高中数学 第一章 推理与证明 4 数学归纳法课件 北师大版选修22.ppt

4数学归纳法 课前预习学案 在多米诺骨牌游戏中 你能说出使所有多米诺骨牌全部倒下的条件吗 提示 要使所有骨牌全部倒下 必须具备两个条件 第一张牌被推倒 前面的一张倒下时 能推倒它后面的一张 数学归纳法是用来证明某些与 的数学命题的一种方法 它的基本步骤是 1 验证n 1时 命题成立 2 在假设当n k k 1 时命题成立的前提下 推出当n k 1时 命题成立 根据 1 2 可以断定命题对一切正整数n都成立 1 数学归纳法 正整数n有关 从观察一些 的简单的问题入手 根据它们所体现的共同体质 运用 作出一般命题的猜想 然后从理论上证明 或否定 这种猜想 这个过程叫作 归纳 猜想 证明 2 归纳 猜想与证明 1 数学归纳法一般被用于证明某些与正整数n有关的数学命题 但是 并不能简单地说所有与正整数n有关的数学命题都可以用数学归纳法证明 一般说来 从n k的情形过渡到n k 1的情形时 如果问题中存在可利用的递推关系 那么数学归纳法有用武之地 否则使用数学归纳法就很困难 特殊 不完全归纳法 2 数学归纳法的两个步骤缺一不可 第一步是验证命题递推的基础 第二步是论证命题递推的依据 这两个步骤缺一不可 只完成第一步而缺少第二步就作出判断 可能得出不正确的结论 因为单靠第一步 无法递推下去 同样 只有第二步缺少第一步时 也可能得出不正确的结论 缺少第一步这个基础 假设失去了成立的前提 第二步也无意义 3 第二步的证明中 当n k时结论正确 这一归纳假设起着已知的作用 当n k 1时结论正确 则是求证的目标 而且证明 当n k 1时结论正确 的过程里 必须利用 归纳假设 即必须用上 当n k时结论正确 这一条件 没有运用 归纳假设 的证明不是数学归纳法 解析 当n 1时 不等式不成立 当n 2时 不等式成立 故n0 2 答案 b 4 用数学归纳法证明 1 4 2 7 3 10 n 3n 1 n n 1 2 n n 证明 1 当n 1时 左边 1 4 右边 1 1 1 2 4 等式成立 2 假设n k时 1 4 2 7 3 10 k 3k 1 k k 1 2成立 则当n k 1时 有1 4 2 7 3 10 k 3k 1 k 1 3 k 1 1 k k 1 2 k 1 3k 4 k 1 k2 k 3k 4 k 1 k 1 1 2 即n k 1时等式成立 由 1 2 可知 对任意正整数n n 等式成立 课堂互动讲义 用数学归纳法证明等式 用数学归纳法证明一个与正整数n有关的恒等式时 关键是第二步 要特别注意两方面的问题 第一是当n k 1时与n k时等式两边的联系 必须弄清等式两边分别增加了哪些项 减少了哪些项 第二是利用归纳假设后的变形目标要明确 即在等式的一端应用归纳假设后 要逐步变形为n k 1时等式另一端的形式 用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明不等式 推导n k 1也成立时 证明不等式的常用方法 如比较法 分析法 综合法均可灵活运用 在证明过程中 常常要在 凑 出归纳假设的前提下 根据剩余部分的结构特点及n k 1时命题的需要进行放缩 平面上有n个圆 其中任意两圆都相交 任意三圆不共点 试证n个圆把平面分为f n n2 n 2个部分 思路导引 每增加一个圆 把平面分成的部分就增加2k块 证明 1 当n 1时 即一个圆把平面分成两个部分 f 1 2 又n 1时 n2 n 2 2 命题成立 用数学归纳法证明几何问题 2 假设当n k k 1 时 命题成立 即k个圆把平面分成f k k2 k 2个部分 那么设第 k 1 个圆为 o 由题意 它与k个圆中每个圆交于两点 又无三圆交于同一点 于是它与其他k个圆相交于2k个点 把 o分成2k条弧 而每条弧把原区域分成两块 因此平面的总区域增加2k块 即f k 1 k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2 即当n k 1时 命题也成立 由 1 和 2 可知 对于任何正整数n命题均成立 用数学归纳法证明几何问题应特别注意语言叙述要准确清楚 关键要弄清从n k到n k 1时新增加的量是什么 一般地 证明第二步时 常用的方法是 加一法 即在原来k的基础上 再增加一个 也可以从k 1个中分出一个来 剩下的k个利用归纳假设 3 平面内有n n 2 条直线 其中任何两条不平行 任何三条不过同一点 证明 这n条直线相互分割出n2条线段或射线 证明 1 当n 2时 两条直线相交得到4条射线 命题成立 2 假设n k时 k k 2 条直线按题目要求相交可得到k2条线段或射线 则当n k 1时 记这k 1条直线中的一条为l 则其余k条直线相交可得到k2条线段或射线 直线l与这k条直线相交可新增加k个不同的交点 这k个点把直线l分成k 1段 又各自把它们所在线段或射线分成两部分 即又增加k条线段或射线 那么新增加的线段或射线的条数为k 1 k 2k 1条 从而k 1条直线相交 得到的线段或射线的条数为 k2 2k 1 k 1 2条 所以n k 1时命题成立 由 1 2 可知命题对n n 且n 2成立 某数列的第一项为1 并且对所有的自然数n 2 数列的前n项之积为n2 1 写出这个数列的前五项 2 写出这个数