高中数学 第5章 数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩充与复数的引入课件 北师大版选修22.ppt

第五章 数系的扩充与复数的引入 1数系的扩充与复数的引入 课前预习学案 1 虚数单位 把 的数用符号i表示 规定 i叫作虚数单位 2 复数的定义 把形如 的数叫作复数 a b是实数 i是虚数单位 复数通常表示为z a b r 其中实部为 虚部为 1 复数的相关概念 平方等于 1 i2 1 a bi a bi a b 实数 虚数 纯虚数 非纯虚数 复数的全体 1 复数的代数形式a bi中 a b是实数 实部为a 虚部是b 而非bi 2 复数z a bi a b r 是纯虚数的充要条件是a 0且b 0 3 复数集包含实数集和虚数集 a bi c di a b c d r 当且仅当 2 两个复数相等的充要条件 1 根据复数相等的定义 在a c b d两式中 有一个不成立 那么a bi c di 2 a bi 0 a b r 的充要条件为a 0且b 0 3 复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题的依据 是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现 4 当两个复数不全是实数时 不能比较大小 只可判定相等或不相等 但两个复数都是实数时 可以比较大小 a c且b d 1 当用直角坐标平面内的点来表示 时 称这个直角坐标平面为复平面 为实轴 为虚轴 2 任一个复数z a bi与复平面内的点 是对应的 3 任一个复数z a bi与复平面内的向量 一一对应 3 复平面及复数的几何意义 复数 x轴 y轴 a b 1 复平面内的点与复数的关系 2 复数的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁 使得复数问题可以用几何方法解决 而几何问题也可以用复数方法解决 3 复数的几何意义 增加了解决复数问题的途径 这正是数形结合思想的体现 4 有了上述对应关系 讨论复数的运算性质和应用时 就可以在复平面内 用向量方法进行讨论 设复数z a bi a b r 在复平面内对应的点是z a b 点z到原点的距离 oz 叫作复数z的 记作 z z 两个复数一般不能比较大小 但可以比较它们 的大小 4 复数的模 模 模 1 任何复数的模都是一个非负的实数 即 z 0 2 复数的模表示该复数在复平面内对应点与原点的距离 即复数的模是绝对值概念 由实数的一维空间向二维空间的一种推广 3 计算复数的模时 应先找出复数的实部与虚部 然后再利用复数模的公式进行计算 1 下列命题中 复数a bi a b r 的实部是a 虚部是bi 复数a bi a b c 的实部是a 虚部是b 任何两个复数不能比较大小 若a b r 且a b 则a i b i 其中正确命题的个数为 a 0b 1c 2d 3 解析 四个命题中 均错 其中 错在虚部是bi 应为b 错在其中的a b c 应将其改为a b r 若两个复数全是实数 则可以比较大小 由于两个虚数不能比较大小 所以 错 答案 a 2 若 x2 x x 1 i是纯虚数 则实数x的值为 a 1或0b 1c 0d 以上都不对 3 若复数z a 4i a r 且 z 5 则a等于 4 已知x2 y2 6 x y 2 i 0 求实数x y的值 课堂互动讲义 下列命题中 若x y c 则x yi 1 i的充要条件是x y 1 纯虚数集相对复数集的补集是虚数集 在复数集中若 z1 z2 2 z2 z3 2 0 则z1 z2 z3 若实数a与ai对应 则实数集与复数集一一对应 正确的命题个数是 a 0b 1c 2d 3 思路导引 根据复数的相关概念进行判断 复数的概念问题 边听边记 答案 a 1 给出下列命题 若x2 y2 0 则x y 0 两个虚数不能比较大小 实数集与复数集的交集为实数集 实数集与虚数集的交集为 0 其中正确的命题为 填序号 解析 当x 1 y i时 x2 y2 0 故 不正确 两个数若其中有一个是虚数 这两个数不能比较大小 故 正确 因为实数集是复数集的子集 故 正确 实数集与虚数集的交集为 故 不正确 答案 复数相等条件的应用 应用复数相等的充要条件时 要注意 1 必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等 虚部与虚部相等列方程组 2 利用这一结论 可以把 复数相等 这一条件转化为两个实数等式 为应用方程思想提供了条件 同时这也是复数问题实数化思想的体现 这一思想在解决复数问题中非常重要 2 已知m是实数 n是纯虚数 且2m n 4 3 m i 求m n的值 复数的分类及几何意义 2 解决此类问题的一般方法就是从复数的代数形式出发 根据复数的分类条件或其对应点满足的条件 转化为实部 虚部满足的方程或不等式 通过解方程或解不等式得出结论 设z c 满足下列条件的复数z的对应点z的集合是什么图形 1 z 4 2 2 z 4 思路导引 设出z x yi x y r 由模的概念求解 复数的模 解析 1 设z x yi x y r 由于 z 4 x yi 4 即x2 y2 16 从而复数z的对应点z的集合是以原点o为圆心 以4为半径的圆 2 设z x yi x y r 由于2 z 4 2 x yi 4 即4 x2 y2 16 从而复数z的对应点z的集合是以原点o为圆心 以2和4为半径的圆所夹的圆环 且不包含圆环的内 外边界 复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离 计算复数的模时 应先找出复数的实部与虚部 然后再利用复数模的公式进行计算 由于复数的模是一个实数 所以复数的模可以比较大小 若复数z log2 m2 3m 3