用向量或表示马走了“一步”试在图中画出马在b，c处走了“一步”的所有情况解根据规则，画出符合要求的所有向量马在b处走了“一步”的情况如图(1)所示；马在c处走了“一步”的情况如图(2)所示要点三相等向量与共线向量例3如图所示，o为正方形abcd对角线的交点，四边形oaed、ocfb都是正方形(1)写出与相等的向量；(2)写出与共线的向量；(3)向量与是否相等？解(1)与相等的向量为：、.(2)与共线的向量为：、.(3)向量与不相等，因为与的方向相反，所以它们不相等规律方法判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可跟踪演练3如图，在正方形abcd中，m，n分别为ab和cd的中点，在以a，b，c，d，m，n为起点和终点的所有向量中，相等的向量分别有多少对？解不妨设正方形的边长为2，则以a，b，c，d，m，n为起点和终点的向量中：(1)模为2的相等向量共有8对，.(2)模为1的相等向量有12对，其中与同向的有，这四个向量组成相等的向量有6对，即，同理与反向的也有6对(3)模为的相等向量共有4对，.1下列说法正确的是()a零向量没有大小，没有方向b零向量是唯一没有方向的向量c零向量的长度为0d由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行答案c解析零向量的长度为0，方向是任意的，故a，b错误，c正确零向量与任一向量平行，故d错误2如图，在四边形abcd中，若，则图中相等的向量是()a.与 b.与c.与 d.与答案d解析，四边形abcd是平行四边形，ac、bd互相平分，.3如图，在abc中，若debc，则图中是共线向量的有_答案与，与，与解析观察图形，并结合共线向量的定义可得解4在四边形abcd中，且|，则四边形abcd的形状是_答案梯形解析且|，abdc，但abdc，四边形abcd是梯形1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用2共线向量与平行向量是一组等价的概念平行向量是指向量所在直线平行或重合即可，是一种广义平行一、基础达标1有下列说法：若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；若向量，满足|，且与同向，则；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中，正确说法的个数是()a1 b2 c3 d4答案a解析对于，由共线向量的定义知，两向量不平行，方向一定不相同，故正确；对于，因为向量不能比较大小，故错误；对于，由ab能推出|a|b|且ab，反过来，则不成立，故错误2下列命题不正确的是()a零向量没有方向b零向量只与零向量相等c零向量的模为0d零向量与任何向量共线答案a解析零向量是有方向的，它的方向可以是任意的，故选a.3给出下列五个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若|a|b|，则ab；若，则四边形abcd是正方形；平行四边形abcd中，一定有；若mn，nk，则mk.其中不正确的命题的个数为()a2 b3c4 d5答案b解析不正确的是.4设o是正方形abcd的中心，则向量，是()a相等的向量 b平行的向量c有相同起点的向量 d模相等的向量答案d解析这四个向量的模相等5若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：|a|b|；ab；|a|0；|b|1.其中正确的是()a b c d答案b解析a为任一非零向量，故|a|0.6.如图，等腰梯形abcd中，对角线ac与bd交于点p，点e，f分别在两腰ad，bc上，ef过点p，且efab，则()a.b.c.d.答案d解析由平面几何知识知，与方向不同，故；与方向不同，故；与模相等而方向相反，故；与模相等且方向相同，.7如图，在四边形abcd中，n、m分别是ad、bc上的点，且.求证：.证明，|且abcd，四边形abcd是平行四边形，|，且dacb.又与的方向相同，.同理可证，四边形cnam是平行四边形，.|，|，|.dnmb且与的方向相同，.二、能力提升8下列说法正确的是()a数量可以比较大小，向量也可以比较大小b方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小c向量的大小与方向有关d向量的模可以比较大小答案d解析向量不能比较大小，但是向量的模是实数，可以比较大小9给出下列四个条件：ab；|a|b|；a与b方向相反；|a|0或|b|0.其中能使ab成立的条件是_答案解析因为abab，即能够使ab成立；由于|a|b|并没有确定a与b的方向，即不能够使ab成立；因为a与b方向相反时，ab，即能够使ab成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|0或|b|0时，ab能够成立故使ab成立的条件是.10如图，已知矩形abcd中，设点集ma，b，c，d，求集合t|p、qm，且0解集合t|p、qm，且0中的元素为非零向量，且向量的起点与终点分别为矩形的顶点a、b、c、d.这些向量为，.由于，根据集合元素的互异性，得集合t，11某人从a点出发向西走了250 m到达b点，然后改变方向向北偏西30走了450 m到达c点，最后又改变方向，向东走了250 m到达d点(1)作出向量，(1 cm代表200 m)(2)求的模解(1)如图所示：(2)连接da，由于方向是正东，模长为250 m，方向是正西，模长为250 m，所以cd綊ab，因此四边形abcd为平行四边形，所以|450 m，即的模为450 m.12如图所示，已知.求证：(1)abcabc；(2)，.证明(1)，|，且.又a不在上，aabb.四边形aabb是平行四边形|.同理|，|.abc