【全程复习方略】（山东专用）高考数学 第七章 第八节 立体几何中的向量方法（二）求空间角和距离课时提升作业 理 新人教A版.doc

【全程复习方略】（山东专用）2014版高考数学 第七章 第八节 立体几何中的向量方法（二）求空间角和距离课时提升作业 理 新人教a版一、选择题1.(2013郑州模拟)把边长为2的正方形abcd沿对角线bd折起，使得平面abd平面cbd，则异面直线ad，bc所成的角为( )(a)120(b)30(c)90(d)602.(2013银川模拟)在三棱柱abc-a1b1c1中，底面为边长为1的正三角形，侧棱aa1底面abc，点d在棱bb1上，且bd=1，若ad与平面aa1c1c所成的角为，则sin 的值为( )(a)(b)(c)(d)3.(2013合肥模拟)在正方体abcd-a1b1c1d1中，二面角a1-bd-c1的余弦值为( )(a)(b)(c)(d)4.已知直二面角-l-,点a,acl,c为垂足，b,bdl,d为垂足.若ab2，acbd1，则d到平面abc的距离等于( )(a)(b)(c)(d)15.(2013三亚模拟)如图，正方形acde与等腰直角三角形acb所在的平面互相垂直，且ac=bc=2，acb=90，f，g分别是线段ae，bc的中点，则ad与gf所成的角的余弦值为( )(a)(b)-(c)(d)-6.如图，平面abcd平面abef，四边形abcd是正方形，四边形abef是矩形，且afada，g是ef的中点，则gb与平面agc所成角的正弦值为( )(a)(b)(c)(d)二、填空题7.如图，正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为2，m，n分别是c1d1，cc1的中点，则直线b1n与平面bdm所成角的正弦值为_8.如图，正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1，o是底面a1b1c1d1的中心，则点o到平面abc1d1的距离为_.9.二面角的棱上有a,b两点，直线ac,bd分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于ab.已知ab4，ac6，bd8，cd，则该二面角的大小为_.10.正四棱锥s-abcd中，o为顶点在底面上的射影，p为侧棱sd的中点，且sood，则直线bc与平面pac所成的角等于_三、解答题11.(2013安阳模拟)如图，正方形abcd所在平面与等腰三角形ead所在平面相交于ad，ea=ed，ae平面cde.(1)求证：ab平面ade.(2)设m是线段be上一点，当直线am与平面ead所成角的正弦值为时，试确定点m的位置.12.(2013青岛模拟)如图，三棱柱abc-a1b1c1的所有棱长都是2，又aa1平面abc，d，e分别是ac，cc1的中点.(1)求证：ae平面a1bd.(2)求二面角d-ba1-a的余弦值.(3)求点b1到平面a1bd的距离.13.(能力挑战题)已知正方形abcd的边长为2，acbd=o.将正方形abcd沿对角线bd折起，使ac=a,得到三棱锥a-bcd，如图所示.(1)当a=2时，求证：ao平面bcd.(2)当二面角a-bd-c的大小为120时，求二面角a-bc-d的正切值.答案解析1.【解析】选d.建立如图所示的空间直角坐标系，则a(,0,0),b(0,0), c(0,0,),d(0,-,0),=(-,-,0),=(0,-,),|=2,| |=2, =2,.异面直线ad，bc所成的角为60.2.【解析】选d.如图，建立坐标系，易求点d(，1)，平面aa1c1c的一个法向量是n=(1,0,0),所以cosn,=,即sin =3.【解析】选d.设正方体棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz,易知a1ebd，c1ebd，则a1ec1是二面角a1-bd-c1的平面角，(，-，1)，(-，1)，cos.【方法技巧】求二面角的策略(1)法向量法.其步骤是：建系;分别求构成二面角的两个半平面的法向量;求法向量夹角的余弦值;根据题意确定二面角的余弦值或其大小.(2)平面角法.该法就是首先利用二面角的定义，找出二面角的平面角，然后用向量法或解三角形法求其余弦值.4.【解析】选c.,| |2=2.在rtbdc中，bc.平面abc平面bcd，过d作dhbc于h，则dh平面abc，dh的长即为d到平面abc的距离，dh,故选c.5.【解析】选a.如图，正方形acde与等腰直角三角形acb所在的平面互相垂直，且ac=bc=2，acb=90，f，g分别是线段ae，bc的中点.以c为原点建立空间直角坐标系cxyz,a(0，2，0)，b(2，0，0)，d(0，0，2)，g(1，0，0)，f(0，2，1)，=(0，-2，2)， =(-1，2，1)，| |=2，|=，=-2，直线ad与gf所成角的余弦值为.【误区警示】本题容易忽视异面直线所成角的范围而误选b.【变式备选】在正方体abcd-a1b1c1d1中，m为dd1的中点，o为底面abcd的中心，p为棱a1b1上任意一点，则直线op与直线am所成的角是( )(a)(b)(c)(d)【解析】选d.建立坐标系，通过向量的坐标运算可知amop恒成立，即am与op所成的角为6.【解析】选c.如图，以a为原点建立空间直角坐标系，则a(0，0，0)，b(0,2a,0)，c(0，2a,2a)，g(a,a，0)，f(a，0，0)，(a，a，0)，(0，2a，2a)，(a，-a，0)，(0，0，2a).