高中数学 第二章 参数方程 2.1.2 参数方程和普通方程的互化课件 新人教A版选修44.ppt

第2课时参数方程和普通方程的互化 自主预习 1 普通方程相对于参数方程而言 直接给出 的方程叫做普通方程 点的坐标间的关系 2 曲线的普通方程和参数方程的互相转化 1 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式 一般地 可以通过 而从参数方程得到普通方程 消去参数 2 如果知道变数x y中的一个与参数t的关系 例如 把它代入普通方程 求出另一个变数与参数的关系 那么就是曲线的参数方程 在参数方程与普通方程的互化中 必须使x y的 保持一致 x f t y g t 取值范围 即时小测 1 圆x2 y 1 2 2的参数方程为 a 为参数 b 为参数 c 为参数 d 为参数 解析 选d 圆x2 y 1 2 2的圆心坐标为c 0 1 半径为 所以它的参数方程为 为参数 2 参数方程 t为参数 化为普通方程为 解析 消去参数方程中的参数t 得到普通方程为y2 4x 答案 y2 4x 知识探究 探究点参数方程和普通方程的互化1 同一曲线的参数方程是否唯一 提示 求曲线的参数方程 关键是灵活确定参数 由于参数不同 同一曲线的参数方程也会有差异 但是一定要注意等价性 2 将曲线的参数方程和普通方程互相转化需要注意什么 提示 尽管同一曲线的参数方程不唯一 但是一定要注意方程与曲线的等价性 归纳总结 1 曲线的参数方程与普通方程互化的作用 1 将曲线的参数方程化为普通方程 可借助于熟悉的普通方程的曲线来研究参数方程的曲线的类型 形状 性质等 2 将曲线的普通方程化为参数方程 可用参变量作为中介来表示曲线上点的坐标 从而给研究与曲线有关的最大值 最小值以及取值范围等问题带来方便 2 参数方程化为普通方程的三种常用方法 1 代入法 利用解方程的技巧求出参数t 然后代入消去参数 2 三角函数法 利用三角恒等式消去参数 3 整体消元法 根据参数方程本身的结构特征 从整体上消去 特别提醒 化参数方程为普通方程f x y 0 在消参过程中注意变量x y取值范围的一致性 必须根据参数的取值范围 确定f t 和g t 值域得x y的取值范围 类型一参数方程化为普通方程 典例 将下列参数方程化为普通方程 并判断曲线的形状 1 2 解题探究 典例 1 2 中如何分别消去参数 提示 1 利用三角函数基本关系式消去参数 2 两式相加消去参数或代入法消去参数 解析 1 由所以 x 1 2 y cos2 sin2 1 即y x 1 2 1 0 y 1 表示抛物线弧段 如图 2 方法一 注意到两式中分子分母的结构特点 因而可以采取加减消参的办法 所以所求的方程为x y 1 x 1 y 2 方程表示直线 去掉一点 1 2 方法二 只要把t用x或y表示 再代入另一表达式即可 由所以x xt 1 t 所以 x 1 t 1 x 即代入所以x y 1 x 1 y 2 方程表示直线 去掉一点 1 2 方法技巧 消去参数方程中参数的技巧 1 加减消参数法 如果参数方程中参数的符号相等或相反 常常利用两式相减或相加的方法消去参数 2 代入消参数法 利用方程思想 解出参数的值 代入另一个方程消去参数的方法 称为代入消参法 这是非常重要的消参方法 3 三角函数式消参数法 利用三角函数基本关系式sin2 cos2 1消去参数 变式训练 1 将参数方程化为普通方程为 解析 将参数方程两式相加 得x y 2 其中x 1 t2 1 答案 x y 2 x 1 2 将参数方程 a b为大于零的常数 t为参数 化为普通方程 并判断曲线的形状 解析 因为所以t 0时 x a t 0时 x a 由两边平方可得由两边平方可得 并化简 得所以普通方程为所以方程表示焦点在x轴上的双曲线 类型二普通方程化为参数方程 典例 1 把方程xy 1化为以t为参数的参数方程是 a b c d 2 根据下列条件求的参数方程 设y sin 为参数 设x 2t t为参数 解题探究 1 题 1 中x y的范围是什么 提示 x y均为不等于0的实数 2 普通方程化参数方程时需注意什么 提示 普通方程化参数方程时要注意参数的范围 解析 1 选d xy 1 x取非零实数 而a b c中的x的范围不符合要求 2 把y sin 代入方程 得到于是x2 4 1 sin2 4cos2 即x 2 cos 由于 具有任意性 sin 与cos 的符号可以描述平面直角坐标系中点的坐标的符号 所以取x 2cos 因此 的参数方程是 把x 2t代入方程 得到于是y2 1 t2 即 因此 方程的参数方程是 方法技巧 求曲线的参数方程的方法 1 如果已知曲线的普通方程 根据所选参数可利用代入法确定其参数方程 