高中数学 第二讲 讲明不等式的基本方法 2.2 综合法与分析法课件 新人教A版选修45.ppt

二综合法与分析法 自主预习 1 综合法一般地 从 出发 利用定义 公理 定理 性质等 经过一系列的推理 论证而得出命题成立 这种证明方法叫做综合法 综合法又叫顺推证法或由因导果法 已知条件 2 分析法证明命题时 从 出发 逐步寻求使它成立的 直至所需条件为 定义 公理或已证明的定理 性质等 从而得出要证的命题成立 这种证明方法叫做分析法 这是一种 的思考和证明方法 要证的结论 充分条件 已知条件或一个明显成 立的事实 执果索因 即时小测 1 关于综合法和分析法说法错误的是 a 综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法b 综合法又叫顺推证法或由因导果法c 分析法又叫逆推证法或执果索因法d 综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法 解析 选d 根据综合法的定义可得 综合法是执因导果法 是顺推法 根据分析法的定义得 分析法是执果索因法 是逆推证法 2 下列对命题 函数f x x 是奇函数 的证明不是综合法的是 a x r且x 0有f x x f x 所以f x 是奇函数b x r且x 0有f x f x x x 所以f x f x 所以f x 是奇函数 c x r且x 0 因为f x 0 所以所以f x f x 所以f x 是奇函数d 取x 1 f 1 1 2 又f 1 1 2 f 1 f 1 所以f x 是奇函数 解析 选d a b c都是从已知条件出发 利用奇函数定义 得出结论的 都是综合法 d不是综合法证明 3 要证a2 b2 1 a2b2 0 只需证 a 2ab 1 a2b2 0b a2 b2 1 0c 1 a2b2 0d a2 1 b2 1 0 解析 选d 因为a2 b2 1 a2b2 a2 1 1 b2 a2 1 b2 1 故要证a2 b2 1 a2b2 0 只需证 a2 1 b2 1 0 知识探究 探究点综合法与分析法1 综合法与分析法证明不等式的逻辑关系是怎样的 提示 综合法 a b1 b2 bn b 已知 逐步推演不等式成立的必要条件 结论 分析法 b b1 b2 bn a 结论 步步寻求不等式成立的充分条件 已知 2 如何理解分析法寻找的是充分条件 提示 用分析法证明 其叙述格式是 要证明a 只需证明b 即说明只要有b成立 就一定有a成立 因此分析法是 执果索因 步步寻求上一步成立的充分条件 分析法体现了数学中 正难则反 的原则 也是思维中的逆向思维 逆求 不是逆推 结论成立的充分条件 归纳总结 1 综合法和分析法的比较 1 相同点 都是直接证明 2 不同点 综合法 由因导果 形式简洁 易于表达 分析法 执果索因 利于思考 易于探索 2 证明不等式的通常做法常用分析法找证题切入点 用综合法写证题过程 类型一用综合法证明不等式 典例 2016 大连高二检测 已知a b c均为正实数 且 1 证明 2 求证 解题探究 要证明该题 根据题目的形式 你联想到利用哪个公式解决 提示 根据题目给出的形式 可根据基本不等式求证 证明 1 由a b c均为正实数 且可得相加可得 即有当且仅当a b c 取得等号 故原不等式成立 2 由a b c均为正实数 且可得相加可得即有原不等式成立 方法技巧 综合法证明不等式的策略 1 综合法证明不等式 揭示出条件和结论之间的因果联系 为此要着力分析已知与求证之间 不等式的左右两端之间的差异与联系 合理进行转换 恰当选择已知不等式 这是证明的关键 2 综合法证明不等式所依赖的已知不等式主要有如下几个 a2 0 a r a b 2 0 a b r 其变形有a2 b2 2ab ab a2 b2 a b 2 若a b为正实数 则特别 2 a2 b2 c2 ab bc ca 3 在用综合法证明不等式时 常利用不等式的基本性质 如同向不等式相加 同向不等式相乘等 但在运用这些性质时 一定要注意这些性质成立的前提条件 变式训练 2015 绥化高二检测 已知a b都是正数 且a b 求证 a3 b3 a2b ab2 证明 因为a b 所以a b 0 所以a2 2ab b2 0 所以a2 ab b2 ab 而a b均为正数 所以a b 0 所以 a b a2 ab b2 ab a b 所以a3 b3 a2b ab2成立 补偿训练 已知a b c r 且互不相等 且abc 1 求证 证明 因为a b c r 且互不相等 且abc 1 所以所以 类型二用分析法证明不等式 典例 1 2016 聊城高二检测 已知a b m都是正数 并且ab c 且a b c 0 求证 1 b2 ac 0 2 解题探究 1 典例1用分析法证明的关键是什么 提示 a b m都是正数 要证成立 只需证明b a m a b m 成立 所以关键是证明b a m a b m 成立 2 典例2 2 中证明的关键是什么 提示 证明的关键是对式子两端平方后 能得到显然成立的条件 证明 1 a b m都是正数 要证成立 只需证b a m a b m 成立 即证ba bm ab am 即证bm am 即证b a 而a b已知成立 所以成立 2 1 因为a b c且a b c 0 所以a 0 c0 2 欲证只需证b2 ac 3a2 因为c a b 只要证明b2 a a b 3a2成立 也就是 a b 2a b 0 即证 a b a c 0 因为a b c 所以 a b a c 0成立 从而成立 延伸探究 1 若将典例2中条件改为 a b 0 求证 证明 要证原不等式成立 只需证即证因为a b 0 所以只需证即 只需证因为a b 0 所以成立 所以原不等式成立 2 典例2条件改为设a b c均为正数 且a b c 1 证明 ab bc ac 证明 由a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca 得a2 b2 c2 ab bc ca由题设得 a b c 2 1 即a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1 所以3 ab bc ca 1 即ab bc ca 方法技巧 用分析法证明不等式的思路及注意点 1 思路 分析法的思索路线是 执果索因 即从要证的不等式出发 不断地用充分条件来代替前面的不等式 直至找到已知不等式为止 2 注意点 用分析法证明数学命题时 一定要恰当地用好反推符号 或 要证明 只需证明 即证明 等词语 变式训练 1 当x 4时 证明 证明 欲证只需证即证 展开整理 得只需证 x 1 x 4 x 2 x 3 即x2 5x 4 x2 5x 6 即4 6 显然成立 所以原不等式成立 2 若a b c均为正数 求证 证明 要证只要证只要证 只要证 a b c 因为 a b c 所以原不等式成立 自我纠错用分析法证明不等式 典例 已知a b