高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数（2）课件3 新人教A版必修4.ppt

1 2 1任意角的三角函数 二 知识提炼 1 相关概念 1 单位圆 以原点o为圆心 以单位长度为半径的圆 2 有向线段 带有 规定了起点和终点 的线段 规定 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值 反之为负值 方向 2 三角函数线 mp om at 即时小测 1 判断 1 三角函数线的长度等于三角函数值 2 三角函数线的方向表示三角函数值的正负 3 对任意角都能作出正弦线 余弦线和正切线 解析 1 错误 三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值 2 正确 凡是与x轴或y轴正向同向的为正值 反向的为负值 3 错误 对任意角都能作出正弦线 余弦线 但不一定能作出正切线 如角正切线不存在 答案 1 2 3 2 角和角有相同的 a 正弦线b 余弦线c 正切线d 不能确定 解析 选c 由于 即两角的终边在一条直线上 因而它们的正切线相同 3 已知角 的正弦线的长度为单位长度 那么角 的终边 a 在x轴上b 在y轴上c 在直线y x上d 在直线y x上 解析 选b 由题意得 sin 1 故角 的终边与单位圆的交点坐标为 0 1 所以角 的终边在y轴上 4 如果mp和om分别是的正弦线和余弦线 那么下列结论中正确的是 a mp om 0b mp 0 omc om 0 mpd om mp 0 解析 选c 作出角的正弦线和余弦线 如图所示 观察图象可知 om 0 mp 5 若角 的余弦线的长度为0 则它的正弦线的长度为 解析 若角 的余弦线长度为0 则角 的终边在y轴上 此时其正弦线长度为1 答案 1 知识探究 知识点三角函数线观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 三角函数线的方向有何特点 问题2 用三角函数线表示三角函数时其符号是如何确定的 总结提升 1 三角函数线的意义正弦线 余弦线 正切线分别是正弦 余弦 正切函数的几何表示 这三种线段都是与单位圆有关的有向线段 这些特定的有向线段的数值可以用来表示三角函数值 2 对三角函数线的四点说明 1 三条有向线段的位置正弦线为角的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段 余弦线在x轴上 正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线 三条有向线段两条在单位圆内 一条在单位圆外 2 三条有向线段的方向正弦线由垂足指向角的终边与单位圆的交点 余弦线由原点指向垂足 正切线由切点 1 0 指向与角终边的交点 3 三条有向线段的正负三条有向线段凡是与x轴或y轴同向的为正值 与x轴或y轴反向的为负值 4 三条有向线段的书写有向线段的起点字母在前面 终点字母在后面 题型探究 类型一三角函数线的作法 典例 1 若角 0 2 的正弦线与余弦线的数量互为相反数 那么 的值为 2 分别作出下列各角的正弦线 余弦线 正切线 解题探究 1 典例1中 正弦线与余弦线的方向有什么特点 终边落在何处的角的正弦与余弦的绝对值相等 提示 正弦线与余弦线的方向一个与坐标轴同向 另外一个与坐标轴反向 终边落在直线y x或直线y x上的角的正弦与余弦的绝对值相等 2 典例2中 作正弦线 余弦线 正切线的关键是作哪两条垂线 提示 过角的终边与单位圆的交点作x轴的垂线 过点 1 0 作x轴的垂线 解析 1 选d 若角 的正弦线与余弦线的数量互为相反数 那么 的终边落在直线y x上 如图所示 又因为0 2 所以 或 2 作图如下 图 1 2 3 4 中的mp om at分别表示各个角的正弦线 余弦线 正切线 方法技巧 三角函数线的画法 1 作正弦线 余弦线时 首先找到角的终边与单位圆的交点 然后过此交点作x轴的垂线 得到垂足 从而得正弦线和余弦线 2 作正切线时 应从a 1 0 点引x轴的垂线 交 的终边 为第一或第四象限角 或 终边的反向延长线 为第二或第三象限角 于点t 即可得到正切线at 变式训练 试作出角 的正弦线 余弦线 正切线 解析 如图 的正弦线 余弦线 正切线分别为mp om at 类型二利用三角函数线比较大小 典例 1 若 则下列各式错误的是 a sin cos 0b sin cos 0c sin cos d sin cos 02 设 是第二象限角 试比较sin cos tan的大小 解题探究 1 典例1中 sin cos 是正数还是负数 角 的正弦线和余弦线的长度之间有什么关系 提示 sin 0 cos 0 角 的正弦线的长度比余弦线的长度小 2 典例2中 如何确定的终边所在区域 可以用什么方法比较sin