高中数学 第一章 推理与证明综合测试 北师大版选修22.doc

【成才之路】2015-2016学年高中数学 第一章 推理与证明综合测试 北师大版选修2-2时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面_”()a各正三角形内一点b各正三角形的某高线上的点c各正三角形的中心d各正三角形外的某点答案c解析正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形表示的侧面，所以边的中点对应的就是正三角形的中心故选c2不等式ab与同时成立的充要条件为()aab0ba0bc0 d0答案b解析a0b，故选b.3否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()a有一个解 b有两个解c至少有三个解 d至少有两个解答案c解析至少有两个解包含：有两解，有一解，无解三种情况4已知f(n)，则()af(n)中共有n项，当n2时，f(2)bf(n)中共有n1项，当n2时，f(2)cf(n)中共有n2n项，当n2时，f(2)df(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2)答案d解析f(n)f(n)中共有n2n1项f(2)5数列an中前四项分别为2，则an与an1之间的关系为()aan1an6 b3can1 dan1答案b解析观察前四项知它们分子相同，分母相差6，为等差数列6已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个数对是()a(7,5) b(5,7)c(2,10) d(10,1)答案b解析依题意，由和相同的整数对分为一组不难得知，第n组整数对的和为n1，且有n个整数对这样前n组一共有个整数对注意到600且a1)的图像恒过定点a，若点a在直线mxny10上，其中mn0，则的最小值为_答案8解析yloga(x3)1(a0且a1)的图像恒过定点a(2，1)又点a在直线mxny10上，2mn1.又mn0，m0，n0.2mn12，当且仅当2mn，即m，n时取等号，mn.8.14若数列an中，a11，a235，a37911，a413151719，则a10_.答案1 000解析前10项共使用了12341055个奇数，a10为由第46个到第55个奇数的和，即a10(2461)(2471)(2551)1 000.15(2014陕西文，14)已知f(x)，x0，若f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nn， 则f2014(x)的表达式为_答案解析f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f2014(x).应寻求规律，找出解析式三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16已知a0，b0，求证：.证明证法一：(综合法)a0，b0，2，当且仅当ab时取等号，同理：2，当且仅当ab时取等号22，即.证法二：(分析法)要证，只需证：abab，只需证：abab0，而a()b()()()20，当且仅当ab时取等号，所以.证法三：(反证法)假设当a0，b0时，.由，得0，即0，b0时，显然不成立，假设不成立故.17在abc中，abac，adbc于d，求证：，那么在四面体abcd中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由证明如图(1)所示，由射影定理ad2bddc，ab2bdbc，ac2bcdc，.又bc2ab2ac2，.猜想：类比abac，adbc猜想：四面体abcd中，ab、ac、ad两两垂直，ae平面bcd.则.如图(2)，连结be交cd于f，连结af.abac，abad，ab平面acd.而af面acd，abaf.在rtabf中，aebf，.在rtacd中，afcd，故猜想正确18已知数列an，a15且sn1an(n2，nn)(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明an的通项公式分析利用不完全归纳法猜想归纳出an，然后用数学归纳法证明解题的关键是根据已知条件和假设寻找ak与ak1和sk与sk1之间的关系解析(1)由已知，得a2s1a15，a3s2a1a210，a4s3a1a2a3551020，an.(2)证明当n2时，a252225，表达式成立当n1时显然成立，下面用数学归纳法证明n2时结论亦成立假设nk(k2，kn)时表达式成立，即ak52k2，则当nk1时，由已知条件和假设有ak1ska1a2ak551052k2552k152(k1)2.故当nk1时，表达式也成立由可知，对一切n(n2，nn)都有an52n2.19.在圆x2y2r2(r0)中，ab为直径，c为圆上异于a，b的任意一点，则有kackbc1.你能用类比的方法得出椭圆1(ab0)中有什么样的结论？并加以证明解析类比得到的结论是：在椭圆1(ab0)中，a，b分别是椭圆长轴的左右端点，点p(x，y)是椭圆上不同于a，b的任意一点，则kapkbp证明如下：设a(x0，y0)为椭圆上的任意一点，则a关于中心的对称点b的坐标为b(x0，y0)，点p(x，y)为椭圆上异于a，b两点的任意一点，则kapkbp.由于a，b，p三点在椭圆上，两式相减得，0，即kapkbp.故在椭圆1(ab0)中，长轴两个端点为a，b，p为异于a，b的椭圆上的任意一点，则有kapkbp.20.已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且0x0.(1)证明：是f(x)0的一个根；(2)试比较与c的大小；(3)证明：2b1.解析(1)证明：f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，f(x)0有两个不等实根x1，x2，f(c)0，x1c是f(x)0的一个根又x1x2，x2(c)，是f(x)0的一个根(2)解：假设0，当0x0，知f()0，与f()0矛盾，c，又c，c.(3)证明：由f(c)0，得acb10，b1ac.又a0，c0，b1.二次函数f(x)的图象的对称轴方程为xx2，即0，b2，2b0且b1，b，r均为常数)的图像上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nn)，证明：对任意的nn，不等式成立解析(1)因为对任意nn，点(n，sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图像上，所以snbnr.当n1时，a1s1br，当n2时，ansnsn1bnr(bn1r)bnbn1(b1)bn1，又因为an为等比数列，所以r1，公比为b，an(b1)bn1.(2)证明：当b2时，an(