（新课标）高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用精品讲义 理（含解析）.doc

第二章函数、导数及其应用第一节 函数及其表示基础盘查一函数的有关概念(一)循纲忆知1了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数(二)小题查验1判断正误(1)函数是建立在其定义域到值域的映射()(2)函数yf(x)的图象与直线xa最多有2个交点()(3)函数f(x)x22x与g(t)t22t是同一函数()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数()(5)若ar，bx|x0，f：xy|x|，其对应是从a到b的映射()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2(人教a版教材复习题改编)函数f(x)的定义域是_答案：4,5)(5，)3已知函数yf(n)，满足f(1)2，且f(n1)3f(n)，nn*，则f(4)_.答案：54基础盘查二分段函数(一)循纲忆知了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)(二)小题查验1判断正误(1)函数f(x)是分段函数()(2)若f(x)则f(x)()答案：(1)(2)2分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_，其值域等于各段函数的值域的_答案：并集并集3已知函数f(x)若f(x)2，则x_.答案：|(基础送分型考点自主练透)必备知识1函数的定义设a、b为两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一的数f(x)和它对应，那么就称f：ab为从集合a到集合b的一个函数，记作yf(x)2函数的三要素题组练透1下列四组函数中，表示同一函数的是()ayx1与yby与ycy4lg x与y2lg x2 dylg x2与ylg答案：d2下列所给图象是函数图象的个数为()a1 b2c3 d4解析：选b中当x0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，中当xx0时，y的值有两个，因此不是函数图象，中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，故选b.类题通法两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)2x1，g(t)2t1，h(m)2m1均表示同一函数|(常考常新型考点多角探明)多角探明函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴.常见的命题角度有：(1)求给定函数解析式的定义域；(2)求抽象函数的定义域；(3)已知定义域确定参数问题.角度一：求给定函数解析式的定义域1函数f(x)(a0且a1)的定义域为_解析：由0x2，故所求函数的定义域为(0,2答案：(0,22(2013安徽高考)函数yln的定义域为_解析：要使函数有意义，需即即解得0x1，所以定义域为(0,1答案：(0,1角度二：求抽象函数的定义域3若函数yf(x)的定义域是1,2 014，则函数g(x)的定义域是()a0,2 013b0,1)(1,2 013c(1,2 014 d1,1)(1,2 013解析：选b令tx1，则由已知函数的定义域为1，2 014，可知1t2 014.要使函数f(x1)有意义，则有1x12 014，解得0x2 013，故函数f(x1)的定义域为0,2 013所以使函数g(x)有意义的条件是解得0x0，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)lg，x1.(3)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x，xr.(4)在f(x)2f1中，用代替x，得f2f(x)1，将f1代入f(x)2f1中，可求得f(x).类题通法求函数解析式常用的方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x)f(x)，可将f(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(4)消去法：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)演练冲关1已知f(1)x2，求f(x)的解析式解：法一：设t1，则x(t1)2，t1，代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.故f(x)x21，x1.法二：x2()2211(1)21，f(1)(1)21，11，即f(x)x21，x1.2设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等实根，且f(x)2x2，求f(x)的解析式解：设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb2x2，a1，b2，f(x)x22xc.又方程f(x)0有两个相等实根，44c0，解得c1.故f(x)x22x1.|(重点保分型考点师生共研)必备知识若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数提醒分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数典题例析1已知f(x)且f(0)2，f(1)3，则f(f(3)()a2b2c3 d3解析：选b由题意得f(0)a0b1b2，解得b1.f(1)a1ba113，解得a.故f(3)319，从而f(f(3)f(9)log392.2已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_解析：当a0时，1a1.这时f(1a)2(1a)a2a，f(1a)(1a)2a13a.由f(1a)f(1a)得2a13a，解得a.不合题意，舍去当a1,1a0，即(x1)(x1)0，解得1x1，即m(1,1)，全集为r，rm(，11，)2已知函数f(x)若f(f(1)4a，则实数a等于()a. b.c2 d4解析：选cf(1)2，f(f(1)f(2)42a4a，解得a2.