高中数学 第二章 平面向量 2.1 向量的概念及表示学案 苏教版必修4.doc

21向量的概念及表示学习目标1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念知识链接1力和位移都是既有大小，又有方向的量，在物理学中常称为矢量，在数学中叫做向量；而把那些只有大小，没有方向的量称为数量，在物理学中常称为标量2已知下列各量：力；功；速度；质量；温度；位移；加速度；重力；路程；密度其中是数量的有，是向量的有.3向量与数量有什么联系和区别？答联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小预习导引1向量：既有大小又有方向的量称为向量2向量的几何表示：以a为起点、b为终点的向量记作.3向量的有关概念(1)零向量：长度为0的向量，叫做零向量，记作0.(2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量(3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(4)相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量(5)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量记法：向量a平行于b，记作ab.规定：零向量与任一向量平行.要点一向量的概念例1给出下列各命题：(1)零向量没有方向；(2)若|a|b|，则ab；(3)单位向量都相等；(4)向量就是有向线段；(5)两相等向量若其起点相同，则终点也相同；(6)若ab，bc，则ac；(7)若ab，bc，则ac；(8)若四边形abcd是平行四边形，则，.其中正确命题的序号是_答案(5)(6)解析(1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不确定；(2)该命题不正确，|a|b|只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同；(3)该命题不正确，单位向量只是模为单位长度1，而对方向没要求；(4)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；(5)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；(6)该命题正确由向量相等的定义知，a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同，b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故ac；(7)该命题不正确因若b0，则对两不共线的向量a与c，也有a0，0c，但ac不成立；(8)该命题不正确如图所示，显然有，.规律方法要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清楚它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键跟踪演练1下列命题中，正确的是_a，b是两个单位向量，则a与b相等；若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同；共线的单位向量必是相等向量答案解析若a与b中有一个是零向量，则a与b是平行向量要点二向量的表示例2在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)，使|4，点a在点o北偏东45；(2)，使|4，点b在点a正东；(3)，使|6，点c在点b北偏东30.解(1)由于点a在点o北偏东45处，所以在坐标纸上点a距点o的横向小方格数与纵向小方格数相等又|4，小方格边长为1，所以点a距点o的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点a位置可以确定，画出向量如图所示(2)由于点b在点a正东方向处，且|4，所以在坐标纸上点b距点a的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点b位置可以确定，画出向量如图所示(3)由于点c在点b北偏东30处，且|6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点c距点b的横向小方格数为3，纵向小方格数为35.2，于是点c位置可以确定，画出向量如图所示规律方法在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段跟踪演练2中国象棋中规定：马走“日”字下图是中国象棋的半个棋盘，若马在a处，可跳到a1处，也可跳到a2处，用向量或表示马走了“一步”试在图中画出马在b，c处走了“一步”的所有情况解根据规则，画出符合要求的所有向量马在b处走了“一步”的情况如图(1)所示；马在c处走了“一步”的情况如图(2)所示要点三相等向量与共线向量例3如图，在正方形abcd中，m，n分别为ab和cd的中点，在以a，b，c，d，m，n为起点和终点的所有向量中，相等的向量分别有多少对？解不妨设正方形的边长为2，则以a，b，c，d，m，n为起点和终点的向量中：模为2的相等向量共有8对，.模为1的相等向量有12对，其中与同向的有，这四个向量组成相等的向量有6对，即，同理与反向的也有6对模为的相等向量共有4对，.规律方法判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可跟踪演练3如图所示，o为正方形abcd对角线的交点，四边形oaed、ocfb都是正方形(1)写出与相等的向量；(2)写出与共线的向量；(3)向量与是否相等？