高中数学（教案+课内预习学案+课内探究学案+课后练习与提高）3.3.2两点间的距离 新人教A版必修2.doc

3.3.2两点间的距离【教学目标】1掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.2通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性. 3体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题.【重点难点】教学重点：平面内两点间的距离公式. 如何建立适当的直角坐标系.教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.【教学过程】一、导入新课、展示目标问题 已知平面上的两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)，如何求p1(x1,y1),p2(x2,y2)的距离|p1p2|?二、检查预习、交流展示 核对课前预习中的答案。1、（1，0）；2、1并说出自己的疑惑处。三、合作探究、精讲精练探究一 平面内两点间的距离公式问题 (1)如果a、b是x轴上两点，c、d是y轴上两点，它们的坐标分别是xa、xb、yc、yd，那么|ab|、|cd|怎样求?(2)求b(3，4)到原点的距离.(3)设a(x1,y1)，b(x2,y2)，求|ab|.教师 如果a、b是x轴上两点，c、d是y轴上两点，它们坐标分别是xa、xb、yc、yd，那么|ab|、|cd|怎样求?求点b(3，4)到原点的距离.已知平面上的两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)，如何求p1(x1,y1),p2(x2,y2)的距离|p1p2|.同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).学生 回答 |ab|=|xb-xa|,|cd|=|yc-yd|.通过画简图，发现一个rtbmo，应用勾股定理得到点b到原点的距离是5.图1 在直角坐标系中，已知两点p1(x1,y1)、p2(x2,y2)，如图1,从p1、p2分别向x轴和y轴作垂线p1m1、p1n1和p2m2、p2n2，垂足分别为m1(x1，0)、n1(0，y1)、m2(x2，0)、n2(0，y2)，其中直线p1n1和p2m2相交于点q. 在rtp1qp2中，|p1p2|2=|p1q|2+|qp2|2. 因为|p1q|=|m1m2|=|x2-x1|,|qp2|=|n1n2|=|y2-y1|， 所以|p1p2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2. 由此得到两点p1(x1,y1)、p2(x2,y2)的距离公式：|p1p2|= 教师 (a)我们先计算在x轴和y轴两点间的距离.(b)又问了b(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形.(c)猜想了任意两点间距离公式.(d)最后求平面上任意两点间的距离公式. 这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!应用示例例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是a(-4，8)，另一个端点b的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.图2解:设b(x，3)，根据|ab|=13，即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16.点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到a(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以a点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.变式训练1 课本106页练习第一题例2 已知点a(-1，2)，b(2，)，在x轴上求一点，使|pa|=|pb|,并求|pa|的值.解:设所求点p(x，0)，于是有.由|pa|=|pb|,得x2+2x+5=x2-4x+11,解得x=1.即所求点为p(1，0),且|pa|=2.点评：引导学生熟练设点及应用距离公式。变式训练2课本106页练习第二题.探究二 建立适当的坐标系应用代数问题解决几何问题例3证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.解析：首先要建立适当的坐标系，用坐标表示有关量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系。这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。 证明：如图所示，以顶点为坐标原点，边所在的直线为轴，建立直角坐标系，有（，）。设（，），（，），由平行四边形的性质的点的坐标为（，），因为所以，,所以， 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。点评 上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。第二步：进行有关代数运算。第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。思考：同学们是否还有其它的解决办法？还可用综合几何的方法证明这道题。变式训练：已知0x1,0y1,求使不等式2中的等号成立的条件.解析：此题需要学生将不等式转化为平面内两点间的距离问题来研究。数形结合。答案：x=y=点评：强调数形结合，转化划归来解决问题。