广西南宁市高三数学上学期一模考试试卷 理（含解析）.doc

广西南宁市2015届高考数学一模试卷（理科）一.选择题1已知全集u=r，a=x|x2+3x100，b=x|2x5，则（ua）b等于( )ax|5x2bx|2x5cx|2x2dx|5x52设复数z满足z（1i）=2，则复数z的模|z|等于( )ab2cd43设等比数列an的前n项和为sn，若a1=1，a4=8，则s5等于( )a11b11c331d314下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+）上单调递减的函数是( )ay=lnxby=x2cy=cosxdy=2|x|5（1）5的展开式x2的系数是( )a5b5c10d106已知x，y满足则目标函数z=x+y的最大值为( )a4b5c6d77如图所示的程序框图中输出的a的结果为( )a2b2cd8已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的( )abcd9已知函数f（x）=sin（x+），其中x，若f（x）的值域是，则实数a的取值范围是( )a（0，bcd10甲和乙等五名志愿者被随机地分到a、b、c、d四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲和乙在不同岗位服务的概率为( )abcd11双曲线与抛物线y2=2px（p0）相交于a，b两点，公共弦ab恰好过它们的公共焦点f，则双曲线c的离心率为( )abcd12定义域为的函数y=f（x）的图象的两个端点a、b，m（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=a+（1）b（r），向量=+（1），其中o为坐标原点，若不等式|k恒成立，则称函数f（x）在上“k阶线性近似”若函数y=x+在上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为( )a（2）若acosb+bcosa=2，a=，求sina的值18某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度，现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）若治安满意度不低于9.5分，则称该人的治安满意度为“极安全”求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记x表示抽到“极安全”的人数，求x的分布列及数学期望19如图，在三棱柱abca1b1c1中，aa1平面abc，ab=bc=ca=aa1，d为ab的中点（1）求证：bc1平面dca1；（2）求二面角dca1c1的平面角的余弦值20已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，且过点（，）（1）求椭圆c的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为a、b，点s是椭圆上位于x轴上方的动点，直线as，bs与直线l：x=分别交于m、n两点，求线段mn长度的最小值21已知函数f（x）=xlnx+ax（ar）（i）若函数f（x）在区间则其三视图如图：，故选：c点评：本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力，是基础题9已知函数f（x）=sin（x+），其中x，若f（x）的值域是，则实数a的取值范围是( )a（0，bcd考点：正弦函数的图象专题：三角函数的图像与性质分析：先求得x+的取值范围，由x+时f（x）的值域是，可知a+，可解得实数a的取值范围解答：解：x，x+，x+时f（x）的值域是，由函数的图象和性质可知a+，可解得a故选：d点评：本题主要考察了正弦函数的图象和性质，由函数的图象和性质得到不等式a+是解题的关键，属于基本知识的考查10甲和乙等五名志愿者被随机地分到a、b、c、d四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲和乙在不同岗位服务的概率为( )abcd考点：古典概型及其概率计算公式专题：概率与统计分析：所有的结果共有c52a44种，不满足条件的事件数a44 ，可得不满足条件的概率，用1减去此概率即得所求解答：解：5个人分到4个岗位，每个岗位至少有一名志愿者共有c52a44=240种结果，甲和乙在同一岗位服务的事件数a44 =24则甲和乙不在同一岗位服务的概率为 1=故选：a点评：本题主要考查古典概型和排列组合，排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素，属于中档题11双曲线与抛物线y2=2px（p0）相交于a，b两点，公共弦ab恰好过它们的公共焦点f，则双曲线c的离心率为( )abcd考点：双曲线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用条件可得a（）在双曲线上，=c，从而可得（c，2c）在双曲线上，代入化简，即可得到结论解答：解：双曲线与抛物线y2=2px（p0）相交于a，b两点，公共弦ab恰好过它们的公共焦点f，a（）在双曲线上，=c（c，2c）在双曲线上，c46a2c2+a4=0e46e2+1=0e1e=故选b点评：本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题12定义域为的函数y=f（x）的图象的两个端点a、b，m（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=a+（1）b（r），向量=+（1），其中o为坐标原点，若不等式|k恒成立，则称函数f（x）在上“k阶线性近似”若函数y=x+在上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为( )a，所以便得到，所以只需k解答：解：由题意知a=1，b=2，所以a（1，2）；直线ab的方程为；xm=+2（1）=2；=；m，n两点的横坐标相同，且点n在直线ab上；=；，；要使恒成立，则k；实数k的取值范围为故选c点评：考查直线的点斜式方程，向量坐标的加法及数乘运算，根据可判断出点n，a，b共线，以及对k阶线性近似概念的理解与运用，基本不等式二.