高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 2.1.1数列的概念与简单表示法课件 新人教A版必修5.ppt

第1课时数列的概念与简单表示法 1 理解数列的概念 表示 分类 2 理解数列的通项公式及其简单应用 3 理解数列与函数间的关系 4 能根据数列的前几项写出一个通项公式 1 数列 1 定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列 2 项 数列中的每一个数叫做这个数列的项 数列中的每一项都和它的序号有关 排在第一位的数称为这个数列的第1项 通常也叫做首项 排在第二位的数称为这个数列的第2项 排在第n位的数称为这个数列的第n项 3 表示 数列的一般形式可以写成 a1 a2 an 简记为 an an表示数列中的第n个数 做一做1 下列说法错误的是 a 数列4 7 3 4的首项是4b 在数列 an 中 若a1 3 则从第2项起 各项均不等于3c 数列 1 0 1 2与数列0 1 2 1不相同d 数列中的项不能是三角形答案 b 2 数列的分类 1 按数列的项数是否有限分类 项数有限的数列叫做有穷数列 项数无限的数列叫做无穷数列 2 按数列的项的变化趋势分类 做一做2 若数列5 4 3 m 是递减数列 则m的取值范围是 答案 3 3 数列的通项公式如果数列 an 的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示 那么这个公式叫做这个数列的通项公式 归纳总结1 已知通项公式an f n 则只需依次用1 2 3 代替公式中的n 就可以求出这个数列的各项 4 数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式 5 并不是所有的数列都有通项公式 就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样 做一做3 在数列 an 中 an 3n 1 则a2等于 a 2b 3c 9d 32答案 b 1 对数列有关概念的理解剖析要准确理解数列的定义 需特别注意定义中的两个关键词 一列数 即不止一个数 一定顺序 即数列中的数是有顺序的 同时还要注意以下五点 1 数列中项与项之间用 隔开 2 数列中的项通常用an表示 其中下标n表示项的位置序号 即an为第n项 3 与集合中元素的性质相比较 数列中的项也有三个性质 确定性 一个数在不在数列中 即一个数是不是数列中的项是确定的 与集合相同 可重复性 数列中的数可以重复 与集合不同 如数列1 1 1 而由1 1 1组成的集合是 1 有序性 一个数列不仅与构成数列的 数 有关 而且与这些数的排列次序有关 与集合不同 如1 3 4与1 4 3代表不同的数列 而集合 1 3 4 与 1 4 3 却是相同的 4 项 与序号n是不同的 数列的项是这个数列中某一个确定的数 它实质上是序号n的函数值f n 而序号则是指该项在这个数列中的位置序号 另外 序号与项数也是不同的概念 项数表示整个数列共有多少项 5 an 与an是两个不同的概念 an 表示数列a1 a2 a3 an 而an只表示数列的第n项 2 数列与函数的关系剖析对于数列 an 中的每一项的序号n与这一项an的对应关系可以看作序号集合到另一个数的集合的映射 例如数列 1 数列是一个以正整数作为自变量的特殊函数 因此在解决数列问题时 要善于利用函数的知识 函数的观点 函数的思想方法来解题 即用共性来解决特殊问题 如由数列是定义在n 或它的子集 1 2 3 n 上的函数 可知an是n的函数 即an f n 因此当 an 的通项公式的一端的某个 n 用某个数或某个式子或某个记号代替后 则两端的所有的 n 必须用同一个数或式子或记号代替 如已知数 2 要注意数列的特殊性 离散型 由于它的定义域是n 或 1 2 n 因此它的图象是一系列孤立的点 而不像我们前面所研究的初等函数一般都是连续的曲线 在解决数列问题时 要充分利用这一特殊性 知识拓展类似于函数的三种表示法 数列也相应地有三种表示法 1 列表法 列一个两行多列的表格 第一行是项的序号 第二行是对应项的值 比如 2 解析法 用数列的通项公式来表示数列 如 在数列 an 中 an 2n 3 也可以写为 2n 3 3 图象法 在平面直角坐标系中 画出点 n an 这些点就表示一个数列 3 常见数列的通项公式剖析 1 数列 1 1 1 1 的通项公式是an 1 n 数列1 1 1 1 的通项公式是an 1 n 1或 1 n 1 2 数列1 2 3 4 的通项公式是an n 3 数列1 3 5 7 的通项公式是an 2n 1 4 数列2 4 6 8 的通项公式是an 2n 5 数列1 2 4 8 的通项公式是an 2n 1 6 数列1 4 9 16 的通项公式是an n2 题型一 题型二 