【世纪金榜】高考数学总复习 课时提升作业(四十) 7.3空间点、直线、平面之间的位置关系 文 新人教A版.doc

课时提升作业(四十)空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题(每小题5分,共25分)1.给出下列说法:梯形的四个顶点共面;三条平行直线共面;有三个公共点的两个平面重合;三条直线两两相交,可以确定3个平面.其中正确的序号是()a.b.c.d.【解析】选a.因为梯形有两边平行,所以梯形确定一个平面,所以是正确的;三条平行直线不一定共面,如直三棱柱的三条平行的棱,所以不正确;有三个公共点的两个平面不一定重合,如两个平面相交,三个公共点都在交线上,所以不正确;三条直线两两相交,可以确定的平面个数是1或3,所以不正确.2.(2015合肥模拟)已知空间中有三条线段ab,bc和cd,且abc=bcd,那么直线ab与cd的位置关系是()a.abcdb.ab与cd异面c.ab与cd相交d.abcd或ab与cd异面或ab与cd相交【解题提示】分三条线段共面和不共面两种情况讨论.【解析】选d.若三条线段共面,如果ab,bc,cd构成等腰三角形,则直线ab与cd相交,否则直线ab与cd平行;若不共面,则直线ab与cd是异面直线.3.如图,=l,a,b,c,且cl,直线abl=m,过a,b,c三点的平面记作,则与的交线必通过()a.点ab.点bc.点c但不过点md.点c和点m【解析】选d.因为ab,mab,所以m.又=l,ml,所以m,由公理3知,m在与的交线上.同理可知,点c也在与的交线上.4.(2015广州模拟)已知a,b是两个不同的点,m,n是两条不重合的直线,是两个不重合的平面,则m,ama;mn=a,a,bmb;m,n,mn;m,m.其中真命题为()a.b.c.d.【解析】选c.根据平面的性质,可知正确,中不能确定b,中与可能平行,也可能相交,中根据面面垂直判定定理可知正确,故为真命题,故选c.5.如图是一正方体的表面展开图,mn和pb是两条面对角线,则在正方体中,直线mn与直线pb的位置关系为()a.相交b.平行c.异面d.重合【解析】选c.将表面展开图折起还原为正方体,如图,故mn与pb异面.【误区警示】本题由展开图还原为几何体时易出错,原因是空间想象能力不强,可固定其中一个面,翻折其他面得到.【加固训练】将正方体纸盒展开如图所示,直线ab,cd在原正方体中的位置关系是()a.平行b.垂直c.相交成60角d.异面且成60角【解析】选d.折起后如图,显然ab与cd异面,因为amcd,amb为正三角形,所以mab=60.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015天津模拟)设a,b,c是空间的三条直线,下面给出四个命题:设ab,bc,则ac;若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c也是异面直线;若a和b相交,b和c相交,则a和c也相交;若a和b共面,b和c共面,则a和c也共面.其中真命题的个数是.【解析】因为ab,bc,所以a与c可能相交,平行,异面,故错;因为a,b异面,b,c异面,则a,c可能异面,相交,平行,故错;由a,b相交,b,c相交,则a,c可以异面,相交,平行,故错;同理错,故真命题的个数为0.答案:07.如图,已知圆柱的轴截面abb1a1是正方形,c是圆柱下底面弧ab的中点,c1是圆柱上底面弧a1b1的中点,那么异面直线ac1与bc所成角的正切值为.【解题提示】取圆柱下底面弧ab的另一中点d,连接c1d,ad,则可得直线ac1与ad所成角等于异面直线ac1与bc所成角,利用圆柱的轴截面abb1a1是正方形,可得c1d=ad,从而可得结论.【解析】取圆柱下底面弧ab的另一中点d,连接c1d,ad,则因为c是圆柱下底面弧ab的中点,所以adbc,所以直线ac1与ad所成角等于异面直线ac1与bc所成角,因为c1是圆柱上底面弧a1b1的中点,所以c1d圆柱下底面,所以c1dad,因为圆柱的轴截面abb1a1是正方形,所以c1d=ad,所以直线ac1与ad所成角的正切值为,所以异面直线ac1与bc所成角的正切值为.答案:8.(2015昆明模拟)若两条异面直线所成的角为60,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连接正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有对.【解析】正方体如图,若要出现所成角为60的异面直线,则直线需为面对角线,以ac为例,与之构成黄金异面直线对的直线有4条,分别是ab,bc,ad,cd,正方体的面对角线有12条,所以所求的黄金异面直线对共有=24对(每一对被计算两次,所以记好要除以2).答案:24三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,在四面体abcd中,e,g分别为bc,ab的中点,f在cd上,h在ad上,且有dffc=dhha=23.求证:ef,gh,bd交于一点.【证明】连接ge,fh.因为e,g分别为bc,ab的中点,所以geac,且ge=ac.又因为dffc=dhha=23,所以fhac,且fh=ac.所以fhge,且gefh.所以e,f,h,g四点共面.且四边形efhg是一个梯形.设gh和ef交于一点o.因为o在平面abd内,又在平面bcd内,所以o在这两个平面的交线上.因为这两个平面的交线是bd,且交线只有这一条,所以点o在直线bd上.这就证明了gh和ef的交点也在bd上,所以ef,gh,bd交于一点.