解(1)与相等的向量有：、.(2)与共线的向量有：、.(3)向量与不相等，因为与的方向相反，所以它们不相等.1下列说法正确的是_零向量没有大小，没有方向；零向量是唯一没有方向的向量；零向量的长度为0；任意两个单位向量方向相同答案解析零向量的长度为0，方向是任意的，故错误，正确任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故错误2如图，在abc中，若debc，则图中向量是共线向量的有_答案与，与，与3在四边形abcd中，且|，则四边形abcd的形状是_答案梯形解析且|，abdc，但abdc，四边形abcd是梯形4如图所示，以12方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中(1)写出与、相等的向量；(2)写出与模相等的向量解(1)，.(2)，.1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，也可以将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用2共线向量与平行向量是一组等价的概念平行向量是指向量所在直线平行或重合即可，是一种广义平行3注意两个特殊向量零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆一、基础达标1.如图，等腰梯形abcd中，对角线ac与bd交于点p，点e，f分别在两腰ad，bc上，ef过点p，且efab，则下列正确的是_；.答案解析由平面几何知识知，与方向不同，故；与方向不同，故；与模相等而方向相反，故；与模相等且方向相同，所以.2下列说法正确的有_(填相应的序号)方向相同的向量叫相等向量；零向量的长度为0；共线向量是在同一条直线上的向量；零向量是没有方向的向量；共线向量不一定相等；平行向量方向相同答案解析与正确，其余都是错误的3若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：|a|b|；ab；|a|0；|b|1.其中正确的是_(填相应的序号)答案解析a任一非零向量，故|a|0.4有下列说法：若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；若向量，满足|，且与同向，则；若|a|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行其中，正确说法的个数是_答案1解析对于，由共线向量的定义知，两向量不平行，方向一定不相同，故正确；对于，因为向量不能比较大小，故错误；对于，由|a|b|，只能说明a，b的长度相等，不能确定它们的方向，故错误；对于，因为零向量与任一向量平行，故错误5给出下列四个条件：ab；|a|b|；a与b方向相反；|a|0或|b|0.其中能使ab成立的条件是_答案解析因为abab，即能够使ab成立；由于|a|b|并没有确定a与b的方向，即不能够使ab成立；因为a与b方向相反时，ab，即能够使ab成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|0或|b|0时，ab能够成立故使ab成立的条件是.6下列结论中，正确的是_(填相应的序号)若向量，共线，则向量；若向量，则向量与共线；若向量，则向量；若，则四边形abcd是正方形答案解析根据平行向量(或共线向量)定义知均正确；根据向量相等的概念知正确；不正确7如图，在四边形abcd中，n、m分别是ad、bc上的点，且.求证：.证明，|且abcd，四边形abcd是平行四边形，|，且dacb.又与的方向相同，.同理可证，四边形cnam是平行四边形，.|，|，|.dnmb且与的方向相同，.二、能力提升8下列说法正确的是_(填相应的序号)向量就是所在的直线平行于所在的直线；长度相等的向量叫做相等向量；零向量长度等于0；共线向量是在一条直线上的向量答案解析向量包含所在的直线平行于所在的直线和所在的直线与所在的直线重合两种情况；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平行向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以均错9.如图，已知四边形abcd为正方形，cbe为等腰直角三角形，回答下列问题：(1)图中与共线的向量有_；(2)图中与相等的向量有_；(3)图中与模相等的向量有_答案(1)，(2)，(3)，10一辆汽车从a点出发向西行驶了100 km到达b点，然后又改变方向向北偏西40走了200 km到达c点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达d点(1)作出向量、；(2)求|.解(1)向量、如图所示(2)由题意，易知与方向相反，故与共线，又|，在四边形abcd中，abcd且abcd.四边形abcd为平行四边形，|200 km.11一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向向前行进1米，逆时针方向转变度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去(1)按1100比例作图说明当45时，操作几次时赛车的位移为零；(2)按此法操作使赛车能回到出发点，应满足什么条件？解(1)如图所示，操作8次后，赛车的位移为零；(2)要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零，按(1)的方式作图，则所作图形是内角为180的正多边形，故有n(180)(n2)180.即，n为不小于3的整数12如图平面图形中，已知.求证：(1)abcabc；(2)，.证明(1)，|，且.又a不在上，aabb.四边形aabb是