高三数学一轮复习 第十二章 复数、算法、推理与证明 第四节 直接证明和间接证明课件 理.ppt

理数课标版 第四节直接证明和间接证明 1 直接证明 教材研读 2 间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法 反证法是一种常用的间接证明方法 1 反证法的定义 假设原命题 不成立 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出 矛盾 因此说明假设错误 从而证明 原命题成立的证明方法 2 用反证法证明的一般步骤 i 反设 假设命题的结论不成立 ii 归谬 根据假设进行推理 直到推出矛盾为止 iii 结论 断言假设不成立 从而肯定原命题的结论成立 3 数学归纳法的步骤 1 归纳奠基 证明当n取第一个值 n0 n0 n 时命题成立 2 归纳递推 假设 n k k n0 k n 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 只要完成以上两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 1 用分析法证明时出现 欲使 a b 只需 c d 这里 是 的 a 充分条件b 必要条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件答案b由题意可知 应用 故 是 的必要条件 2 用反证法证明命题 三角形的内角中至少有一个不大于60度 假设正确的是 a 假设三个内角都不大于60度b 假设三个内角都大于60度c 假设三个内角至多有一个大于60度d 假设三个内角至多有两个大于60度答案b根据反证法的定义 假设是对原命题结论的否定 故假设三个内角都大于60度 故选b 3 设a b c都是正数 则a b c 三个数 a 都大于2b 都小于2c 至少有一个不大于2d 至少有一个不小于2答案d 6 当且仅当a b c时取等号 三个数中至少有一个不小于2 4 已知点an n an 为函数y 图象上的点 bn n bn 为函数y x图象上的点 其中n n 设cn an bn 则cn与cn 1的大小关系为 答案cn cn 1解析由题意知 an bn n cn n 显然 cn随着n的增大而减小 cn cn 1 5 用数学归纳法证明等式1 2 3 2n 1 n 1 2n 1 时 当n 1时 左边表达式是 从k k 1需增添的项是 答案1 2 3 4k 5 或 2k 2 2k 3 解析用数学归纳法证明等式1 2 3 2n 1 n 1 2n 1 时 当n 1时 2n 1 3 所求左边表达式是1 2 3 从k k 1需增添的项是4k 5 或 2k 2 2k 3 考点一综合法典例1 2016天津 18 13分 已知 an 是各项均为正数的等差数列 公差为d 对任意的n n bn是an和an 1的等比中项 1 设cn n n 求证 数列 cn 是等差数列 2 设a1 d tn 1 k n n 求证 考点突破 证明 1 由题意得 anan 1 有cn an 1 an 2 anan 1 2dan 1 因此cn 1 cn 2d an 2 an 1 2d2 所以 cn 是等差数列 2 tn 2d a2 a4 a2n 2d 2d2n n 1 所以 方法技巧用综合法证明是从已知条件出发 逐步推向结论 综合法的适用范围 1 定义明确的问题 如判断函数的单调性 奇偶性 2 已知条件明确 并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型 在使用综合法证明时 易出现的错误是因果关系不明确 逻辑混乱 1 1设a b c 0 证明 a b c 证明因为a b c 0 根据基本不等式 有 b 2a c 2b a 2c 三式相加 a b c 2 a b c 即 a b c 1 2 2016山东临沂模拟 在 abc中 角a b c的对边分别为a b c 已知sinasinb sinbsinc cos2b 1 1 求证 a b c成等差数列 2 若c 求证 5a 3b 证明 1 由已知得sinasinb sinbsinc 2sin2b 因为sinb 0 所以sina sinc 2sinb 由正弦定理 有a c 2b 即a b c成等差数列 2 由c c 2b a及余弦定理得 2b a 2 a2 b2 ab 即有5ab 3b2 0 所以 即5a 3b 考点二分析法典例2已知函数f x 3x 2x 求证 对于任意的x1 x2 r 均有 f 证明要证明 f 即证明 2 因此只要证明 x1 x2 x1 x2 即证明 因此只要证明 