高中数学 第一章 三角函数 1.6 余弦函数的图像与性质课件2 北师大版必修4.ppt

1 6余弦函数的图像与性质 1 余弦函数图像的画法 1 平移法 左 2 五点法 五个关键点 1 0 1 0 1 函数y cosx x 0 2 的简图 y cosx x 0 2 的图像向左 向右平行移动 每次平移 个单位 得到余弦函数y cosx x r 的图像 此图像叫作余弦曲线 2 2 余弦函数的性质 2 增加 减少 即时小测 1 思考下列问题 1 由y sinx x r的图像得到y cosx x r的图像 平移的方法唯一吗 提示 可向左平移也可向右平移 方法不唯一 2 形如y acos x a 0 x r 的值域还是 1 1 吗 提示 不一定是 值域是 a a 3 余弦函数是偶函数 图像关于y轴对称 那么余弦函数的对称轴只有一条吗 提示 余弦函数的对称轴有无数条 2 函数y cosx 2的最小值是 a 2b 3c 0d 1 解析 选b cosx 1 1 故y cosx 2的最小值为 3 3 已知函数y 3cos x 则当x 时 函数取得最大值 解析 y 3cos x 3cosx 所以当x 2k k z 时函数取得最大值 答案 2k k z 4 设则m与n的大小关系为 解析 y cosx在 0 上为减少的且所以所以n m 答案 n m 5 求的定义域 解析 根据函数解析式可得所以借助数轴 得原函数的定义域为 知识探究 知识点余弦函数的图像和性质观察如图所示内容 回答下列问题 问题 你能类比正弦函数的性质总结出余弦函数的性质吗 总结提升 1 对余弦函数单调性的三点说明 1 余弦函数在定义域r上不是单调函数 但存在单调区间 2 求解或判断余弦函数的单调区间 或单调性 是求与之相关的值域 或最值 的关键 通常借助其求值域 或最值 3 确定较复杂函数的单调性 要注意使用复合函数单调性的判断方法 2 对余弦函数最值的两点说明 1 明确余弦函数的有界性 cosx 1 2 形如y acos x a 0 0 的函数求最值 通常用 整体代换 令z x 将函数转化为y acosz的形式 题型探究 类型一余弦函数的图像 典例 试用 五点法 作出函数y 2cosx 1的图像 解题探究 要作函数的图像 要求的 五点 是什么 提示 五点 分别是 0 3 1 2 3 解析 列表 描点连线 方法技巧 五点法 画函数图像的三个步骤 变式训练 2015 汉中高一检测 函数y cosx 2 x 的图像是 解析 选a y cosx x 的图像为 向下平移2个单位得y cosx 2 其图像为 故选a 类型二余弦函数的性质 典例 不等式sinx cosx x 0 2 的解集为 解题探究 当sinx cosx x 0 2 时 y sinx与y cosx的图像之间的关系是怎样的 提示 y sinx的图像在y cosx的下方 解析 在同一个坐标系中作出y sinx y cosx在 0 2 上的图像如图 因为sinx cosx 故所以不等式的解集为答案 延伸探究 1 变换条件 若本例中x r 试求不等式的解集 解析 因为正余弦函数的周期都是2 由本例的解法可知当x r时 不等式的解集为 k z 2 变换条件 设f x 给出下列四个命题 该函数是以 为最小正周期的周期函数 当且仅当x k k z 时 该函数取得最小值 1 该函数的图像关于x 2k k z 对称 当且仅当2k x 2k k z 时 0 f x 其中正确命题的序号是 请将所有正确命题的序号都填上 解析 由题意函数f x 画出f x 在x 0 2 上的图像 由图像知 函数f x 的最小正周期为2 在x 2k k z 和x 2k k z 时 该函数都取得最小值 1 故 错误 由图像知 函数图像关于直线x 2k k z 对称 在2k x 2k k z 时 0 f x 故 正确 答案 方法技巧 关于余弦函数性质的应用应用余弦函数的性质时一般要结合余弦函数的图像 特别注意余弦函数单调区间 最值 对称性等性质在图像中的体现 解题中要善于利用图像发现函数的性质用于解题 补偿训练 函数f x 有意义 则x的取值范围是 解析 要使函数有意义 则1 2cosx 0 即cosx x 0 2 解得即不等式的解集为答案 规范解答余弦函数性质的应用 典例 12分 求函数的最大值及最小值 并写出x取何值时 函数有最大值和最小值 审题指导 要求函数的最值 需要把cosx看作整体 换元后配方求最值 再根据取最值时的cosx值 求x的值 规范解答 题后悟道 关于换元法的应用换元法在