【志鸿全优设计】高中数学 第二章 函数概念讲解与例题 北师大版必修1.doc

2.1函数概念1函数的概念(1)义务教育阶段对函数的描述性概念在变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量(2)用集合与对应语言刻画的函数概念给定两个非空数集a和b，如果按照某个对应关系f，对于集合a中任何一个数x，在集合b中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合a上的函数，记作f：ab，或yf(x)，xa.此时，x叫作自变量，集合a叫作函数的定义域，集合f(x)|xa叫作函数的值域习惯上我们称y是x的函数破疑点 函数概念的理解函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，义务教育阶段函数的定义是从运动变化的观点出发，描述两个变量之间的制约关系的，高中阶段函数的定义是从集合的观点出发，对两个变量之间的对应关系加以说明相比之下，义务教育阶段函数的定义更接近于生活，突出体现两个变量的相互依赖关系，高中阶段函数的定义更科学严谨，突出强调两个变量的取值及对应关系，也就是说高中阶段函数定义是初中阶段函数定义的发展从高中阶段函数的定义可以看出，函数的实质是从非空数集a到非空数集b的一个特殊对应(3)函数符号f(x)的意义符号“yf(x)”中的“f”表示对应关系，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样，可以把函数的对应关系“f”形象地看作一个“暗箱”例如f(x)x2，可以将其看作输入x，输出x2，于是“暗箱”相当于一个“平方机”的作用(如图所示)，则显然应该有f(a)a2，f(m1)(m1)2，f(x1)(x1)2.符号yf(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为：x是自变量，它是对应关系f所施加的对象；f是对应关系，它常用一个解析式表示，但在某些问题中，对应关系不便用或不能用解析式来表示，这时，就必须采用其他方式，如图像、表格等；y是自变量x的函数，当x允许取某一具体数值时，相应的y值为与该自变量值相对应的函数值；yf(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”在研究函数时，还常用g(x)，f(x)，g(x)等来表示函数f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当自变量xa时函数f(x)的值，它是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值在函数概念中，集合b不是函数的值域，值域是集合b的一个子集(4)初中学过的正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数对照表：函数类型正比例函数一次函数对应关系ykx(k0)ykx(k0)ykxb(k0)ykxb(k0)图像定义域rrrr值域rrrr函数类型二次函数反比例函数对应关系yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)(k0)(k0)图像定义域rrx|x0x|x0值域y|y0y|y0【例11】判断下列对应是否为集合a到集合b的函数？(1)ar，bx|x0，f：xy|x|；(2)az，bz，f：xyx2；(3)az，bz，f：xy；(4)a1,1，b0，f：xy0.分析：判断一个对应是否为从一个集合到另一个集合的函数，只需判断按照对应关系，对于一个集合中的任何一个数，在另一个集合中是否都存在唯一确定的数与之对应解：(1)a中的元素0在b中没有对应元素，故此对应不是集合a到集合b的函数；(2)对于集合a中的任意一个整数x，按照对应关系：f：xyx2在集合b中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故此对应是集合a到集合b的函数；(3)集合a中的负整数没有算术平方根，在集合b中没有对应的元素，故此对应不是集合a到集合b的函数；(4)对于集合a中任意一个数，按照对应关系f：xy0在集合b中都有唯一一个确定的数0和它对应，故此对应是集合a到集合b的函数解技巧 非函数关系的判断若在集合a中存在元素，按照对应关系在集合b中没有对应元素或存在一个以上的元素与之对应，则此对应不是从集合a到集合b的函数【例12】下列各式中，y是x的函数的是()y2x2abc d解析：中变量x的取值为，故不是函数；中变量x的一个值，可对应两个y值，故也不是函数答案：a解技巧 函数关系的判断判断两个变量之间的关系式是否为函数，关键看两点，一是变量的取值是否为空集，若是，一定不是函数；二是每一个自变量是否对应唯一的函数值2函数的三要素(1)定义域定义域是自变量x的取值范围，是构成函数的一个不可缺少的组成部分有时给出的函数没有明确说明定义域，这时，它的定义域就是自变量允许的取值范围，如果函数涉及实际问题，它的定义域还必须使实际问题有意义例如：函数没有指出它的定义域，则我们认为它的定义域是x|x3，且x0又如：一矩形的宽为x，长是宽的2倍，其面积为s2x2，定义域为x|x0，而不是r.