高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.1 命题课件4 新人教A版选修11.ppt

第一章常用逻辑用语1 1命题及其关系1 1 1命题 自主预习 1 命题的概念 1 定义 用语言 符号或式子表达的 可以 的陈述句 判断真假 2 分类命题2 命题的形式命题的一般形式为 若p 则q 其中p叫做命题的 q叫做命题的 真命题 判断为 的语句 假命题 判断为 的语句 真 假 条件 结论 即时小测 1 下列语句中 命题的个数是 空集是任何集合的真子集 请起立 单位向量的模为1 你是高二的学生吗 a 0b 1c 2d 3 解析 选c 是命题 是祈使句 不是命题 是疑问句 不是命题 2 命题 二次函数最多有两个零点 中的条件是 结论是 解析 命题为 若一个函数是二次函数 则它最多有两个零点 所以条件是 一个函数是二次函数 结论是 这个函数最多有两个零点 答案 一个函数是二次函数这个函数最多有两个零点 3 下列语句中假命题是 3是15的约数 15能被5整除吗 x x是正方形 是 x x是平行四边形 的子集吗 3小于2 矩形的对角线相等 9的平方根是3或 3 2不是质数 2既是自然数 也是偶数 解析 是假命题 不是命题 是真命题 答案 知识探究 探究点1命题概念的理解1 表述命题的语句有什么特点 提示 必须是陈述句 祈使句 疑问句 感叹句等都不是命题 2 语句 x 0 可以判断真假吗 提示 由于不知道x的范围 所以无法判断真假 归纳总结 命题概念的理解表述命题的语句必须是陈述句 并且能够判断真假 二者缺一不可 探究点2命题的形式1 如何确定命题的条件和结论 提示 命题中已知的事项为条件 由已知推出的事项为结论 2 如何确定 若p 则q 为真 提示 能够利用公理 定理等已有知识和条件p推出结论q 则说明 若p 则q 为真 易错警示 判断命题的真假时 要先判断是否为命题 若是命题后再判断其真假 归纳总结 对命题形式的理解 1 有的命题有明确的条件p和结论q 而有的命题不明显 2 确定命题的条件和结论时 最好把命题写成 若p 则q 的形式 特别提醒 含变量的语句随变量范围的不同 可能是命题也可能不是命题 可能是真命题也可能是假命题 类型一命题的概念 典例 判断下列语句是否是命题 并说明理由 1 求证是无理数 2 若x r 则x2 4x 4 0 3 你是高一的学生吗 4 并非所有的人都喜欢苹果 5 若xy是有理数 则x y都是有理数 6 60 x 9 4 解题探究 判断一个语句是否为命题的标准是什么 提示 两个标准 一是陈述句 二是可以判断真假 解析 1 是祈使句 不是命题 2 因为x2 4x 4 x 2 2 0 所以可以判断其真假 是命题 3 是疑问句 不是命题 4 因为有的人喜欢苹果 有的人不喜欢苹果 所以可以判断 并非所有的人都喜欢苹果 是真的 是命题 5 该陈述句可以判断是假的 如 是有理数 但和 都是无理数 所以是命题 6 不是命题 这种含有未知数的语句 未知数的取值能否使不等式成立 无法确定 方法技巧 判断一个语句是否是命题的三个关键点 1 一般来说 陈述句才是命题 祈使句 疑问句 感叹句等都不是命题 2 该语句表述的结构可以判断真假 含义模糊不清 无法判断真假的语句不是命题 3 对于含有变量的语句 要注意根据变量的取值范围 看能否判断真假 若能 就是命题 否则就不是命题 拓展延伸 特殊的命题在数学和其他科学技术领域中 还有一类陈述句也经常出现 如 每一个不小于6的偶数都是两个素数之和 哥德巴赫猜想 在2020年前 将有人登上火星 等 虽然目前还不能确定这些语句的真假 但随着科学技术的发展与时间的推移 总能确定他们的真假 人们把这一类猜想仍算为命题 变式训练 下列语句中命题的个数是 5 z 不是实数 大边所对的角大于小边所对的角 是无理数 a 1b 2c 3d 4 解析 选d 都是命题 类型二命题真假的判断 典例 1 下列命题中假命题是 a 若log2x 2 则0 x 4b 若a b 0 则a与b的夹角为90 c 已知非零数列 an 满足an 1 2an 0 则该数列为等比数列d 点 0 是函数y sinx图象上一点 2 2016 葫芦岛高二检测 给定下列命题 若a b 则2a 2b 命题 若a b是无理数 则a b是无理数 是真命题 直线x 是函数y sinx的一条对称轴 在 abc中 若 0 则 abc是钝角三角形 其中为真命题的是 解题探究 1 如何快速地判断一个命题为假命题 