高中数学 第三章 推理与证明 3.1 归纳与类比 3.1.1 归纳推理课件 北师大版选修12.ppt

3 1 1归纳推理 归纳推理1 定义 根据一类事物中部分事物具有某种属性 推断该类事物中每一个事物都有这种属性 将这种推理方式称为归纳推理 2 归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 3 归纳推理结论真假利用归纳推理得出的结论不一定是正确的 4 思维过程流程图实验 观察 概括 推广 猜想一般性结论 名师点拨1 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象 归纳所得的结论是未知的一般现象 该结论超越了前提所包含的范围 2 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质 结论是否真实 还需要经过逻辑证明和实践检验 因此 它不能作为数学证明的工具 3 归纳推理是一种具有创造性的推理 通过归纳推理得到的猜想 可以作为进一步研究的起点 帮助人们发现问题和提出问题 做一做 1 数列5 9 17 33 x 中的x等于 a 47b 65c 63d 128 2 金导电 银导电 铜导电 铁导电 金 银 铜 铁都是金属 因此可猜想所有金属都导电 这种推理形式为 答案 1 b 2 归纳推理 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 统计学中 先从总体中抽取样本 再用样本估计总体 这种估计属于归纳推理 2 归纳推理得到的结论可以作为定理使用 3 归纳推理是由个别得到一般的推理 4 归纳推理具有由具体到抽象的认识功能 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 数式中的归纳推理 例1 观察如图所示的 三角数阵 1 第1行22 第2行343 第3行4774 第4行51114115 第5行 记第n行的第2个数为an n 2 n n 请仔细观察上述 三角数阵 的特征 完成下列各题 1 依次写出a2 a3 a4 a5 2 第6行的6个数依次为 3 归纳出an 1与an的关系式 探究一 探究二 探究三 思维辨析 思路分析 观察数阵的每行 每列数的特征 对上 下行 左 右列间的关系进行研究 找到规律 问题即可迎刃而解 解 1 a2 2 a3 4 a4 7 a5 11 2 由数阵可看出 除首末两数外 每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和 且每一行的首末两数都等于行数 故第6行的6个数依次为6 16 25 25 16 6 3 a3 a2 2 a4 a3 3 a5 a4 4 由此归纳 an 1 an n 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 归纳推理的一般步骤 1 观察 通过观察个别事物发现某些相同性质 2 概括 归纳 从已知的相同性质中概括 归纳出一个明确表述的一般性命题 3 猜测一般性结论 2 由已知数 式进行归纳推理的基本方法 1 分析所给几个等式 或不等式 中项数和次数等方面的变化规律或结构形式的特征 2 提炼出等式 或不等式 的综合特点 3 运用归纳推理得出一般结论 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1已知 sin230 sin290 sin2150 sin25 sin265 sin2125 通过观察上述两等式的规律 请你写出一般性的命题 解析 观察每个式子中三个角的关系 三个角分别成等差数列 即30 60 90 90 60 150 5 60 65 65 60 125 根据式子中角的这种关系 可以归纳得出 sin2 sin2 60 sin2 120 答案 sin2 sin2 60 sin2 120 探究一 探究二 探究三 思维辨析 图与形中的归纳推理 例2 有两种花色的正六边形地面砖 按下图的规律拼成若干个图案 则第6个图案中灰色正六边形的个数是 a 26b 31c 32d 36思路分析 数出前三个图案中灰色正六边形的个数 注意分析规律 由此规律作出推断 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解析 灰色正六边形的个数如下表 由表可以看出灰色正六边形的个数依次组成一个以6为首项 以5为公差的等差数列 所以第6个图案中灰色正六边形的个数是6 5 6 1 31 故选b 答案 b 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟通过一组平面或空间图形的变化规律 研究其一般性结论 通常先把形状问题数字化 展现数字之间的规律 特征 再进行归纳推理 解答该类问题的一般策略是 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2如图所示 图 是棱长为1的小正方体 图 图 由这样的小正方体摆放而成 按照这样的方法继续摆放 自上而下分别叫第1层 第2层 第n层 第n层的小正方体的个数记为sn 解答下列问题 1 按照要求填表 2 s10 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解析 s1 1 s2 3 1 2 s3 6 1 2 3 推测s4 1 2 3 4 10 s10 1 2 3 10 55 答案 1 10 2 55 探究一 探究二 探究三 思维辨析 不等式中的归纳推理 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟对于与正整数n有关的指数式与整式的大小比较 在不能用作差 作商法比较时 常用归纳 猜想 证明的方法 解题时对n的取值的个数要适当 太少易产生错误猜想 太多增大计算量 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因对概念理解不透致误 典例 设f n n2 n 41 n n 计算f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 的值 同时由归纳推理得到猜想 并判断所得的猜想是否正确 易错分析 1 误认为归纳得出的结论一定是正确的 实际上归纳推理的结论不一定正确 2 归纳时数据偏少 不一定具有一致性 无法得出一般性的结论 解 f 1 12 1 41 43 f 2 22 2 41 47 f 3 32 3 41 53 f 4 42 4 41 61 f 5 52 5 41 71 f 6 62 6 41 83 43 47 53 61 71 83都是质数 由此猜想对于任何n n f n n2 n 41都是质数 这个猜想是错误的 如f 40 402 40 41 40 41 41 41 41就不是质数 纠错心得平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻 探究一 探究二 探究三 思维辨析 跟踪训练对任意正整数n 试归纳猜想2n与n2的大小关系 解 当n 1时 21 12 当n 2时 22 22 当n 3时 2352 当n 6时 26 62 归纳猜想 当n 3时 2n n2 当n n 且n 3时 2n n2 1 2 3 4 5 1 数列2 5 11 20 x 47中的x等于 a 28b 32c 33d 27解析 由前几个数字可归纳出此列数字为 2 5 11 20 32 47 故答案为b 答案 b 1 2 3 4 5 2 下图为一串白黑相间排列的珠子 按这种规律往下排起来 则第36颗珠子应是什么颜色 a 白色b 黑色c 白色可能性大d 黑色可能性大解析