高中数学 第一章 计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课件 新人教A版选修23.ppt

1 3 2 杨辉三角 与二项式系数的性质 自主学习新知突破 1 了解杨辉三角 并能由它解决简单的二项式系数问题 2 了解二项式系数的性质并能简单应用 3 掌握 赋值法 并会灵活应用 a b n的展开式的二项式系数 当n取正整数时可以表示成如下形式 a b 111 a b 2121 a b 31331 a b 414641 a b 515101051 a b 61615201561 问题1 你从上面的表示形式可以直观地看出什么规律 提示1 在同一行中 每行两端都是1 与这两个1等距离的项的系数相等 在相邻的两行中 除1以外的其余各数都等于它 肩上 两个数字之和 问题2 计算每一行的系数和 你又看出什么规律 提示2 2 4 8 16 32 64 其系数和为2n 杨辉三角的特点 相等 和 二项式系数的性质 相等 2n 1 在 a b 10的二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是 a 第8项b 第7项c 第9项d 第10项 2 在 1 x n n n 的二项展开式中 若只有x5的系数最大 则n等于 a 8b 9c 10d 11解析 只有x5的系数最大 x5是展开式的第6项 第6项为中间项 展开式共有11项 故n 10 答案 c 3 已知 1 x 5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5 则 a0 a2 a4 a1 a3 a5 的值等于 解析 依题可得a0 a2 a4 a1 a3 a5 16 则 a0 a2 a4 a1 a3 a5 256 答案 256 合作探究课堂互动 与 杨辉三角 有关的问题 如图所示 在杨辉三角中 斜线ab上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列 1 2 3 3 6 4 10 记这个数列的前n项和为sn 求s19 思路点拨 解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置 把各项还原为各二项展开式的二项式系数 利用组合的性质求和 规律方法 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是 1 观察 对题目要横看 竖看 隔行看 连续看 多角度观察 2 找规律 通过观察找出每一行的数之间 行与行之间的数据的规律 1 1 如图所示 满足 第n行首尾两数均为n 表中的递推关系类似杨辉三角 则第n行 n 2 的第2个数是 2 如图是一个类似杨辉三角的递推式 则第n行的首尾两个数均为 二项展开式系数和问题 已知 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 求 1 a1 a2 a7 2 a1 a3 a5 a7 3 a0 a2 a4 a6 4 a0 a1 a2 a7 思路点拨 2 若 3x 1 7 a7x7 a6x6 a1x a0 求 1 a1 a2 a7 2 a1 a3 a5 a7 3 a0 a2 a4 a6 二项式系数的性质 思路点拨 规律方法 1 求二项式系数最大的项 根据二项式系数的性质 当n为奇数时 中间两项的二项式系数最大 当n为偶数时 中间一项的二项式系数最大 2 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的 需根据各项系数的正 负变化情况 一般采用列不等式组 解不等式的方法求得 正解 设 2x 1 n a0 a1x a2x2 anxn 且奇次项的系数和为a 偶次项的系数和为b 则 a a1 a3 a5 b a0 a2 a4 a6 由已