高中数学 第二章 平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课件3 新人教A版必修4.ppt

2 2 3向量数乘运算及其几何意义 1 向量的数乘的定义一般地 规定实数 与向量a的积是一个 这种运算叫做向量的数乘 长度和方向有如下规定 1 a 2 当 0时 a与a方向 当 0时 a与a方向 向量 a 相同 相反 2 向量数乘的运算律设 为实数 那么 1 a 2 a 3 a b a a a a b 3 向量共线定理以及向量的线性运算 1 向量a a 0 与b共线 当且仅当有唯一一个实数 使 2 向量的加 减 数乘运算称为向量的 对于任意向量a b 以及任意实数 1 2 恒有 1a 2b b a 线性运算 1a 2b 1 判一判 正确的打 错误的打 1 实数 与向量a的积还是向量 2 实数 与向量a的和 a与差 a都是向量 3 对于非零向量a 向量 6a与向量2a方向相反 4 向量 8a的模是向量4a的模的2倍 解析 1 正确 根据向量数乘的定义可知此说法正确 2 错误 实数 与向量a可以作乘法 但不可以作加减法 即 a和 a是无意义的 3 正确 因为向量 6a与非零向量a方向相反 向量2a与非零向量a方向相同 所以向量 6a与向量2a方向相反 4 正确 因为 8a 8 a 4a 4 a 所以 8a 2 4a 答案 1 2 3 4 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 化简2 3a 4b 3 2a b 2 已知 a 3 b 6 若两向量方向同向 则向量a与向量b的关系为b a 3 设p是 abc所在平面内的一点 若则 解析 1 2 3a 4b 3 2a b 6a 8b 6a 3b 11b 答案 11b 2 由于 a 3 b 6 则 b 2 a 又两向量同向 故b 2a 答案 2 3 因为由向量加法的平行四边形法则可知 点p是ac的中点 故答案 0 要点探究 知识点1向量数乘运算以及运算律1 向量的数乘定义的关注点 1 条件 一个实数与一个向量相乘 2 结论 结果为一个向量 其模等于这个实数的绝对值与这个向量模的乘积 其方向与实数的正负有关 2 从两个角度理解向量数乘运算及其几何意义 1 代数角度 是实数 a是向量 它们的积仍是向量 另外 a 0的条件是 0或a 0 2 几何角度 对于向量的长度而言 当 1时 有 a a 这意味着表示向量a的有向线段在原方向 1 或反方向 1 上伸长到 a 的 倍 当0 1时 有 a a 这意味着表示向量a的有向线段在原方向 0 1 或反方向 1 0 上缩短到 a 的 倍 3 解读运算律 a b a b的几何意义 1 当a b中有一个等于0 或 0或1时 等式显然成立 2 当a b都不等于0且 1 0 当 0且 1时 如图 由作法知所以所以且方向也相同 故有 a b a b成立 当 0时 同理可证 综上 a b a b成立 微思考 1 实数与向量能否进行加减运算 提示 不能 实数与向量可以进行数乘运算 但不能进行加减运算 2 设x y为实数 若xa ya 0 能否得出x y 提示 不一定 因为xa ya 0 会得到 x y a 0 所以x y或a 0 即时练 1 已知 r 则下列结论正确的是 a a a b a ac a a d a 02 已知向量e的长度为2 试求向量a b的长度 并指出向量a b的线性关系 1 a 3e b 4e 2 a 2e b e 解析 1 选c 对于a 当 0时 不一定成立 对于b a 是实数 a是向量 故 a a不成立 对于d 当 0时 a 0 只有c正确 2 1 因为a 3e所以 a 3e 3 e 6 由b 4e得 b 4 e 8 因为e a 所以b 4e a 2 由a 2e得 a 2 e 4 由b e得 b e 1 因为e a 所以b e a 知识点2向量共线定理对向量共线定理的三点说明 1 定理本身包含了正反两个方面 若存在一个实数 使b a a 0 则a与b共线 反之 若a与b共线 a 0 则必存在一个实数 使b a 2 定理中 之所以限定a 0是由于若a b 0 虽然 仍然存在 可是 不唯一 定理的正反两个方面不成立 3 若a b不共线 且 a b 则必有 0 知识拓展 向量共线与线段共线的区别以及作用 1 向量共线与线段共线的区别 