高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修11.ppt

3 3 2函数的极值与导数 自主学习新知突破 1 了解函数极值的概念 会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的关系 并会灵活应用 2 结合函数的图象 了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件 3 会用导数求最高次幂不超过三次的多项式函数的极大值 极小值 横看成岭侧成峰 远近高低各不同 不识庐山真面目 只缘身在此山中 在群山之中 各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处 但它却是其附近的最高点 同样 各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处 但它却是其附近的最低点 群山中的最高处是所有山峰的最高者的顶部 群山中的最低处是所有谷底的最低者的底部 每个山峰附近的走势如何 与导数有什么关系 提示 在山峰左侧f x 0 上升趋势 右侧f x 0 下降趋势 如图 函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都小 f a 0 而且在点x a的左侧 右侧 则把点a叫做函数y f x 的极小值点 f a 叫做函数y f x 的极小值 极小值点与极小值 f x 0 f x 0 如图 函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都大 f b 0 而且在点x b的左侧 右侧 则把点b叫做函数y f x 的极大值点 f b 叫做函数y f x 的极大值 统称为极值点 和 统称为极值 极大值点与极大值 f x 0 f x 0 极小值点 极大值点 极大值 极小值 对函数的极值的理解 1 极值是一个局部概念 由定义可知 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 2 函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 3 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值 如图所示 x1是极大值点 x4是极小值点 而f x4 f x1 4 函数的极值点一定出现在区间的内部 区间的端点不能成为极值点 1 已知函数f x 在 a b 上可导 且x0 a b 以下结论中 正确的是 a 导数为零的点一定是极值点b 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极大值 c 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极大值解析 由极值点和极值的定义可知 b正确 c d不正确 导数为零的点不一定是极值点 故a不正确 答案 b 答案 d 答案 e 4 求函数f x x4 x3的极值 合作探究课堂互动 求函数的极值 求函数极值的方法 1 求导数f x 2 求方程f x 0的全部实根 3 列表 检查f x 在方程f x 0的根左 右的值的符号 4 判断单调性 确定极值 特别提醒 最好列表判断 避免出错 已知极值求参数 思路点拨 求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法进行 其重点是列表检查导数为零的点的左 右两侧的导数值是不是异号的 若异号 则导数为零的点对应的函数值是极值 否则 导数为零的点对应的函数值不是极值 已知函数极值情况 逆向应用确定函数的解析式 进而研究函数性质时 注意两点 1 常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件 所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 函数极值的应用 极值问题的综合应用主要涉及极值的正用和逆用 以及与单调性问题的综合 题目着重考查已知与未知的转化 以及函数与方程的思想 分类讨论的思想在解题中的应用 在解题过程中 熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键 3 设函数f x x3 6x 5 x r 1 求函数f x 的单调区间和极值 2 若关于x的方程f x a有三个不同的实根 求实数a的取值范围 已知f x x3