2 求动点的轨迹的参数方程时 应先根据题意选择适当的参数 利用已知条件求参数方程 变式训练 1 圆x2 y2 4x 6y 0的参数方程为 解析 圆x2 y2 4x 6y 0变为 x 2 2 y 3 2 13 即令则令得 故圆x2 y2 4x 6y 0的参数方程为答案 2 把下面曲线的普通方程化为参数方程 设x acos2 为参数 解析 把x acos2 代入普通方程得所以所以y a 1 cos 2 所以普通方程化为参数方程为 类型三参数方程与普通方程互化的应用 典例 已知x y满足x2 y 1 2 1 求 1 3x 4y的最大值和最小值 2 x 3 2 y 3 2的最大值和最小值 解题探究 典例中方程表示的曲线形状是什么 曲线的参数方程是什么 提示 方程表示圆 参数方程为 解析 由圆的普通方程x2 y 1 2 1得圆的参数方程为 1 3x 4y 3cos 4sin 4 4 5sin 其中且 的终边过点 4 3 因为 5 5sin 5 所以 1 4 5sin 9 所以3x 4y的最大值为9 最小值为 1 2 x 3 2 y 3 2 cos 3 2 sin 4 2 26 8sin 6cos 26 10sin 其中tan 且 的终边过点 4 3 因为 10 10sin 10 所以16 26 10sin 36 所以 x 3 2 y 3 2的最大值为36 最小值为16 延伸探究 1 若本例条件不变 求的取值范围 解析 方法一 由于 为参数 所以所以sin kcos k 3 即 所以依题意 得所以解得所以的取值范围是 方法二 由于所以问题可以看作圆x2 y 1 2 1上的动点p x y 与定点a 1 2 的连线的斜率 设直线y 2 k x 1 与圆相切 则圆心 0 1 到直线kx y k 2 0的距离为1 即解得 若过a 1 2 的直线的斜率不存在时 显然与圆相切 结合图形 得的取值范围是 2 若本例条件变为 已知p x y 是极坐标方程 2sin 表示的曲线上的任意一点 如何求3x 4y的最大值和最小值 解析 极坐标方程 2sin 即 2 2 sin 直角坐标方程为x2 y 1 2 1 得圆的参数方程为所以3x 4y 3cos 4sin 4 4 5sin 1 9 所以3x 4y的最大值为9 最小值为 1 方法技巧 求有关最值或取值范围问题的技巧 1 求与圆上的动点有关的最大值 最小值或取值范围问题 常常利用圆的参数方程 将问题转化为三角函数的最大值 最小值或取值范围解决 这样可使问题变得简便 2 形如y asin bcos 的三角函数 通常转化为y 的形式求最大值 最小值 变式训练 1 圆x2 y2 1上任意一点的坐标为 x y 则xy的最大值为 解析 圆x2 y2 1的参数方程为则所以xy的最大值为答案 2 2015 长沙高二检测 在直角坐标平面内 以坐标原点o为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知点m的极坐标为曲线c的参数方程为 为参数 求点m到曲线c上的点的距离的最小值 解析 由点m的极坐标得直角坐标为 4 4 由曲线c的参数方程 为参数 得普通方程为 x 1 2 y2 2 圆心坐标为c 1 0 5 所以点m到曲线c上的点的距离的最小值为 3 2016 成都高二检测 在直角坐标系xoy中 直线l的方程为x y 4 0 以原点o为极点 以x轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线c的极坐标方程为 1 求直线l的极坐标方程 曲线c的直角坐标方程 2 若点p是曲线c上任意一点 p点的直角坐标为 x y 求x 2y的最大值和最小值 解析 1 直线l的方程x y 4 0 因为x cos y sin 所以l的极坐标方程为 cos sin 4 0 又曲线c的极坐标方程 所以 2 4 cos 4 sin 6 0 因为 2 x2 y2 x cos y sin 曲线c的直角坐标方程 x 2 2 y 2 2 2 2 由 1 知曲线c参数方程为 为参数 所以x 2y 2 cos 2 2 sin 6 cos 2sin 6 sin 当sin 1时 x 2y有最小值为6 当sin 1时 x 2y有最大值为6 自我纠错参数方程化为普通方程的综合问题 典例 已知直线l t为参数 为l的倾斜角 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线c为 2 6 cos 5 0 1 若直线l与曲线c相切 求 的值 2 设曲线c上任意一点的直角坐标为 x y 求x y的取值范围 失误案例 分析解题过程 找出错误之处 并写出正确答案 提示 出错的根本原因是