故选c.3若二次函数g(x)满足g(1)1，g(1)5，且图象过原点，则g(x)的解析式为()ag(x)2x23x bg(x)3x22xcg(x)3x22x dg(x)3x22x解析：选b(待定系数法)设g(x)ax2bxc(a0)，g(1)1，g(1)5，且图象过原点，解得g(x)3x22x，选b.4函数f(x)的定义域为()a1,10 b1,2)(2,10c(1,10 d(1,2)(2,10解析：选d要使函数f(x)有意义，则x需满足即所以不等式组的解集为(1,2)(2,10故选d.5根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(a，c为常数)已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a件产品用时15分钟，那么c和a的值分别是()a75,25 b75,16c60,25 d60,16解析：选d因为组装第a件产品用时15分钟，所以15，所以必有4f(3)()(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”()(4)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(5)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2(人教a版教材习题改编)函数yx22x(x2,4)的增区间为_答案：2,43若函数y(2k1)xb在(，)上是减函数，则k的取值范围是_答案：基础盘查二函数的最值(一)循纲忆知1理解函数最大值、最小值及其几何意义2会运用函数图象理解和研究函数的最值(二)小题查验1判断正误(1)所有的单调函数都有最值()(2)函数y在1,3上的最小值为()答案：(1)(2)2(人教a版教材例题改编)已知函数f(x)(x2,6)，则函数的最大值为_答案：2|(基础送分型考点自主练透)必备知识1定义法设函数f(x)的定义域为i，区间di，如果对于任意x1，x2d，且x1x2，则有：(1)f(x)在区间d上是增函数f(x1)f(x2)2导数法在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间上单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间上单调递减题组练透1下列四个函数中，在(0，)上为增函数的是()af(x)3xbf(x)x23xcf(x) df(x)|x|解析：选c当x0时，f(x)3x为减函数；当x时，f(x)x23x为减函数，当x时，f(x)x23x为增函数；当x(0，)时，f(x)为增函数；当x(0，)时，f(x)|x|为减函数故选c.2讨论函数f(x)(a0)在x(1,1)上的单调性解：设1x1x21，则f(x1)f(x2).1x1x21，a0，x2x10，x1x210，(x1)(x1)0.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x)2，故函数f(x)在(1,1)上为减函数类题通法对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解(2)可导函数则可以利用导数判断但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断|(重点保分型考点师生共研)必备知识单调区间的定义若函数yf(x)在区间d上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间d叫做yf(x)的单调区间典题例析求下列函数的单调区间：(1)yx22|x|1；(2)ylog(x23x2)解：(1)由于y即y画出函数图象如图所示，单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为1,0和1，)(2)令ux23x2，则原函数可以看作ylogu与ux23x2的复合函数令ux23x20，则x1或x2.函数ylog(x23x2)的定义域为(，1)(2，)又ux23x2的对称轴x，且开口向上ux23x2在(，1)上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数而ylogu在(0，)上是单调减函数，ylog(x23x2)的单调递减区间为(2，)，单调递增区间为(，1)类题通法求函数的单调区间与确定单调性的方法一致(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间提醒单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结演练冲关1若将典例(1)中的函数变为“y|x22x1|”，则结论如何？解：函数y|x22x1|的图象如图所示由图象可知，函数y|x22x1|的单调递增区间为(1，1)和(1，)；单调递减区间为(，1)和(1,1)2设函数yf(x)在(，)内有定义对于给定的正数k，定义函数fk(x)取函数f(x)2|x|.当k时，求函数fk(x)的单调递增区间解：由f(x)，得1x1.由f(x)，得x1或x1.所以f(x)故f(x)的单调递增区间为(，1)|(常考常新型考点多角探明)必备知识函数的最值(1)函数最大(小)值的几何意义：函数的最大值对应图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应图象最低点的纵坐标(2)利用函数单调性求最值的常用结论：如果函数yf(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减，则函数yf(x)，xa，c在xb处有最大值f(b)；如果函数yf(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增，则函数yf(x)，xa，c在xb处有最小值f(b)多角探明高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中.函数单调性的应用，归纳起来常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值.角度一：求函数的值域或最值1函数f(x)的最大值为_解析：当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x1时，易知函数f(x)x22在x0处取得最大值，为f(0)2.故函数f(x)的最大值为2.答案：2角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小2已知函数f(x)log2x，若x1(1,2)，x2(2，)，则()af(x1)0，f(x2)0bf(x1)0cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0解析：选b函数f(x)log2x在(1，)上为增函数，且f(2)0，当x1(1,2)时，f(x1)f(2)0，即f(x1)0.角度三：解函数不等式3f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，当f(x)f(x8)2时，x的取值范围是()a(8，) b(8,9c8,9 d(0,8)解析：选b211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有解得8x9.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4已知函数f(x)满足对任意的实数x1x2，都有0成立，则实数a的取值范围为()a(，2)b.c(，2 d.解析：选b由题意可知，函数f(x)是r上的减函数，于是有由此解得a，即实数a的取值范围是 .类题通法函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(3)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的(4)利用单调性求最值应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值一、选择题1(2014北京高考)下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()ayby(x1)2cy2x dylog0.5(x1)解析：选a显然y是(0，)上的增函数；y(x1)2在(0,1)上是减函数，在(1，)上是增函数；y2xx在xr上是减函数；ylog0.5(x1)在(1，)上是减函数，故选a.2函数f(x)|x2|x的单调减区间是()a1,2 b1,0c0,2 d2，)解析：选a由于f(x)|x2|x结合图象可知函数的单调减区间是1,23(2015黑龙江牡丹江月考)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x1对称，且当x1时，f(x)3x1，则()afffbfffcfffdfff解析：选b由题设知，当x1时，f(x)单调递减，当x1时，f(x)单调递增，而x1为对称轴，ffff，又f，即fff.4.