cos tan的大小 提示 的终边在第一象限或第三象限 可以画出的三角函数线用数形结合的方法比较sin cos tan的大小 解析 1 选d 因为 作出角的正弦线和余弦线如图所示 所以sin 0 cos 0 2 因为 是第二象限角 所以 2k 2k k z 所以 k k k z 所以是第一或第三象限的角 如图阴影部分 结合单位圆上的三角函数线可得 1 当是第一象限角时 sin ab cos oa tan ct 从而得 cos sin tan 2 当是第三象限角时 sin ef cos oe tan ct 得sin cos tan 综上所得 当在第一象限时 cos sin tan 当在第三象限时 sin cos tan 延伸探究 典例1中 若 是第一象限角 试判断sin cos 的值与1的大小关系 解析 如图 角 的终边与单位圆交于p点 过p作pm x轴于m点 由三角形两边之和大于第三边可知sin cos 1 方法技巧 1 三角函数线比较大小的两个关注点 1 三角函数线是一个角的三角函数值的体现 从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负 其长度是三角函数值的绝对值 2 比较两个三角函数值的大小 不仅要看其长度 还要看其方向 2 sin cos 和sin cos 的符号规律 变式训练 2015 鞍山高一检测 sin1 sin2 sin3 sin4的大小顺序是 解题指南 作出四个角的正弦线 观察图形比较大小 难点是比较sin1与sin2的大小 关键分析哪个角的终边离y轴近 解析 作出1 2 3 4的正弦线如图所示 因为 3 所以 1 2 观察图可知 sin4 0 sin3 sin1 sin2 答案 sin4 sin3 sin1 sin2 补偿训练 用单位圆及三角函数线证明 正弦函数在上是增函数 证明 设0 1 2 分别作 1 2的正弦线如图所示 sin 1 m1p1 sin 2 m2p2 因为0 1 2 所以m1p1 m2p2 即sin 1 sin 2 所以正弦函数在上为增函数 类型三用三角函数线解三角不等式 典例 在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边的范围 并由此写出角 的集合 1 sin 2 cos 3 tan 1 解题探究 本例中解三角不等式首先要作出哪些角的终边 提示 首先要作出满足sin cos tan 1的角 的终边 解析 1 作直线y 交单位圆于a b两点 连接oa ob 则oa与ob围成的区域即为角 的终边的范围 故满足条件的角 的集合为 2k 2k k z 2 作直线x 交单位圆于c d两点 连接oc od 则oc与od围成的区域 图中阴影部分 即为角 终边的范围 故满足条件的角 的集合为 2k 2k k z 3 在单位圆过点a 1 0 的切线上取at 1 连接ot ot所在直线与单位圆交于p1 p2两点 则图中阴影部分即为角 终边的范围 所以 的取值集合是 k k k z 如图 延伸探究 1 变换条件 若将本例 2 改为求使有意义的 的取值集合 则结果如何 解析 如图 因为2cos 1 0 所以cos 的取值集合为 2k 2k k z 2 变换条件 本例 1 中角 满足的条件改为 sin 试求 的取值集合 解析 由三角函数线可知且故 的取值范围是 方法技巧 利用三角函数线解三角不等式的方法 1 正弦 余弦型不等式的解法对于sinx b cosx a sinx b cosx a 求解关键是恰当地寻求点 只需作直线y b或x a与单位圆相交 连接原点与交点即得角的终边所在的位置 此时再根据方向即可确定相应的范围 2 正切型不等式的解法对于tanx c 取点 1 c 连接该点和原点并反向延长 即得角的终边所在的位置 结合图象可确定相应的范围 补偿训练 利用单位圆中的三角函数线 确定角 的取值范围使 cos 解析 如图中阴影部分就是满足条件的角 的取值范围 即2k 2k 或2k 2k k z 延伸探究 1 变换条件 将角 满足的条件改为 cos 求角 取值范围 解析 如图中阴影部分就是满足条件的角 的取值范围 即2k 2k 或2k 2k k z 2 变换条件 求满足的x的取值范围 解析 要使函数有意义 则所以如图所示 所以 易错案例三角函数线在解三角方程中的应用 典例 2015 广州高一检测 已知tanx 则x的集合为 a x x 2k k z b x x 2k k z c d x x k k z 失误案例 错解分析 分析解题过程 你知道错在哪里吗 提示 错误的根本原因是在0 2 内寻找正切线为的角不全面 实际上与的终边互为反向延长线 两个角的正切线相同 自我矫正 选d 因为与的终边互为反向延长线 所以两角的正切线相同 如图所示 所以tan tan 若tanx 则角x的终边落在角终边上或落在角终边上 所以x的集合为 x x 2k