向量共线时 两向量所在的线段可能平行 也可能共线 而两条线段共线时 这两条线段必定在同一条直线上 2 向量共线定理的作用 向量共线定理可以证明线段平行 也可以证明三点共线 微思考 1 向量的平行与直线的平行相同吗 提示 不相同 直线的平行不包含重合的情况 2 根据共线向量定理 对于非零向量a b 如何确定实数 使得b a 提示 分两点 确定符号 a与b同向时 为正 a与b反向时 为负 确定 的绝对值 即时练 1 已知p是 abc所在平面内的一点 若其中 r 则点p一定在 a abc的内部b ac边所在直线上c ab边所在直线上d bc边所在直线上 2 已知e1 e2是不共线的向量 下列向量a b共线的有 填序号 a e1 b 2e2 a e1 3e2 b 2e1 6e2 a 3e1 e2 b 2e1 e2 a e1 e2 b e1 3e2 解析 1 选b 由得所以则为共线向量 又有一个公共点p 所以c p a三点共线 即点p在直线ac上 故选b 2 因为e1 e2是不共线的向量 所以e1 e2都不是零向量 若a与b共线 由于a e1 0 所以存在实数 使b a 即 2e2 e1 所以e2 e1 于是e1 e2共线 这与已知矛盾 所以a与b不共线 因为b 2e1 6e2 2 e1 3e2 2a 所以a与b共线 因为b 2e1 e2 3e1 e2 a 所以a与b共线 若a与b共线 则存在实数 r 使a b 即e1 e2 e1 3e2 所以 1 e1 1 3 e2 0 因为e1 e2是不共线向量 所以所以 不存在 所以a与b不共线 答案 题型示范 类型一向量的线性运算 典例1 1 2014 枣庄高一检测 化简的结果是 a 2a bb 2b ac b ad a b 2 已知 abcd中 点e是对角线ac上靠近a的一个三等分点 设 a b 则向量等于 a 2a bb a bc b 2ad b 2a 3 若2 y a c b 3y b 0 其中a c b为已知向量 则未知向量y 解题探究 1 题 1 中的化简题目一般按照怎样的顺序进行 2 题 2 中与和有怎样的关系 如何用向量a表示 3 题 3 中的已知向量有哪些 求向量y的实质是什么 探究提示 1 简单的化简问题 把握运算顺序为 运算律去括号 数乘向量 向量加减 2 根据向量的加法的三角形法则可知 3a 3 已知向量有a c b 求向量y的实质就是用已知向量a c b来表示出向量y 自主解答 1 选b 原式 a 4b 4a 2b 6b 3a 2b a 2 选d a b 3a b 2a 3 由2 y a c b 3y b 0得2y a c b y b 0 即y a c b 0 所以y a b c 答案 a b c 延伸探究 题 2 中若点e是对角线ac上靠近c的一个三等分点 其他条件不变 则向量等于 a 2a bb a bc b 2ad b 2a 解析 选b a b a a b 方法技巧 向量线性运算的基本方法 1 类比方法 向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算 例如实数运算中的去括号 移项 合并同类项 提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用 但是在这里的 同类项 公因式 指向量 实数看作是向量的系数 2 方程方法 向量也可以通过列方程来解 把所求向量当作未知数 利用代数方程的方法求解 同时在运算过程中要多注意观察 恰当运用运算律 简化运算 变式训练 2014 绍兴高一检测 在 abc中 ef bc交ac于点f 设 a b 用a b表示向量为 解题指南 由ef bc以及可得利用向量的减法可得 解析 因为ef bc且所以 b 故 b a 答案 b a 补偿训练 如图所示 d是 abc的边ab上的中点 则向量 填写正确的序号 解析 答案 类型二向量共线定理的应用 典例2 1 已知向量a b 且 a 2b 5a 6b 7a 2b 则一定共线的三点是 a b c db a b cc a b dd a c d 2 2014 无锡高一检测 已知a b p三点共线 o为直线外任意一点 若则x y 解题探究 1 题 1 中已知两向量与向量有怎样的关系 判断三点共线的关键是什么 2 题 2 中由a b p三点共线 可得到向量有怎样的关系 探究提示 1 