填空题13若a2+b2=4c2（c0），则圆o：x2+y2=1的圆心到直线l：ax+by+c=0的距离为考点：点到直线的距离公式专题：直线与圆分析：直接写出圆的圆心到直线的距离，结合已知a2+b2=4c2求得答案解答：解：圆o：x2+y2=1的圆心坐标为（0，0），圆o：x2+y2=1的圆心到直线l：ax+by+c=0的距离d=，又a2+b2=4c2，则d=故答案为：点评：本题考查了圆的方程，考查了点到直线的距离公式，是基础题14已知向量，若与垂直，则k=3考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系专题：计算题；平面向量及应用分析：由向量，先求出=（，3），再由与垂直，求出k的值解答：解：向量，=（，3），与垂直，（）（k，）=，k=3故答案为：3点评：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答15在数列an中，已知a1=2，a2=7，记an与an+1（nn+）的积的个位数为an+2，则a2015=2考点：数列递推式专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：由已知分别求出数列的前几项，然后得到数列周期性出现的规律得答案解答：解：a1=2，a2=7，a1a2=14，则a3=4，a2a3=74=28，则a4=8，a3a4=48=32，则a5=2，a4a5=82=16，则a6=6a7=2，a8=2，a9=4，a10=8，a11=2，从第三项起，an的值成周期数列，周期数为6，则a2015=a3356+5=a5=2故答案为：2点评：本题考查了数列递推式，关键在于通过求值得到数列的周期性，是中档题16已知长方体abcda1b1c1d1内接于球o，底面abcd是边长为2的正方形，e为aa1的中点，oa平面bde，则球o的表面积为16考点：球的体积和表面积专题：空间位置关系与距离分析：根据已知结合长方体锥的几何特征和球的几何特征，求出球的半径，代入可得球的表面积解答：解：长方体abcda1b1c1d1内接于球o，底面abcd是边长为2的正方形，设aa1=2a，e为aa1的中点，以a为坐标原点，分别以ab，ad，aa1为x，y，z轴建立空间坐标系，则a（0，0，0），b（2，0，0），d（0，2，0），e（0，0，a），c1（2，2，2a），o（1，1，a），则=（2，2，0），=（2，0，a），=（1，1，a），若oa平面bde，则，即，即a22=0，解得a=，球o的半径r满足：2r=4，故球o的表面积s=4r2=16，故答案为：16点评：本题考查的知识点是球的表面积，其中根据已知求出半径是解答的关键三.解答题17在abc中角a，b，c所对的边分别为a，b，c已知cos=，（1）求cosc的值；（2）若acosb+bcosa=2，a=，求sina的值考点：余弦定理；正弦定理专题：三角函数的求值；解三角形分析：（1）由二倍角的余弦公式代入已知即可求cosc的值（2）由已知及余弦定理可得a+b=2，从而解得c的值，求得sinc的值，即可由正弦定理求得sina的值解答：解：（1）cos=，cosc=2cos21=21=（2）acosb+bcosa=2，由余弦定理可得：a+b=2，从而解得：c=2，又a=，cosc=，sinc=，由得sina=点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理的综合应用，考察了二倍角的余弦公式的应用，属于基础题18某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度，现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）若治安满意度不低于9.5分，则称该人的治安满意度为“极安全”求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记x表示抽到“极安全”的人数，求x的分布列及数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列专题：概率与统计分析：（1）设ai表示所取得人中有i个人是“极安全”，至多有一人是“极安全”记为事件a，则p（a）=p（a0）+p（a1），由此能求出至多有1人是“极安全”的概率（2）x的可能取值为0，1，2，3，由已知得xb（3，），由此能求出x的分布列及数学期望解答：解：（1）设ai表示所取得人中有i个人是“极安全”，至多有一人是“极安全”记为事件a，则p（a）=p（a0）+p（a1）=+=（2）x的可能取值为0，1，2，3，由已知得xb（3，），p（x=0）=（）3=，p（x=1）=，p（x=2）=，p（x=3）=，x的分布列为： x 01 2 3 