【加固训练】如图,空间四边形abcd中,e,f,g分别在ab,bc,cd上,且满足aeeb=cffb=21,cggd=31,过e,f,g的平面交ad于点h.(1)求ahhd.(2)求证:eh,fg,bd三线共点.【解析】(1)因为=2,所以efac,所以ef平面acd,而ef平面efgh,平面efgh平面acd=gh,所以efgh,所以acgh,所以=3,所以ahhd=31.(2)因为efgh,且=,=,所以efgh,所以四边形efgh为梯形.令ehfg=p,则peh,而eh平面abd,又pfg,fg平面bcd,平面abd平面bcd=bd,所以pbd,所以eh,fg,bd三线共点.10.已知在空间四边形abcd中,ab=cd=3,e,f分别为bc,ad上的点,并且beec=affd=12,ef=,求ab与cd所成的角的大小.【解析】取bd上一点h,使得bhhd=12.连接fh,eh,由题意知fhab,ehcd,则ehf为异面直线ab与cd所成的角(或其补角).又affd=bhhd=beec=12,所以fh=ab=2,he=cd=1.在efh中,由余弦定理知:cosehf=-,即异面直线ab与cd所成的角为60.【误区警示】本题易忽视异面直线所成角的取值范围（0,.在解答过程中易误认为ehf即为异面直线ab与cd所成的角.实际上,当ehf为锐角或直角时,为两条异面直线ab与cd所成的角;而当ehf为钝角时,它为异面直线ab与cd所成角的补角.(20分钟40分)1.(5分)(2015天津模拟)如图所示,点p在正方形abcd所在平面外,pa平面abcd,pa=ab,则pb与ac所成角是()a.90b.45c.60d.30【解析】选c.过点b作beca,连接ae,pe,由已知pab及bae和pae均为全等的等腰直角三角形,因此pbe为等边三角形,所以pb与ac所成的角为60.【加固训练】(2014太原模拟)对于直线m,n和平面,下列命题中的真命题是()a.如果m,n,m,n是异面直线,那么nb.如果m,n,m,n是异面直线,那么n与相交c.如果m,n,m,n共面,那么mnd.如果m,n,m,n共面,那么m与n相交【解析】选c.对于选项a,n可以与平面相交,对于选项b,n可以与平面平行,故选项a、b均错;由于m,n,则m,n无公共点.又m,n共面,所以mn,选项c正确,选项d错.2.(5分)(2015温州模拟)如图所示的是正方体或四面体,p,q,r,s分别是所在棱的中点,这四个点不共面的是()【解析】选d.a中psqr,故共面;b中ps与qr相交,故共面;c中四边形pqrs是平行四边形,故共面.3.(5分)(2015开封模拟)已知点e,f分别是正方体abcd-a1b1c1d1的棱ab,aa1的中点,点m,n分别是线段d1e与c1f上的点,则满足与平面abcd平行的直线mn有()a.0条b.1条c.2条d.无数条【解析】选d.与平面abcd平行,而且与线段d1e,c1f分别相交于m,n的平面有无数多,所以直线mn有无数条.4.(12分)如图所示,在三棱锥p-abc中,pa平面abc,bac=60,pa=ab=ac=2,e是pc的中点.(1)求证ae与pb是异面直线.(2)求异面直线ae和pb所成角的余弦值.(3)求三棱锥a-ebc的体积.【解析】(1)假设ae与pb共面,设平面为.因为a,b,e,所以平面即为平面abe,所以p平面abe,这与p平面abe矛盾,所以ae与pb是异面直线.(2)取bc的中点f,连接ef,af,则efpb,所以aef或其补角就是异面直线ae和pb所成的角.因为bac=60,pa=ab=ac=2,pa平面abc,所以af=,ae=,ef=,cosaef=,所以异面直线ae和pb所成角的余弦值为.(3)因为e是pc的中点,所以点e到平面abc的距离为pa=1,va-ebc=ve-abc=1=.【加固训练】在四棱锥p -abcd中,底面是边长为2的菱形,dab=60,对角线ac与bd交于点o,po平面abcd,pb与平面abcd所成角为60.(1)求四棱锥的体积.(2)若e是pb的中点,求异面直线de与pa所成角的余弦值.【解析】(1)在四棱锥p -abcd中,因为po平面abcd,所以pbo是pb与平面abcd所成的角,即pbo=60.在rtpob中,因为bo=absin30=1,又poob,所以po=botan60=,因为底面菱形的面积s菱形abcd=2.所以四棱锥p -abcd的体积vp -abcd=2=2.(2)取ab的中点f,连接ef,df,因为e为pb中点,所以efpa.所以def为异面直线de与pa所成角(或补角).在rtaob中,ao=abcos30=op,所以在rtpoa中,pa=,所以ef=.因为四边形abcd为菱形,且dab=60,所以abd为正三角形.又因为pbo=60,bo=1,所以pb=2,所以pb=pd=bd,即pbd为正三角形,所以df=de=,所以cosdef=.即异面直线de与pa所成角的余弦值为.5.(13分)(2014湖南高考)如图所示,已知二面角-mn-的大小为60,菱形abcd在平面内,a,b两点在棱mn上,bad=60,e是ab的中点,do平面,垂足为o.(1)证明:ab平面ode.(2)求异面直线bc与od所成角的余弦值.【解题提示】(1)利用线面垂直的判定定理证明.(2)根据二面角的平面角的定义及线线角的定义求解.【解析】(1)如图,因为do平面,ab平面,所以doab,连接bd,由题设知,abd是正三角形,又e是ab的中点,所以deab,又dode=d,故ab平面ode.(2)因为bcad,所以bc与od所成的角等于ad与od所