向量只要说明有同一起点的两向量共线即可 2 因为a b p三点共线 所以向量在同一条直线上 根据共线向量定理知 存在实数 使 自主解答 1 选c 因为 2a 4b 2 所以向量共线 故a b d三点共线 2 由于a b p三点共线 所以向量在同一条线上 由共线向量定理可知 必定存在实数 使即所以故x 1 y 即x y 1 答案 1 方法技巧 向量共线定理的两个应用 1 向量共线的判定对于向量a a 0 与b 如果有一个实数 使b a 那么由向量数乘的定义知 向量a与b是共线的 2 向量共线的性质向量a a 0 与b共线 若向量b的长度是a的长度的 倍 即 b a 那么 当a与b同向时 有b a 当a与b反向时 有b a 当b 0时 则 0 总之 都可以表示成b a 其中 唯一确定 变式训练 2014 蚌埠高一检测 设a b是两个不共线向量 已知 2a mb a 3b 若a b c三点共线 求m的值 解题指南 由于a b c三点共线 则两向量共线 根据向量共线定理可得 一定存在一个实数 使得利用向量相等求m的值 解析 因为a b c三点共线 所以共线 即 所以2a mb a 3b 故 2 m 3 解得m 6 补偿训练 2013 唐山高一检测 对于 abc内部的一点o 存在实数 使得成立 则 obc与 abc的面积比是 a 1 2b 1 3c 2 3d 与 有关 解析 选a 如图所示 设d e分别是ab ac的中点 以oa ob为邻边作 oagb 以oa oc为邻边作 oafc 则因为所以所以点d o e三点共线 所以点o在直线de上 又因为d e分别是ab ac的中点 所以 obc与 abc的面积比是1 2 类型三用已知向量表示其他向量 典例3 1 如图 abcd是一个梯形 m n分别是dc ab的中点 已知 e1 e2 试用e1 e2表示下列向量 2 如图所示 已知 abcd的边bc cd的中点分别为k l 且 e1 e2 试用e1 e2表示 解题探究 1 题 1 中向量与有什么关系 表示时可以用向量加法的哪种运算法则 2 题 2 中利用已知条件可以找到哪些关于所求向量和已知向量的等量关系 探究提示 1 表示时可以用向量加法的 多边形法则 即2 解析 1 因为所以所以 e2 e1 e1 e2 e1 e1 e2答案 e2 e1 e1 e2 2 方法一 设由解方程得x e2 e1 即 e2 e1 由 e1 x 得 e1 e2 方法二 设则由得 用 2乘以 2 与 1 相加 得x 2x e1 2e2 解方程得x e2 e1 即 e2 e1 解得y 2e1 e2 即 e1 e2 延伸探究 题 1 中 若 e1 e2 试用e1 e2表示向量 解析 因为所以又因为m n分别是dc ab的中点 所以所以所以 e2 e1 方法技巧 用已知向量表示其他向量的两种方法 1 直接法 2 方程法当直接表示比较困难时 可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系 然后解关于所求向量的方程 变式训练 如图 已知 a b 对任意点m m点关于a点的对称点为s s点关于b点的对称点为n 用a b表示向量 解题指南 根据m点关于a点的对称点为s s点关于b点的对称点为n 易得a b 两式相减后 易得向量与向量a b的关系 解析 因为m点关于a点的对称点为s 所以a为ms的中点 又因为s点关于b点的对称点为n 所以b为sn的中点 所以a b 两式相减得a b 所以 2 b a 补偿训练 如图 正方形中 点e是dc的中点 点f是bc的一个三等分点 且用 解析 因为所以答案 规范解答 利用向量共线定理解决与共线相关的问题 典例 12分 2014 淮安高一检测 如图所示 在 abc中 d f分别是bc ac的中点 1 用a b表示向量 2 证明 b e f三点共线 审题 抓信息 找思路 解题 明步骤 得高分 点题 警误区 促提升失分点1 若未能推出 处的结论 则导致推导过程比较烦琐 向量的系数容易计算错误 则本例最多得2分 失分点2 若在 处不能正确地利用向量的加减法以及已表示出的向量则会加大运算量 易出现运算错误 失分点3 若未能正确地表示出 处的结论 则无法利用向量共线定理证明三点共线 此时最多得9分 悟题 提措施 导方向1 注重辅助线的应用在向量的加减运算中 需遵循平行四边形法则和三角形法则 在给出的图形