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第二章 空间向量与立体几何 本章高效整合 知能整合提升 1 空间向量的概念与运算 1 空间向量的有关定理 共线向量定理 对空间任意两个向量a b b 0 a b的充要条件是存在实数 使得a b 共面向量定理 如果两个向量a b不共线 那么向量p与向量a b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 x y 使p xa yb 空间向量基本定理 如果三个向量a b c不共面 那么对空间任一向量p 存在有序实数组 x y z 使得p xa yb zc 其中 a b c 叫做空间的一个基底 两向量的数量积两个非零向量a b的数量积a b a b cos a b 向量的数量积的性质 e是单位向量 a e a cos a e a b a b 0 a 2 a a a2 a b a b 向量的数量积满足如下运算律 a b a b a b b a 交换律 a b c a b a c 分配律 2 平行与垂直关系的证明 1 利用向量处理平行问题空间图形的平行关系包括直线与直线的平行 直线与平面的平行 平面与平面的平行 它们都可以用向量方法来研究 具体情况如下 设a b是两条不重合的直线 它们的方向向量分别为a b 那么a b a b 根据实数与向量积的定义 a b a kb k r k 0 平面与平面平行可以转化为两个平面的法向量平行 设两个不重合的平面 的法向量分别为a b 那么 a b 2 利用向量处理垂直问题空间的线线 线面 面面垂直关系 都可以转化为空间两个向量垂直的问题来解决 设a b分别为直线a b的一个方向向量 那么a b a b a b 0 设a b分别为平面 的一个法向量 那么 a b a b 0 设直线l的方向向量为a 平面 的法向量为b 那么l a b 此外 也可证明l的方向向量与平面 内两条相交直线所对应的方向向量垂直 热点考点例析 答案 1 a 思维点击 证明平行问题 除了应用传统的线线平行的判定定理外 还可以利用向量共线及平面的法向量进行证明 证明垂直问题 除了应用传统的垂直问题的判定定理外 还可利用向量数量积进行判断 是非常有效的方法 利用空间向量解立体几何问题 优点是思维量小 缺点是计算量大 思维点击 建立坐标系 通过向量坐标运算 数量积为零证明d1e a1d 求出平面acd1的法向量 代入公式求解 答案 a 2 若两个不同平面 的法向量分别为u 1 2 1 v 3 6 3 则 a b c 相交但不垂直d 以上均不正确解析 v 3u v u 故 答案 a 答案 c 答案 d 答案 21 6 平面 的法向量为 1 0 1 平面 的法向量为 0 1 1 则平面 与平面 的夹角的大小为 3 设u是平面 的法向量
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