高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词 1.4.3 含有一个量词的命题的否定课件 新人教A版选修11.ppt

1 4全称量词与存在量词1 4 1全称量词1 4 2存在量词1 4 3含有一个量词的命题的否定 自主学习新知突破 1 通过生活和数学中的实例 理解全称量词和存在量词的意义 2 掌握全称命题和特称命题的定义 3 能判定全称命题和特称命题的真假 4 能正确的对含有一个量词的命题进行否定 5 知道全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题 1 观察下列语句 1 x 3 2 3x 1是整数 3 对任意一个x z 3x 1是整数 4 存在x 使x2 2x 1 0成立 问题1 语句 1 2 是命题吗 语句 3 4 是命题吗 提示1 语句 1 2 不是命题 语句 3 4 是命题 问题2 判断语句 3 4 的真假 提示2 3 4 为真命题 2 观察下列命题 1 被3整除的整数是奇数 2 有的函数是奇函数 3 至少有一个实数x 使x3 1 0 问题1 命题 1 的否定是 被3整除的整数不是奇数 对吗 提示1 不对 这是一个省略了量词 所有的 的全称命题 它的否定为 存在一个被3整除的整数不是奇数 问题2 命题 2 的否定是 有的函数不是奇函数 对吗 提示2 不对 应为 每一个函数都不是奇函数 问题3 判断命题 3 的否定的真假 提示3 命题 3 是真命题 命题 3 的否定是假命题 全称量词和全称命题 所有的 任意一个 一切 任给 全称量词 x m p x 存在量词和特称命题 存在一个 至少有一个 有些 有的 存在量词 x0 m p x0 1 对全称命题的理解 1 全称命题是陈述某集合中的所有元素都具有 不具有 某性质的命题 无一例外 2 有此全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词 如 三角形的内角和为180 是全称命题 因此在判断全称命题时要特别注意 3 一个全称命题也可以包括多个变量 例如 对任意x r y r x y x y 0 2 对特称命题的理解 1 含有存在量词的命题 不管包含的程度多大 都是特称命题 2 有些特称命题表面上看不含量词 需根据命题中所叙述对象的特征 挖掘出存在量词 如 边长为1cm的正方形的面积是1cm2 表明存在一个正方形的面积是1cm2 全称命题p x m p x 它的否定 p 全称命题的否定 x0 m p x 特称命题p x m p x 它的否定 p 特称命题的否定 x m p x 全称命题与特称命题的关系全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具备某一性质 无一例外 而特称命题中的存在量词却表明给定范围内的对象 有例外 两者正好构成了相反意义的表述 所以全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题 1 下列命题中全称命题的个数是 任意一个自然数都是正整数 所有的素数都是奇数 有的等差数列也是等比数列 三角形的内角和是180 a 0b 1c 2d 3 解析 命题 含有全称量词 而命题 可以叙述为 每一个三角形的内角和都是180 是特称命题 故有三个全称命题 答案 d 2 下列命题中特称命题的个数是 至少有一个偶数是质数 x0 r log2x0 0 有的向量方向不确定 a 0b 1c 2d 3 解析 中含有存在量词 至少 所以是特称命题 中含有存在量词符号 所以是特称命题 中含有存在量词 有的 所以是特称命题 答案 d 3 命题 对任何x r x 2 x 4 3 的否定是 解析 该命题是全称命题 因为含有量词 任何 其否定应该是特称命题 既要改变量词 又要否定结论 故命题的否定是 存在x0 r 使得 x0 2 x0 4 3 答案 存在x0 r 使得 x0 2 x0 4 3 4 