提示 只需举出一个反例 2 如何判断一个命题为真命题 提示 需要严格推证 解析 1 选b 选项a中 y log2x为增函数 由log2x 2 得0 x 4 选项c中 由an 1 2an 0得 2 符合等比数列定义 选项d中 由sin 0 所以点 0 在y sinx的图象上 选项b中当a 0 b 0时 a与b的夹角是任意的 所以b是假命题 2 是真命题 因为y 2x是增函数 所以当a b时 2a 2b 当a b 时 a b 0为有理数 故 为假命题 函数y sinx的对称轴为x 2k k z 显然当k 0时对称轴为x 是真命题 因为 cos b 0 所以cosb 0 所以b为钝角 故 为真命题 答案 延伸探究 1 典例2中命题 变为 若 0 则 abc是锐角三角形还是真命题吗 解析 不是真命题 0只能说明 b是锐角 其他两角的情况不确定 只有三个角都是锐角 才可以判定三角形为锐角三角形 2 典例2中命题 改为若 0 则 abc是 三角形 解析 因为 0 所以 即 abc 90 所以 abc是直角三角形 答案 直角 方法技巧 判断命题真假的方法 1 真命题的判定方法 要判断一个命题是真命题 一般要有严格的证明或有事实依据 比如根据已学过的定义 公理 定理证明或根据已知的正确结论推证 2 假命题的判定方法 通过构造一个反例否定命题的正确性 这是判断一个命题为假命题的常用方法 补偿训练 2016 莆田高二检测 设m n是两条不同的直线 是三个不同的平面 给出下列四个命题 若m n 则m n 若 则 若m n 则m n 若 则 其中为真命题的是 a b c d 解析 选b 显然 是正确的 结论选项可以排除c d 然后在剩余的 中选一个来判断 即可得出结果 为真命题 类型三命题的形式 典例 1 已知命题 弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧 若把上述命题改为 若p 则q 的形式 则p是 q是 2 把下列命题写成 若p 则q 的形式 并指出条件与结论 1 相似三角形的对应角相等 2 当a 1时 函数y ax是增函数 解题探究 1 典例1中命题的p与q分别对应命题中的什么内容 提示 p对应 一条直线是弦的垂直平分线 q对应 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧 2 1 命题中的已知是什么 得出了什么结论 提示 已知两个三角形相似 得出的结论是它们的对应角相等 2 当a 1时 在命题中有什么作用 提示 是得出 函数y ax是增函数 的前提条件 解析 1 已知命题可改写为 若一条直线是弦的垂直平分线 则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧 所以p是 一条直线是弦的垂直平分线 q是 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧 答案 一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧 2 1 若两个三角形相似 则它们的对应角相等 条件p 三角形相似 结论q 对应角相等 2 若a 1 则函数y ax是增函数 条件p a 1 结论q 函数y ax是增函数 方法技巧 1 将命题改写为 若p 则q 形式的方法及原则 2 命题改写中的注意点若命题不是以 若p 则q 这种形式给出时 首先要确定这个命题的条件p和结论q 进而改写成 若p 则q 的形式 变式训练 命题 平行四边形的对角线既互相平分 也互相垂直 的条件是 结论是 解析 条件是 一个四边形是平行四边形 结论是 这个四边形的对角线既互相平分 也互相垂直 答案 一个四边形是平行四边形这个四边形的对角线既互相平分 也互相垂直 补偿训练 把下列命题写成 若p 则q 的形式 并判断其真假 1 等腰三角形的两个底角相等 2 当x 2或x 4时 x2 6x 8 0 3 正方形既是矩形又是菱形 4 方程x2 x 1 0有两个实数根 解析 1 若一个三角形是等腰三角形 则两个底角相等 为真命题 2 若x 2或x 4 则x2 6x 8 0 为真命题 3 若一个四边形是正方形 则它既是矩形 又是菱形 为真命题 4 若一个方程为x2 x 1 0 则这个方程有两个实数根 为假命题 自我纠错命题的改写 典例 将命题 已知c 0 当a b时 ac bc 改写为 若p 则q 的形式为