高中数学 第一章 三角函数 1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义课件1 北师大版必修4.ppt

1 4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式1 4 1单位圆与任意角的正弦函数 余弦函数的定义 在直角三角形abc中 c 90 sin cos tan 分别叫作角 的正弦 余弦和正切 它们的值分别等于什么 当角 不是锐角时 我们必须对sin cos tan 的值进行推广 以适应任意角的需要 如何定义任意角的三角函数呢 这就是这节课我们所要学习的主要内容 1 正确理解三角函数是以实数为自变量的函数 重点 2 理解正弦函数 余弦函数在四个象限内的符号 重点 3 借助单位圆理解任意角的正弦函数 余弦函数的定义 难点 思考 在直角坐标系中 作以坐标原点为圆心的单位圆 对于任意角 使角的顶点与原点重合 始边与x轴的非负半轴重合 终边与单位圆交于唯一的点p u v 正弦函数 余弦函数又该如何表示呢 探究点1任意角的正弦函数 余弦函数的定义 如图所示 点p的纵坐标v叫作 的正弦函数 记作v sin 点p的横坐标u叫作 的余弦函数 记作u cos 小结 1 对于给定的角 点p的纵坐标v 横坐标u都是唯一确定的 所以正弦函数 余弦函数都是以角 为自变量 以单位圆的点的坐标为函数值的函数 3 如图 在给定的单位圆中 对于任意角 可以是正角 负角或是零角 所以正弦函数v sin 余弦函数u cos 的定义域为全体实数 思考 由三角函数的定义 如何求任意角 的正弦 余弦值 提示 求任意角 的正弦 余弦值分两步 第一步求出角 的终边与单位圆的交点p 第二步写出点p的坐标 其中纵坐标为正弦值 横坐标为余弦值 即时训练 判断下列命题是否正确 正确的打 错误的打 1 sin cos 中可以将 与 sin cos 分开 2 同一个三角函数值能找到无数个角与之对应 3 角 终边上有一点p 1 1 故cos 1 解析 1 错误 符号sin cos 是一个整体 不能分开 2 正确 终边相同的角的同一三角函数值相等 3 错误 p 1 1 x 1 y 1 故cos 答案 1 2 3 探究点2三角函数值在各象限的符号 思考1角 的正弦 余弦 正切的值的正负与谁有关 提示 与角 终边所在的象限有关 思考2如何判断角 的正弦 余弦 正切值的正负 提示 角 的正弦 余弦 正切值的正负只与点p u v 的坐标u v的正负有关 所以可通过u v的正负来判断角 的正弦 余弦 正切值的正负 根据三角函数的定义 研究三角函数的值在各个象限的符号 o x y o x y 口诀 全正 正弦 全负 余弦 当角 0时 sin 若角 3 则sin 的符号为 填 正 或 负 解析 当角 0时 sin 0 若角 3 则角 是第三象限角 所以sin 0 即时训练 负 0 提升总结 正弦函数 余弦函数的值在各象限的符号 解 1 如图 以原点为角的顶点 以x轴的非负半轴为始边 顺时针旋转 与单位圆交于点p 即为所求作的角 例2在直角坐标系的单位圆中 1 画出角 2 求出角 的终边与单位圆的交点坐标 例3已知角终边上一点p求角的正弦函数值 余弦函数值 解 因为点p在角的终边上 所以可知则sin cos 已知角 的终边过点p 3a 4a a 0 则cos 解析 由题意可得 op 当a 0时 op 5a 则当a 0时 op 5a 则 变式练习 总结提升 利用三角函数的定义求值的策略 1 已知角 的终边在直线上求 的三角函数值时 常用的解题方法有以下两种 方法一 先利用直线与单位圆相交 求出交点坐标 然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值 方法二 注意到角的终边为射线 所以应分两种情况来处理 取射线上任一点坐标 a b 则对应角的正弦值余弦值 2 当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时 要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论 在直角坐标系的单位圆中 求各个角终边与单位圆的交点坐标 并将各特殊角的正弦函数值 余弦函数值填入下表 你能独立完成这张表吗 0 1 0 1 0 在直角坐标系的单位圆中 求各个角终边与单位圆的交点坐标 并将各特殊角的正弦函数值 余弦函数值填入下表 观察此表格中的数据 你能发现函数y sinx和y cosx的变化有什么特点吗 总结 用x表示自变量 即x表示角的大小 用y表示函数值 于是任意角三角函数可以表示为它们的定义域为全体实数 1 若sin cos 0 则角 是 a 第一象限角b 第二象限角c 第一或三象限角d 第二或四象限角 解析 因为sin cos 0 所以sin 与cos 同号 所以角 是第一或三象限角 c 2 若角 的终边与单位圆交于点 则sin 解 由三角函数的定义可知sin 3 已知角 的终边上一点a的坐标为 2sin60 2cos60 则sin 的值为 解 因为sin60 cos60 所以a 1 所以r 2 所以sin b 4 已知角的终边经过点 求的正弦函数值 余弦函