定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于()a1 b1c6 d12解析：选c由已知得当2x1时，f(x)x2，当1x2时，f(x)x32.f(x)x2，f(x)x32在定义域内都为增函数f(x)的最大值为f(2)2326.5已知函数f(x)则“c1”是“函数f(x)在r上递增”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件解析：选a若函数f(x)在r上递增，则需log21c1，即c1.由于c1c1，但c1/ c1，所以“c1”是“f(x)在r上递增”的充分不必要条件故选a.6(2015长春调研)已知定义在r上的函数f(x)满足f(x)f(x)0，且在(，0)上单调递增，如果x1x20且x1x20，则f(x1)f(x2)的值()a可能为0 b恒大于0c恒小于0 d可正可负解析：选c由x1x20不妨设x10.x1x20，x1x20.由f(x)f(x)0知f(x)为奇函数又由f(x)在(，0)上单调递增得，f(x1)f(x2)f(x2)，所以f(x1)f(x2)0.故选c.二、填空题7已知函数f(x)为r上的减函数，若ff(1)，则实数x的取值范围是_解析：由题意知f(x)为r上的减函数且f1，即|x|1，且x0.故1x1且x0.答案：(1,0)(0,1)8已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上具有单调性，则实数a的取值范围为_解析：函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称轴为直线xa，画出草图如图所示由图象可知，函数在(，a和a，)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间1,2上具有单调性，只需a1或a2，从而a(，12，)答案：(，12，)9设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的递减区间是_解析：由题意知g(x)函数图象如图所示，其递减区间是0,1)答案：0,1)10使函数y与ylog3(x2)在(3，)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是_解析：由ylog3(x2)的定义域为(2，)，且为增函数，故在(3，)上是增函数又函数y2，使其在(3，)上是增函数，故4k0，得k0且f(x)在(1，)上单调递减，求a的取值范围解：(1)证明：任设x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，2)上单调递增(2)任设1x10，x2x10，要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0在(1，)上恒成立，a1.综上所述知a的取值范围是(0,112已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足ff(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)证明：任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1，由于当x1时，f(x)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(3)f(x)在(0，)上是单调递减函数f(x)在2,9上的最小值为f(9)由ff(x1)f(x2)得，ff(9)f(3)，而f(3)1，所以f(9)2.f(x)在2,9上的最小值为2.第三节函数的奇偶性及周期性基础盘查一函数的奇偶性(一)循纲忆知1结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性(二)小题查验1判断正误(1)若f(x)是定义在r上的奇函数，则f(x)f(x)0()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则f(x)f(x)g(x)是偶函数()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件()答案：(1)(2)(3)(4)2(人教a版教材习题改编)已知函数f(x)是定义在r上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，则x0)的周期函数()答案：(1)(2)2若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(8)f(14)_.答案：1|(基础送分型考点自主练透)必备知识函数的奇偶性的定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)或f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(奇函数)提醒定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件题组练透判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)3x3x；(4)f(x)；(5)f(x)解：(1)由得x1，f(x)的定义域为1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数(2)函数f(x)的定义域为，不关于坐标原点对称，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(3)f(x)的定义域为r，f(x)3x3x(3x3x)f(x)，所以f(x)为奇函数(4)由得2x2且x0.f(x)的定义域为2,0)(0,2，f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函数(5)易知函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，又当x0时，f(x)x2x，则当x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，x0)提醒应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内|(常考常新型考点多角探明)多角探明高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查.归纳起来常见的命题角度有：(1)单调性与奇偶性结合；(2)周期性与奇偶性结合；(3)单调性、奇偶性与周期性结合.角度一：单调性与奇偶性结合1(2015洛阳统考)下列函数中，既是偶函数又在(，0)上单调递增的是()ayx2by2|x|cylog2 dysin x解析：选c函数yx2在(，0)上是减函数；函数y2|x|在(，0)上是减函数；函数ylog2log2|x|是偶函数，且在(，0)上是增函数；