(2)对应关系函数符号“yf(x)”是数学中的抽象符号之一，对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”，是连接x与y的纽带，按照这一“程序”，从定义域a中任取一个x，可得到值域y|yf(x)，xa中唯一的y与之对应同一“f”可以“操作”于不同形式的变量，如f(x)是对x实施“操作”，而f(x2)是对x2实施“操作”，f(2)是对2实施“操作”，f(a)是对a实施“操作”(3)值域函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应法则确定了，那么它的值域也会随之确定【例21】已知函数f(x)2x23x1，写出下列各式的结果：(1)f(0)_；(2)f(2)_；(3)f(x1)_；(4)f(2x)_.解析：(1)(2)均是求当自变量x取某个具体值时，函数f(x)的值，只需将所给的自变量值代入函数的解析式，便可求出f(0)2023011，f(2)2(2)23(2)115；而(3)和(4)中是分别用x1和2x去取代函数自变量，即占据了函数f(x)自变量的位置，所以只需把函数f(x)中的自变量x分别替换为x1和2x即可，故f(x1)2(x1)23(x1)12x27x6，f(2x)2(2x)23(2x)18x26x1.答案：(1)1(2)15(3)2x27x6(4)8x26x1【例22】已知函数，则f(a)_.解析：，.答案：13相同函数的判断值域可以由定义域和对应关系唯一确定，只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一函数析规律 相同函数的理解1若两个函数的定义域不相同，则这两个函数不相同2若两个函数的对应关系不相同，则这两个函数不相同；即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系例如，函数yx1与yx1，其中定义域都是r，值域都是r.但它们的对应关系是不同的，因此不能说这两个函数是同一函数3函数与自变量及因变量的表示符号无关4判断给出解析式的两个函数是否为同一函数，一看定义域是否相同，二看化简后解析式是否相同【例3】下列四组函数中，表示同一个函数的是()af(x)x，g(x)bf(x)x，g(x)cf(x)x2，g(x)df(x)|x|，g(t)解析：对于选项a，f(x)x的定义域为r，g(x)的定义域为x|x0，两个函数的定义域不相同；对于选项b，g(x)|x|，它与f(x)x的对应关系不相同；对于选项c，g(x)x2(x2)，它与f(x)x2的定义域不同；对于选项d，两个函数的定义域均为r，且f(x)|x|与g(t)|t|对应关系也相同答案：d解技巧 判断函数f(x)与g(x)是否为相同函数的步骤根据解析式判断两个函数f(x)和g(x)是否是同一个函数的步骤是：先求函数f(x)和g(x)的定义域，如果定义域不同，那么它们不相同，如果定义域相同，再执行下一步；化简函数的解析式，如果化简后的函数解析式相同，那么它们相同，否则它们不相同4区间及其表示(1)区间的概念设a，b是两个实数，且ab.我们规定：满足不等式axb的实数x的集合叫作闭区间，表示为a，b；满足不等式axb的实数x的集合叫作开区间，表示为(a，b)；满足不等式axb和axb的实数x的集合叫作半开半闭区间，分别表示为a，b)，(a，b这里实数a，b都叫作相应区间的端点实数集r可以用区间表示为(，)，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”我们还可以把满足xa，xa，xb，xb的实数x的集合分别表示为a，)，(a，)，(，b，(，b)(2)区间的几何表示以上区间均可以在数轴上表示出来，在数轴上表示区间时，属于这个区间端点的实数，用实心点表示，不属于这个区间端点的实数，用空心点表示我们要善于利用区间的“数轴表示”，形象地记忆，准确地理解区间各区间的几何表示如下表：区间几何表示区间几何表示a，ba，)(a，b)(a，)a，b)(，b(a，b(，b)谈重点 区间的理解1并不是所有的数集都能用区间表示例如：数集m1,2,3,4，自然数集n，有理数集q等都不能用区间表示2区间符号内的两个字母(或数字)之间用“，”隔开3无穷大“”是一个符号，不是一个具体的数，因此不能将1，)写成1，以“”或“”为区间一端时，这一端必须用小括号4区间仍是集合，是一类特殊数集的另外一种符号语言今后我们表示函数的定义域、值域时常用区间形式5一般地，区间符号内的两个字母(或数字)，左边的字母(或数字)不大于右边的；否则，该区间为空集【例41】将下列集合用区间表示出来：(1)x|x1；(2)x|1x2；(3)x|1x1，或x2解：(1)集合x|x1用区间可表示为1，)；(2)集合x|1x2用区间可表示为(1,2；(3)集合x|1x1，或x2用区间可表示为(1,1)2，)解技巧 用区间表示数集用区间表示数集的关键是紧扣区间的规定，若遇到有两个不等式且中间用“或”连接的数集时，用区间表示时用“”连接两部分即可以上区间用数轴可表示为【例42】对于集合m，n，定义mnx|xm，且xn，设，bx|x0，则ba()a bc(0，) d0，)解析：在数轴上画出集合a和b，根据定义可知bax|xb，且xa，观察数轴得ba，此集合用区间可表示为.答案：b【例43】已知集合a(，1，集合ba，)，且abr，则实数a的取值范围是_解析：集合a，b都是用区间表示的两个数集，在数轴上画出集合a和b，若满足abr，则实数a落在1的左侧或与1重合，所以实数a的取值范围是a1.