设平面agc的一个法向量为n1(x1,y1,1),由n1=(1,-1,1).设为gb与平面agc所成的角，则sin =.7.【解析】以d为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则b1(2,2,2)，n(0,2,1)，(2,0,1)，又m(0,1,2)，d(0,0,0)，b(2,2,0)，则(2,2,0)，(0,1,2)，可得平面bdm的一个法向量n(2，2,1)，因为，故直线b1n与平面bdm所成角的正弦值是.答案：8.【解析】以d为原点，da，dc，dd1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则a(1,0,0)，b(1,1,0)，d1(0,0,1)，c1(0,1,1)，o(,1)，=(0，1，0)， =(-1，0，1)，设平面abc1d1的法向量n=(x,y,z)，由得令x=1，得n=(1,0,1).又(-,-,0)，o到平面abc1d1的距离d=.答案:9.【解析】由条件,知0，0，62+42+82+268cos=()2,cos=,120,二面角的大小为60.答案：6010.【解析】如图，以o为原点建立空间直角坐标系oxyz.设od=so=oa=ob=oc=a，则a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(-a,0,0)，p(0，)，则(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0).设平面pac的法向量为n，可取n(0,1,1)，则，n60，直线bc与平面pac所成的角为906030.答案：3011.【解析】(1)ae平面cde，cd平面cde，aecd.在正方形abcd中，cdad,adae=a,cd平面ade.abcd,ab平面ade.(2)由(1)得平面ead平面abcd，取ad中点o，连接eo.ea=ed,eoad,eo平面abcd.建立如图所示的空间直角坐标系，设ab=2，则a(1,0,0),b(1,2,0),e(0,0,1).设m(x,y,z).=(x-1,y-2,z), =(-1,-2,1),b,m,e三点共线，设=,m(1-,2-2,),=(-,2-2,).设am与平面ead所成角为,平面ead的一法向量为n=(0,1,0),sin =，解得=，即点m为be的中点.【变式备选】(2013石家庄模拟)如图，已知正四棱锥p-abcd的所有棱长都是2，底面正方形两条对角线相交于o点，m是侧棱pc的中点.(1)求此正四棱锥的体积.(2)求直线bm与侧面pab所成角的正弦值.【解析】(1)由题可得，po底面abcd.在rtaop中，aoac，ap2，po.故vp-abcd=s底po4.(2)由(1)知po底面abcd，且oaob，以o点为原点，oa，ob，op所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为a(，0，0)，b(0，0)，p(0，0，)，m()，设平面abp的一个法向量为n(x,y,z)，则有取x=1，则y=1,z=1，n=(1,1,1),sin = 12.【思路点拨】由aa1平面abc可知，平面abc平面acc1a1，故可考虑建立空间直角坐标系解决问题.【解析】(1)以d为原点，da所在直线为x轴，过d作ac的垂线为y轴，db所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图，则a(1，0，0)，c(-1，0，0)，e(-1，-1，0)，a1(1，-2，0)，c1(-1，-2，0)，b(0，0，)，b1(0，-2，)，(-2，-1，0)，(-1，2，0)，(0，0，-).2-2+00，aea1d，0，aebd.又a1d与bd相交于d，ae平面a1bd.(2)设平面da1b的一个法向量为n1(x1,y1,z1),由取n1=(2,1,0).设平面aa1b的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),易得=(-1，2，)， =(0，2，0),则由取n2(3,0，).cosn1, n2=.故二面角d-ba1-a的余弦值为.(3)(0，2，0)，平面a1bd的法向量取n1=(2,1,0),则b1到平面a1bd的距离为d=.13.【解析】(1)根据题意，在aoc中，ac=a=2,ao=co=,所以ac2=ao2+co2，所以aoco.又aobd,bdco=o,所以ao平面bcd.(2)方法一：由(1)知，cood,以o为原点，oc，od所在的直线分别为x轴、y轴建立如图的空间直角坐标系o-xyz,则有o(0,0,0),d(0, ,0),c(,0,0),b(0,-,0).设a(x0,0,z0)(x00),则=(x0,0,z0), =(0,0).平面abd的一个法向量为n=(z0,0,-x0).平面bcd的一个法向量为m=(0,0,1),且二面角a-bd-c的大小为120,所以|cosm,n|=|cos 120|=,得z02=3x02.因为|oa|=,所以.解得x0=,z0=.所以a().平面abc的一个法向量为l=(1,-1,).设二面角a-bc-d的平面角为,所以cos =|cosl,m|=.所以tan =.所以二面角a-bc-d的正切值为.方法二：折叠后，bdao,bdco.所以aoc是二面角a-bd-c的平面角，即aoc=120.在aoc中，ao=co=，所以ac=.如图，过点a作co的垂线交co延长线于点h，因为bdco,