判断下列命题是全称命题还是特称命题 并判断真假 1 每一个指数函数都是增函数 2 至少有一个自然数小于1 3 存在一个实数x 使得x2 2x 2 0 4 圆内接四边形 其对角互补 合作探究课堂互动 全称命题与特称命题的判断与其真假 判断下列命题哪些是全称命题 并判断其真假 1 对任意x r x2 0 2 有些无理数的平方也是无理数 3 对顶角相等 4 存在x 1 使方程x2 x 2 0 5 对任意x x x 1 使3x 4 0 6 存在a 1且b 2 使a b 3成立 思路点拨 正确地识别命题中的全称量词 是解决问题的关键 1 3 5 是全称命题 1 是假命题 x 0时 x2 0 3 是真命题 5 是真命题 1 要判定全称命题是真命题 需要判断所有的情况都成立 如果有一种情况不成立 那么这个全称命题就是假命题 2 要判定特称命题是真命题 只需找到一种情况成立即可 如果找不到使命题成立的特例 那么这个特称命题是假命题 1 指出下列命题中 哪些是全称命题 哪些是特称命题 并判断真假 1 若a 0 且a 1 则对任意实数x ax 0 2 对任意实数x1 x2 若x1 x2 则tanx1 tanx2 3 存在一个t r 使 sin x t sinx 4 存在一个x r 使x2 1 0 解析 1 2 是全称命题 3 4 是特称命题 1 ax 0 a 0 a 1 恒成立 命题 1 是真命题 2 存在x1 0 x2 x10 命题 4 是假命题 含有一个量词的命题的否定 写出下列命题的否定 1 三个给定产品都是次品 2 数列 1 2 3 4 5 中的每一项都是偶数 3 方程x2 8x 15 0有一个根是偶数 4 有的四边形是正方形 思路点拨 命题的否定要与否命题区别开来 全称命题的否定是特称命题 而特称命题的否定是全称命题 解析 1 是全称命题 否定是 三个给定产品中至少有一个不是次品 2 是全称命题 否定为 数列 1 2 3 4 5 中至少有一项不是偶数 3 是特称命题 否定为 方程x2 8x 15 0的每一个根都不是偶数 4 是特称命题 否定为 所有四边形都不是正方形 全称命题的否定是一个特称命题 特称命题的否定是一个全称命题 因此在书写它们的否定时 相应的全称量词变为存在量词 存在量词变为全称量词 同时否定结论 2 判断下列命题的真假 并写出命题的否定 1 有一个实数a 使不等式x2 a 1 x a 0恒成立 2 对任意实数x 不等式 x 2 0成立 3 在实数范围内 有些一元二次方程无解 解析 1 对于方程x2 a 1 x a 0的判别式 a 1 2 4a a 1 2 0 则不存在实数a 使不等式x2 a 1 x a 0恒成立 所以命题为假命题 它的否定为 对任意实数a 使x2 a 1 x a 0有实数解 2 当x 1时 x 2 0 所以原命题是假命题 它的否定为 存在实数x 使 x 2 0 3 真命题 它的否定为 在实数范围内 所有的一元二次方程都有解 全称命题 特称命题的应用 1 由已知 x y r f x y f y x 2y 1 x 及f 1 0 令x 1 y 0 得f 1 f 0 2 f 0 2 4分令y 0 得f x f 0 x 1 x f x x2 x 2 6分 全称命题和特称命题 反映了命题的恒成立性质和有解问题 是充分 必要条件的继续深化 是高考的热点之一 各种题型均有可能出现 其应用范围较广 而且渗透了很多数学思想方法 属于中高档题目 往往是以 全称命题和特称命题 为载体和其他知识交汇结合进行综合考查 这是高考在本节的命题方向 3 求使下列p x 为真命题的x的取值范围 1 p x x 1 x 2 p x x2 5x 6 0 解析 1 对一切实数x都有x 1 x 所求x的取值范围是r 2 解一元二次不等式x2 5x 6 0 得x 3或x0 所求x的取值范围是 2 3 错因 对于 1 原命题为假命题 错解中命题的否定也是假命题 故此命题的否定未书写正确 2 的错误与 1 相仿 实际上 1 2 均为省略了全称量词的全称命题 因而书写否定时 不仅要