（新课标）高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析之函数探讨函数的综合问题1 新人教A版.doc

九、函数的综合问题：典型例题：例1.设函数。（1）讨论的单调性；（2）设，求的取值范围。【答案】解：。（1），。当时，在上为单调递增函数；当时，在上为单调递减函数；当时，由得， 由得或； 由得。 当时在和上为为单调递增函数；在上为单调递减函数。（2）由恒成立可得。令，则。当时，当时，。又，所以，即故当时，有，当时，所以。当时，。综上可知故所求的取值范围为。【考点】导数在研究函数中的运用，三角函数的有界性，。【解析】（1）利用三角函数的有界性，求解单调区间。 （2）运用构造函数的思想，证明不等式。关键是找到合适的函数，运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解决。例2.已知函数（1）讨论的单调性；（2）设有两个极值点，若过两点，的直线与轴的交点在曲线上，求的值【答案】解：（1）， 当 时，且仅当时。是增函数。 当 时，有两个根。列表如下：的增减性0增函数减函数0增函数 （2）由题设知，是的两个根，且。 。 同理，。 直线的解析式为。 设直线与轴的交点为，则，解得。 代入得 ， 在轴上， 解得，或或。【考点】函数的单调性和极值，导数的应用。【解析】（1）求出导函数，分区间讨论即可。 （2）由，是的两个根和（1）的结论，得，求出关于的表达式和关于的表达式，从而得到直线的解析式。求出交点的横坐标代入，由其等于0，求出的值。例3.已知函数满足满足；（1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值。【答案】解：（1），。令得，。，得。 的解析式为。 设，则。 在上单调递增。 又时，单调递增；时，单调递减。 的单调区间为：单调递增区间为，单调递减区间为。 （2），。令得。 当时，在上单调递增。 但时，与矛盾。 当时，由得；由得。 当时， 。 令；则。 由得；由得。 当时， 当时，的最大值为。【考点】函数和导函数的性质。【解析】（1）由求出和即可得到的解析式，根据导数的性质求出单调区间。（2）由和，表示出，根据导函数的性质求解。例4.设函数()求的单调区间()若a=1，k为整数，且当x0时，求k的最大值【答案】解：() f(x)的的定义域为，。 若，则，在上单调递增。 若，则当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增。 ()a=1，。 当x0时，它等价于。 令，则。 由()知，函数在上单调递增。 ，在上存在唯一的零点。 在上存在唯一的零点，设此零点为，则。 当时，；当时，。 在上的最小值为。 又，即，。 因此，即整数k的最大值为2。【考点】函数的单调性质，导数的应用。【解析】()分和讨论的单调区间即可。 ()由于当x0时，等价于，令，求出导数，根据函数的零点情况求出整数k的最大值。例5.已知函数（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间（，1）上的最大值。【答案】解：（1）（1，c）为公共切点，。 ，即。 又，。 又曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线， 。 解，得。（2），设。 则。令，解得。 ，。 又在各区间的情况如下：00在单调递增，在单调递减，在上单调递增。若，即时，最大值为；若，即时，最大值为。若时，即时，最大值为。综上所述：当时，最大值为；当时，最大值为1。【考点】函数的单调区间和最大值，切线的斜率，导数的应用。【解析】（1）由曲线与曲线有公共点（1，c）可得；由曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线可得两切线的斜率相等，即。联立两式即可求出a、b的值。 （2）由 得到只含一个参数的方程，求导可得的单调区间；根据 ，和三种情况讨论的最大值。例6.已知函数（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；（2）当a=3,b=9时，若函数在区间k,2上的最大值为28，求k的取值范围。【答案】解：（1）（1，c）为公共切点，。 ，即。 又，。 又曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线， 。 解，得。（2）a=3,b=9，设。 则。令，解得。 又在各区间的情况如下：100在单调递增，在单调递减，在上单调递增。其中，为最大值。如果函数在区间k,2上的最大值为28，则区间包含最大值点。，即k的取值范围为。【考点】函数的单调区间和最大值，切线的斜率，导数的应用。【解析】（1）由曲线与曲线有公共点（1，c）可得；由曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线可得两切线的斜率相等，即。联立两式即可求出a、b的值。 （2）由 a=3,b=9得到的方程，求导可得的单调区间；根据函数在区间k,2上的最大值为28，则区间包含最大值点。