由于x1 x2 r 所以 0 0 由基本不等式知 成立 故原结论成立 方法技巧 1 分析法采用逆向思维 当已知条件与结论之间的联系不够明显 直接 或证明过程中所需要用的知识不太明确 具体时 往往采用分析法 特别是含有根号 绝对值的等式或不等式 从正面不易推导时 常考虑用分析法 2 应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的 它的常用书面表达形式为 要证 只需要证 或 注意用分析法证明时 一定要严格按照格式书写 2 1已知 abc的三个内角a b c成等差数列 a b c的对边分别为a b c 求证 证明要证 即证 3 也就是 1 只需证c b c a a b a b b c 需证c2 a2 ac b2 又 abc的三个内角a b c成等差数列 故b 60 由余弦定理 得 b2 c2 a2 2accos60 即b2 c2 a2 ac 故c2 a2 ac b2成立 于是原等式成立 考点三反证法典例3 2015湖南 16 6分 设a 0 b 0 且a b 证明 1 a b 2 2 a2 a0 b 0 得ab 1 1 由基本不等式及ab 1 有a b 2 2 即a b 2 2 假设a2 a0得0 a 1 同理 0 b 1 从而0 ab 1 这与ab 1矛盾 故a2 a 2与b2 b 2不可能同时成立 易错警示用反证法证明不等式要把握三点 1 必须先否定结论 即肯定结论的反面 2 必须从结论的反面出发进行推理 即应把结论的反面作为条件 且必须依据这一条件进行推证 3 推导出的矛盾可能多种多样 有的与已知条件矛盾 有的与假设矛盾 有的与基本事实矛盾等 且推导出的矛盾必须是明显的 3 1已知f x ax2 bx c 若a c 0 f x 在 1 1 上的最大值为2 最小值为 求证 a 0且 2 证明假设a 0或 2 1 当a 0时 由a c 0 得f x bx 由题意得b 0 f x bx在 1 1 上是单调函数 所以f x 在 1 1 上的最大值为 b 最小值为 b 由已知条件 得 b b 2 这与 b b 0相矛盾 所以a 0 2 当 2时 a 0 由二次函数f x 的图象的对称轴为x 知f x 在 1 1 上是单调函数 故其最值在区间的端点处取得 所以或又a c 0 则b不存在 所以 2 由 1 2 得a 0且 2 考点四数学归纳法典例4已知数列 an 的各项均为正数 bn nan n n e为自然对数的底数 计算 由此推测计算的公式 并给出证明 解析 1 1 1 2 2 2 2 1 2 32 32 3 3 1 3 43 由此推测 n 1 n 下面用数学归纳法证明 1 当n 1时 左边 右边 2 成立 2 假设当n k时 成立 即 k 1 k 当n k 1时 bk 1 k 1 ak 1 由归纳假设可得 k 1 k k 1 k 2 k 1 所以当n k 1时 也成立 根据 1 2 可知 对一切正整数n都成立 易错警示使用数学归纳法需注意的问题 数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想 第一步是递推的基础 第二步是递推的依据 两个步骤缺一不可 否则就会导致错误 1 第一步中 验算n n0中的n0不一定为1 根据题目要求 有时可为2或3等 2 第二步中 证明n k 1时命题成立的过程中 一定要用到归纳假设 掌握 一凑假设 二凑结论 的技巧 由k到k 1的证明中寻找由k到k 1的变化规律是难点 突破难点的关键是掌握由k到k 1的证明方法 在运用归纳假设时 应分析p k 与p k 1 的差异及联系 利用拆 添 并 放 缩等方法 或从p k 出发拼凑p k 1 或从p k 1 中分离出p k 再进行局部调整 也可考虑寻求二者的 结合点 以便顺利过渡 切实掌握 观察 归纳 猜想 证明 这一特殊到一般的推理方法 4 1已知等差数列 an 的公差d大于0 且a2 a5是方程x2 12x 27 0的两根 数列 bn 的前n项和为tn且tn 1 bn 1 求数列 an bn 的通项公式 2 设数列 an 的前n项和为sn 试比较与sn 1的大小 并说明理由 解析 1 由已知得又因为 an 的公差大于0 所以a5 a2 所以a2 3 a5 9 所以d 2 a1 1 所以an 2n 1 因为tn 1 bn 所以b1 当n 2时 tn 1 1 bn 1 因为bn tn tn 1 1 bn 化简 得bn bn 1 所以 bn 是首项为 公比为的等比数列 故bn 所以an 2n 1 bn 2 因为sn n n2 所以sn 1 n 1 2 以下比较与sn 1的大小 当n 1时 s2 4 所以 s