pex=3=点评：本题主要考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，考查数据处理能力19如图，在三棱柱abca1b1c1中，aa1平面abc，ab=bc=ca=aa1，d为ab的中点（1）求证：bc1平面dca1；（2）求二面角dca1c1的平面角的余弦值考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定专题：计算题分析：方法一（1）先做出辅助线，连接ac1与a1c交于点k，连接dk，根据要证明线与面平行，需要在面上找一条和已知直线平行的直线，找到的直线是dk（2）根据二面角dca1c1与二面角dca1a互补，做出辅助线，边做边证作ghca1，垂足为h，连接dh，则dhca1，得到dhg为二面角dca1a的平面角，解出结果方法二（1）以bc的中点o为原点建系，根据要用的点的坐标，写出对应的向量的坐标，设出一个平面的法向量，求出法向量根据法向量与已知直线的方向向量的数量积等于0，得到结论（2）以bc的中点o为原点建系，根据要用的点的坐标，写出对应的向量的坐标，设出一个平面的法向量，根据法向量与平面上的两个向量垂直且数量积等于0，得到一个法向量，另一个平面的法向量可以直接写出，根据两个平面的法向量所成的角的余弦值求出二面角的余弦值解答：（方法一）（1）证明：如图一，连接ac1与a1c交于点k，连接dk在abc1中，d、k为中点，dkbc1又dk平面dca1，bc1平面dca1，bc1平面dca1（2）解：二面角dca1c1与二面角dca1a互补如图二，作dgac，垂足为g，又平面abc平面acc1a1，dg平面acc1a1作ghca1，垂足为h，连接dh，则dhca1，dhg为二面角dca1a的平面角设ab=bc=ca=aa1=2，在等边abc中，d为中点，在正方形acc1a1中，所求二面角的余弦值为图一_图二_图三（方法二）（1）证明：如图三以bc的中点o为原点建系，设ab=bc=ca=aa1=2设是平面dca1的一个法向量，则又，令，又bc1平面dca1，bc1平面dca1（2）解：设是平面ca1c1的一个法向量，则又，令，所求二面角的余弦值为点评：本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用，本题可以利用空间向量来解题从而降低了题目的难度20已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，且过点（，）（1）求椭圆c的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为a、b，点s是椭圆上位于x轴上方的动点，直线as，bs与直线l：x=分别交于m、n两点，求线段mn长度的最小值考点：直线与圆锥曲线的综合问题专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由椭圆+=1（ab0）的离心率为，且过点（，），可得，解得a，b即可（2）设直线as的斜率为k0，利用kaskbs=，可得直线as，bs的方程分别为：y=k（x+2），y=令x=，可得m，n求出|mn|再利用基本不等式的性质即可得出解答：解：（1）椭圆+=1（ab0）的离心率为，且过点（，），解得a=2，b=1椭圆c的方程为：（2）设直线as的斜率为k0，kaskbs=，直线as，bs的方程分别为：y=k（x+2），y=令x=，则m，n|mn|=，当且仅当k=时取等号线段mn长度的最小值为点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21已知函数f（x）=xlnx+ax（ar）（i）若函数f（x）在区间a3；（）若对任意x（1，+），f（x）k（x1）+axx恒成立，即xlnx+axk（x1）+axx恒成立，也就是k（x1）xlnx+axax+x恒成立，x（1，+），x10则问题转化为k对任意x（1，+）恒成立，设函数h（x）=，则，再设m（x）=xlnx2，则x（1，+），m（x）0，则m（x）=xlnx2在（1，+）上为增函数，m（1）=1ln12=1，m（2）=2ln22=ln2，m（3）=3ln32=1ln30，m（4）=4ln42=2ln40x0（3，4），使m（x0）=x0lnx02=0当x（1，x0）时，m（x）0，h（x）0，在（1，x0）上递减，x（x0，+）时，m（x）0，h（x）0，在（x0，+）上递增，h（x）的最小值为h（x0）=m（x0）=x0lnx02=0，lnx0+1=x01，代入函数h（x）=得h（x0）=x0，x0（3，4），且kh（x）对任意x（1，+）恒成立，kh（x）min=x0，k3，k的值为1，2，3点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在最大值和最小值中的应用，考查了数学转化思想，解答此题的关键是，在求解（）时如何求解函数h（x）=的最小值，学生思考起来有一定难度此题属于难度较大的题目四.选做题【选修4-1：几何证明选讲】22已知：直线ab过圆心o，交o于a、b，直线af交o于a、f（不与b重合），直线l与o相切于c，交ab于e，且与af垂直，垂足为g，连接ac（1）求证：bac=cag；（2）求证：ac2=aeaf考点：与圆有关的比例线段专题：证明题；立体几何分析：（1）连接bc，根据ab为o的直径得到ecb与acg互余，根据弦切角得到ecb=bac，得到bac与acg互余，再根据cag与acg互余，得到bac=cag；（2）连接cf，利用弦切角结合（1）的结论，可得gcf=ecb，再用外角进行等量代换，得到afc=ace，结合fac=cae得到faccae，从而得到ac是ae、af的比例中项，从而得到ac2=aeaf解答：证明：（1）连接bc，ab为o的直径acb=90ecb+acg=90gc与o相切于c，ecb=bacbac+acg=90又agcgcag+acg=90bac=cag（2）由（1）可知eac=caf，连接cfge与o相切于c，gcf=caf=bac=ecbafc=gcf+90，ace=ecb+90afc=acefac=caefaccaeac2=aeaf点评：本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理和相似三角形的性质等知识点，属于中档题解题时要注意充分利用互余的角和弦切角进行等量代换，方可得到相似三角形【选修4-4：坐标系与参数方程】23在直角坐标系xoy中，直线c的参数方程为为参数），曲线p在以该直角坐标系的原点o的为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为24cos+3=0（1）求直线c的普通方程和曲线p的直角坐标方程；（2）设直线c和曲线p的交点为a、b，求|ab|考