从而得出k的取值范围。例7.已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。（）用和表示；（）求对所有都有成立的的最小值；（）当时，比较与的大小，并说明理由。【答案】解：（）由已知得，交点a的坐标为，对求导得。 抛物线在点a处的切线方程为，即。（）由（1）知，则成立的充要条件是。即知，对于所有的n成立，特别地，取n=2时，得到。当时,。当n=0，1，2时，显然。当时，对所有自然数都成立。满足条件的的最小值是。（）由（1）知，则，。下面证明：。首先证明：当0x1时，设函数，则。当时，；当时，在区间（0,1）上的最小值min=g。当0x1时，0,即得。由0a1知0ak1()，。从而。【考点】导数的应用、不等式、数列。【解析】（）根据抛物线与x轴正半轴相交于点a，可得a，进一步可求抛物线在点a处的切线方程，从而可得（）由（）知，则 成立的充要条件是，即知，对所有n成立。当时，；当n=0，1，2时，由此可得的最小值。（）由（）知，证明当0x1时， 即可证明： 。例8.已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。（）用和表示；（）求对所有都有成立的的最小值；（）当时，比较与的大小，并说明理由。【答案】解：（）由已知得，交点a的坐标为，对求导得。 抛物线在点a处的切线方程为，即。（）由（1）知，则成立的充要条件是。即知，对于所有的n成立，特别地，取n=1时，得到。当时,。当n=0时，。当时，对所有自然数都成立。满足条件的的最小值是3。（）由（1）知，下面证明：。首先证明：当0x1时， ，设函数，则。当时，；当时，在区间（0,1）上的最小值min=g。当0x1时，0,即得。由0a1知0ak1()，。从而。【考点】导数的应用、不等式、数列。【解析】（）根据抛物线与x轴正半轴相交于点a，可得a，进一步可求抛物线在点a处的切线方程，从而可得（）由（）知，则成立的充要条件是，即知，对所有n成立。当时，；当n=0时，由此可得的最小值。（）由（）知，证明当0x1时，即可证明：。例9.已知函数的最小值为，其中.（）求的值；（）若对任意的,有成立，求实数的最小值；（）证明.【答案】解：（）函数的定义域为，求导函数可得. 令，得。当变化时，和的变化情况如下表：0极小值在处取得极小值。由题意，得。（）当0时，取，有，故0不合题意。当0时，令，即。求导函数可得。令，得。当时， 0，在（0，+）上恒成立，因此在（0，+）上单调递减，从而对任意的），总有，即对任意的，有成立。符合题意。当时，0，对于(0， )，0，因此在(0， )上单调递增，因此取(0， )时，即有不成立。 不合题意。综上，实数的最小值为。（）证明：当=1时，不等式左边=2ln32=右边，所以不等式成立。当2时，。在（2）中，取，得，。综上，。【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，利用导数求闭区间上函数的最值。【分析】（）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用函数的最小值为，即可求得的值。（）当0时，取，有，故0不合题意。当0时，令，求导函数，令导函数等于0，分类讨论：当 时，0，在（0，+）上单调递减，从而对任意的），总有。当时，0，对于(0， )，0，因此在(0， )上单调递增。由此可确定的最小值。（）当=1时，不等式左边=2ln32=右边，所以不等式成立。当2时，由，在（）中，取得,从而可得，由此可证结论。例10.已知函数，其中.（i）求函数的单调区间；（ii）若函数在区间（2，0）内恰有两个零点，求的取值范围；（iii）当=1时，设函数在区间上的最大值为m（），最小值为m（）,记，求函数在区间上的最小值。【答案】解：（i）求导函数可得。 令，可得。当变化时，和的变化情况如下表：00极大值极小值函数的递增区间为，单调递减区间为。（ii）由（i）知函数在区间（2，1）内单调递增，在（1，0）内单调递减，函数在（2，0）内恰有两个零点。 ，即，解得。的取值范围为(0，)。（iii）=1时，由（i）知，函数在（3，1）上单调递增，在（1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增。当时，1，+3，在，1上单调递增，在1，+3上单调递减。函数在，+3上的最大值为m（）=，而最小值m（）为与中的较小者。由知，当3，2时，故m（）=f（），所以。而在3，2上单调递增，因此。在3，2上的最小值为。当2，1时，+31，2，1，1，+3。下面比较的大小：由在2，1，1，2上单调递增，有。，m（）= ，m（）=在2，1上的最小值为。 综上，函数在区间3，1上的最小值为。【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的极值和单调性。【分析】（i）求导函数，令0，可得函数的递增区间；令0，可得单调递减区间。（ii）由（i）知函数在区间（2，1）内单调递增，在（1，0）内单调递减，从而函数在（2，0）内恰有两