答案：a1【例44】已知集合a1,4，b(，a)，若ab，则实数a的取值范围是(用区间表示)_解析：在数轴上画出集合a，要使集合a和b满足ab，实数a只能落在4的右侧，所以实数a的范围用区间可表示为(4，)答案：(4，)5函数定义域的求法(1)确定函数定义域的原则当函数yf(x)用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合；当函数yf(x)用图像给出时，函数的定义域是指图像在x轴上的正投影所覆盖的实数x的集合；当函数yf(x)用解析式给出时，函数的定义域是使解析式有意义的实数x的范围；当函数yf(x)是由实际问题给出时，函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义(2)由函数解析式求定义域的常用方法如果f(x)为整式，其定义域为实数集r；如果f(x)为分式，其定义域是使分母不为0的实数x的集合；如果f(x)是二次根式(偶次根式)，其实义域是使根号内的式子不小于0的实数x的集合；如果f(x)是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数x的集合；若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则其定义域应符合实际问题(3)由解析式求函数定义域的一般步骤第一，列出使解析式有意义的自变量适合的不等式(组)；第二，解不等式(组)；第三，把不等式(组)的解集表示成集合或区间的形式(4)抽象函数的定义域求法函数f(x)的定义域指的是x的取值范围，而不是(x)的范围；已知f(x)的定义域为a，求f(x)的定义域，其实质是已知f(x)中(x)的取值范围为a，求x的取值范围；已知f(x)的定义域为b，求f(x)的定义域，其实质是已知f(x)中的x的取值范围为b，求出(x)的取值范围(值域)，此范围就是f(x)的定义域；在同一对应法则f下的范围相同，即f(t)，f(x)，fh(x)三个函数中的t，(x)，h(x)的取值范围相同例如：若函数f(x1)的定义域是2,3，则f(2x1)的定义域是_f(x1)的定义域是2,3，2x3.1x14，即f(x)的定义域是1,4又由12x14，得0x，f(2x1)的定义域为.【例51】函数的定义域为()a1,2)(2，)b(1，)c1,2) d1，)解析：当函数解析式给出时，函数的定义域就是使其解析式有意义的自变量的取值范围；当一个函数由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各个部分都有意义的公共部分的集合要使有意义，须满足x10，即x1；要使有意义，须满足2x0，即x2，所以函数f(x)的定义域为x|x1，且x2，用区间可表示为1,2)(2，)答案：a析规律 函数的定义域求函数的定义域主要是通过解不等式(组)来获得如果不加说明，函数的定义域就是使函数式有意义的自变量的取值集合【例52】(1)已知函数f(x)的定义域为0,1，求f(x21)的定义域；(2)已知函数f(2x1)的定义域为0,1)，求f(x)的定义域分析：正确理解函数定义域的意义是解抽象函数问题的关键，函数的定义域就是使函数有意义的自变量x的取值范围，而且在同一对应法则f下的范围相同解：(1)由0x211，得1x20，x0.f(x21)的定义域为0(2)函数f(2x1)的定义域为0,1)，即0x1，12x11.f(x)的定义域为1,1)解技巧 抽象函数的定义域1已知f(x)的定义域，求fg(x)的定义域，一般设ug(x)，则u的取值范围就是f(x)的定义域，通过解不等式可求2已知fg(x)的定义域为d，求f(x)的定义域，就是求g(x)在d上的值域【例53】求下列函数的定义域，并用区间表示(1)；(2)；(3).解：(1)要使函数有意义，必须即0x.故此函数的定义域为，可用区间表示为.(2)要使函数有意义，必须即x0，且x1.故此函数的定义域为x|x0，且x1，可用区间表示为(，1)(1,0)(3)要使函数有意义，必须即x2，且x0.故此函数的定义域为，可用区间表示为(0,2)6函数值域的求法函数的值域是函数值的集合，它是由函数的定义域与对应关系确定的函数的最值是函数值域的端点值，求最值与求值域的思路是基本相同的求函数值域的常用方法有：(1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出所求函数的值域；如求函数的值域时，由x20及4x20知0,2，故所求的函数值域为0,2(2)数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于图像的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键如求函数的值域时，若令ux22，则(u2)，可借助反比例函数的图像，易得0y，所以函数的值域为.(3)配方法：若函数是二次函数形式，即可化为yax2bxc(a0)型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，这里要特别注意给定区间求二次函数的值域问题如求函数yx3的值域，因为yx322，故所求的值域为2，)(4)换元法：对于形如yaxb(a，b，c，dr，ac0)的函数，往往通过换元，将其转化为二次函数的形式求值域如求函数yx3的值域，我们可以令(t0)，得yt22t3，即