【三维设计】高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）第三章 任意角和弧度制及任意角的三角函数教学案（含解析）新人教A版.doc

第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数知识能否忆起1任意角(1)角的分类：按旋转方向不同分为正角、负角、零角按终边位置不同分为象限角和轴线角(2)终边相同的角：终边与角相同的角可写成k360(kz)(3)弧度制：1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|，l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关弧度与角度的换算：3602弧度；180弧度弧长公式：l|r，扇形面积公式：s扇形lr|r2.2任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义：设是一个任意角，角的终边与单位圆交于点p(x，y)，那么角的正弦、余弦、正切分别是：sin y，cos x，tan ，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦3三角函数线设角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点p，过p作pm垂直于x轴于m.由三角函数的定义知，点p的坐标为(cos_，sin_)，即p(cos_，sin_)，其中cos om，sin mp，单位圆与x轴的正半轴交于点a，单位圆在a点的切线与的终边或其反向延长线相交于点t，则tan at.我们把有向线段om、mp、at叫做的余弦线、正弦线、正切线.三角函数线有向线段mp为正弦线有向线段om为余弦线有向线段at为正切线小题能否全取1870的终边在第几象限()a一b二c三 d四解析：选c因8702360150.150是第三象限角2已知角的终边经过点(，1)，则角的最小正值是()a. b.c. d.解析：选bsin ，且的终边在第四象限，.3(教材习题改编)若sin 0，则是()a第一象限角 b第二象限角c第三象限角 d第四象限角解析：选c由sin 0，知在第一或第三象限，因此在第三象限4若点p在角的终边上，且p的坐标为(1，y)，则y等于_解析：因tany，y.答案：5弧长为3，圆心角为135的扇形半径为_，面积为_解析：弧长l3，圆心角，由弧长公式lr得r4，面积slr6.答案：461.对任意角的理解 (1)“小于90的角”不等同于“锐角”“090的角”不等同于“第一象限的角”其实锐角的集合是|090，第一象限角的集合为|k360k36090，kz (2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等 2三角函数定义的理解 三角函数的定义中，当p(x，y)是单位圆上的点时有sin y，cos x，tan ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin ，cos ，tan .角的集合表示及象限角的判定典题导入例1已知角45，(1)在7200范围内找出所有与角终边相同的角；(2)设集合m，n，判断两集合的关系自主解答(1)所有与角有相同终边的角可表示为：45k360(kz)，则令72045k3600，得765k36045，解得k，从而k2或k1，代入得675或315.(2)因为mx|x(2k1)45，kz表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合nx|x(k1)45，kz表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：mn.由题悟法1利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角2已知角的终边位置，确定形如k，等形式的角终边的方法：先表示角的范围，再写出k、等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置以题试法1(1)给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400是第四角限角；315是第一象限角其中正确的命题有()a1个b2个c3个 d4个(2)如果角是第二象限角，则角的终边在第_象限解析：(1)是第三象限角，故错误.，从而是第三象限角正确40036040，从而正确31536045，从而正确(2)由已知2k2k(kz)，则2k2k(kz)，即2k2k(kz)，故2k0)，则tan 的最小值为()a1b2c. d.(2)(2012大庆模拟)已知角的终边上一点p的坐标为，则角的最小正值为()a. b.c. d.自主解答(1)根据已知条件得tan t2，当且仅当t1时，tan 取得最小值2.(2)由题意知点p在第四象限，根据三角函数的定义得cos sin ，故2k(kz)，所以的最小正值为.答案(1)b(2)d由题悟法定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角终边上一点p的坐标，则可先求出点p到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解(2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值以题试法2(1)(2012东莞调研)已知角的终边与单位圆的交点p，则tan ()a. bc. d(2)(2012潍坊质检)已知角的终边经过点p(m，3)，且cos ，则m等于()a b.c4 d4解析：(1)选b由|op|2x21，得x，tan .(2)选c由题意可知，cos ，又m0，解得m4.扇形的弧长及面积公式典题导入例3(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？自主解答(1)设圆心角是，半径是r，则(舍)，故扇形圆心角为.(2)设圆心角是，半径是r，则2rr40.sr2r(402r)r(20r)(r10)2100100，当且仅当r10时，smax100.所以当r10，2时，扇形面积最大若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是_解析：设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，正方形边长为r，圆心角的弧度数是.答案：由题悟法1在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷2记住下列公式：lr；slr；sr2.其中r是扇形的半径，l是弧长，(00；cos(2 200)cos(40)cos 400；tan(10)tan(310)0，tan0.6已知sin cos 1，则角的终边在()a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限解析：选b由已知得(sin cos )21,12sin cos 1，sin cos cos ，因此sin 0cos ，所以角的终边在第二象限7在直角坐标系中，o是原点，a(，1)，将点a绕o逆时针旋转90到b点，则b点坐标为_解析：依题意知oaob2，aox30，box120，设点b坐标为(x，y)，所以x2cos 1201，y2sin 120，即b(1，)答案：(1，)8若的终边所在直线经过点p，则sin _，tan _.解析：因为的终边所在直线经过点p，所以的终边所在直线为yx，则在第二或第四象限所以sin 或，tan 1.答案：或19.如图，角的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1)交于第二象限的点a，则cos sin _.解析：由题图知sin ，又点a在第二象限，故cos .cos sin .答案：10一个扇形oab的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长ab.解：设圆的半径为r cm，弧长为l cm，则解得圆心角2.如图，过o作ohab于h.则aoh1弧度ah1sin 1sin 1(cm)，ab2sin 1(cm)11.如图所示，a，b是单位圆o上的点，且b在第二象限，c是圆与x轴正半轴的交点，a点的坐标为，aob为正三角形(1)求sincoa；(2)求coscob.解：(1)根据三角函数定义可知sincoa.(2)aob为正三角形，aob60，又sincoa，coscoa，coscobcos(coa60)coscoacos 60sincoasin 60.12(1)设90180，角的终边上一点为p(x，)，且cos x，求sin 与tan 的值；(2)已知角的终边上有一点p(x，1)(x0)，且tan x，求sin ，cos .解：(1)r，cos ，从而x，解得x0或x.90180，x90，即a90b，则sin asin (90b)cos b，sin acos b0，同理cos asin c0，所以点p在第四象限，1111.2(2012山东高考)如图，在平面直角坐标系xoy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点p的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为_解析：设a(2,0)，b(2,1)，由题意知劣弧p长为2，abp2.设p(x，y)，则x21cos2sin 2，y11sin1cos 2，的坐标为(2sin 2,1cos 2)答案：(2sin 2,1cos 2)3(1)确定的符号；(2)已知(0，)，且sin cos m(0m0，tan 50，cos 80，原式大于0.(2)若0op1.若，则sin cos 1.由已知0m0.1已知点p(sin cos ，tan )在第一象限，则在0,2内，的取值范围是()a.b.c. d.解析：选b由已知sin cos 0，tan 0故.2已知角的终边在直线3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值解：角的终边在直线