题型三 题型四 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 例1 写出下列数列的一个通项公式 2 1 3 5 7 9 3 9 99 999 9999 分析经过观察 分析寻找每一项与其项数的统一规律 题型一 题型二 题型三 题型四 2 数列各项的绝对值为1 3 5 7 9 是连续的正奇数 其通项公式为2n 1 考虑 1 n 1具有转换符号的作用 所以数列的一个通项公式为an 1 n 1 2n 1 3 各项加1后 变为10 100 1000 10000 此数列的通项公式为10n 可得原数列的一个通项公式为an 10n 1 4 数列中的每一项均由三部分组成 分母是从1开始的奇数列 其通项公式为2n 1 分子的前一部分是从2开始的自然数的平方 其通项公式为 n 1 2 分子的后一部分是减去一个自然数 其通项公式为n 综合得原数列的一个通项公式为 题型一 题型二 题型三 题型四 反思根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 实际上是归纳 总结 找出前几项的共同特点的过程 各项与其序号的关系式就是一个通项公式 其归纳 总结的方法是 将数列的前几项恒等变形为统一的代数式形式 并且这个代数式中仅有一处是不同的 是变化的 并且变化的规律是随着序号每次增加1 用n来替换代数式中变化的地方 替换后的代数式就是数列的通项公式 对于符号交替出现的情况 可先观察其绝对值 再用 1 k处理符号 若各项是分数 可对分子 分母分别观察 写出来的通项公式的正确性也可以验证 令通项公式中的n 1 2 3 得到数列的前几项 看看是否与实际相符 若符合 则写出的通项公式是正确的 否则 是错误的 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 根据下列数列的前几项 写出各数列的一个通项公式 1 1 7 13 19 2 0 8 0 88 0 888 解 1 符号问题可通过 1 n或 1 n 1处理 其各项的绝对值的排列规律为 后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6 故通项公式为an 1 n 6n 5 题型一 题型二 题型三 题型四 3 各项的分母分别为21 22 23 24 易看出第2 3 4项的分子分别比分母少3 题型一 题型二 题型三 题型四 通项公式的应用 例2 已知数列 an 的通项公式为an 3n2 28n 1 写出数列的第4项和第6项 2 49是不是该数列的一项 如果是 是第几项 68是否是该数列的一项呢 分析 1 令n 4 n 6 分别代入通项公式 即可求得a4 a6 2 令an 49和68 求得n值 若n n 则是该数列的项 否则 不是该数列的项 解 1 a4 3 16 28 4 64 a6 3 36 28 6 60 题型一 题型二 题型三 题型四 反思1 当已知数列 an 的通项公式an f n 求某一项am时 用m代替f n 中的n即可 2 判断某数k是否为数列 an 中的项 需先假定它是数列中的项 列方程an f n k求解 若方程有解 且为正整数 则该数是数列中的项 若方程无解或有解 但不是正整数 则数k不是此数列中的项 题型一 题型二 题型三 题型四 a 70b 28c 20d 8解析 a2 2 2 2 2 a3 3 3 1 10 a2 a3 20 答案 c 2 已知数列 an 的通项公式为an qn 且a4 a2 72 求实数q的值 判断 81是不是此数列中的项 解 由题意知q4 q2 72 解得q2 9或q2 8 舍去 故q 3 当q 3时 an 3n 显然 81不是此数列中的项 当q 3时 an 3 n 令 3 n 81 34 也无解 故 81不是此数列中的项 题型一 题型二 题型三 题型四 按项的变化趋势对数列分类 题型一 题型二 题型三 题型四 反思按项的变化趋势对数列分类的步骤 1 当给出数列的全部项时 按递增数列 递减数列 常数列 摆动数列的定义来确定 2 当给出数列的通项公式时 常常用作差的方法 通过判断差的符号来确定 对n n 当an 1 an 0时 an 为递增数列 当an 1 an 0时 an 为递减数列 当an 1 an 0时 an 为常数列 当an 1 an的符号不确定时 an 为摆动数列 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 已知下列数列 1 2 4 8 12 其中 有穷数列是 无穷数列是 递增数列是 递减数列是 常数列是 摆动数列是 周期数列是 将正确答案的序号填在横线上 题型一 题型二 题型三 题型四 解析 1 是有穷递增数列 3 是无穷递减数列 4 是无穷摆动数列 5 既是无穷摆动数列 也是周期数列 最小正周期为4 6 是有穷常数列 答案 1 6 2 3 4