建立适当的直角坐标系，来解决问题很有必要。当堂检测 导学案当堂检测课堂小结 通过本节学习，要求大家:掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；能灵活运用此公式解决一些简单问题；掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题.【板书设计】一、两点间距离公式二、例题例1变式1例2 变式2例3变式3 【作业布置】课本习题3.3 必做题 a组6、7、8；选做题b组6. 及导学案课后练习与提高 3.3.2两点间的距离课前预习学案一、预习目标 1掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.2通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性. 3体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题.二、预习内容 （一）巩固所学 1直线，无论取任意实数，它都过点 .2若直线与直线的交点为，则 .（二）探索新知，提出疑惑预习教材p104 p106，找出疑惑之处3 提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中疑惑点疑惑内容 并回答下列问题： 1.已知平面上两点，则p1p2 = （ ）.特殊地：与原点的距离为 p1p2= （ ）. 2.特别地，当p1p2平行于x轴时，p1p2= （ ）； 当p1p2平行于y轴时，p1p2=（ ）课内探究学案一、学习目标 1掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.2通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性. 3体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题.学习重点：平面内两点间的距离公式. 如何建立适当的直角坐标系.学习难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题二、学习过程问题 已知平面上的两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)，如何求p1(x1,y1),p2(x2,y2)的距离|p1p2|?探究一 平面内两点间的距离公式问题 (1)如果a、b是x轴上两点，c、d是y轴上两点，它们的坐标分别是xa、xb、yc、yd，那么|ab|、|cd|怎样求?(2)求b(3，4)到原点的距离.(3)设a(x1,y1)，b(x2,y2)，求|ab|.（4）同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程)得到两点p1(x1,y1)、p2(x2,y2)的距离公式：|p1p2|=例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是a(-4，8)，另一个端点b的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.图2变式训练1 课本106页练习第一题例2 已知点a(-1，2)，b(2，)，在x轴上求一点，使|pa|=|pb|,并求|pa|的值.变式训练2课本106页练习第二题.探究二 建立适当的坐标系应用代数问题解决几何问题例3证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.上述解决问题的基本步骤学生归纳如下：思考：同学们是否还有其它的解决办法？还可用综合几何的方法证明这道题。变式训练：已知0x1,0y1,求使不等式2中的等号成立的条件.学习小结1.坐标法的步骤：建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；进行有关的代数运算；把代数运算结果“翻译”成几何关系.当堂检测 1.在x轴上求一点p，使p点到a(-4，3)和b(2，6)两点的距离相等.2.求在数轴上，与两点a(-1,3),b(2,4)等距离的点的坐标.3.已知三点a(3，2)、b(0，5)、c(4，6)，则abc的形状是( )a.直角三角形 b.等边三角形c.等腰三角形 d.等腰直角三角形4.以a(5,5)、b(1,4)、c(4,1)为顶点的abc的形状是( )a.直角三角形 b.等边三角形c.等腰三角形 d.等腰直角三角形参考答案1. 解:设点p坐标为(x,0)，由p点到a(-4，3)和b(2，6)两点的距离相等及两点间的距离公式，可得x=，即点p坐标为(,0).2.答案：(,0)或(0,5).3.解:由两点间的距离公式，可得|ab|=|bc|=|ca|=，故选c.答案：c4.答案：c 课后巩固练习与提高1.点m(x,)、n(y,)之间的距离为( )a.|x+y| b.x+y c.|x-y| d.x-y 2.光线从点a(-3，5)射到x轴上，经反射以后经过点b(2，10)，则光线从a到b的距离为( )a. b. c. d.3.已知a(3，-1)、b(5，-2)，点p在直线x+y=0上，若使pa+pb取最小值，则p点坐标是( )a.(1，-1) b.(-1，1) c.() d.(-2，2)4.已知a(1，3)、b(5，-2)，点p在x轴上，则使ap-bp取最大值的点p的坐标是( )a.(4，0) b.(13，0) c.(5，0) d.(1，0)5.已知a(a，3)、b(3，3a+3)两点间的距离是5，则a的值为_.6.以a(-1，1)、b(2，-1)、c(1，4)为顶点的三角形是_三角形.7.已知abc的顶点坐标为a(3，2)，b(1，0)，c(，)，则ab边上的中线cm的长为_.8.若2a-b=3，求证：三点a(-2，3)、b(3，a)、c(8,b)在一条直线上.9.如图3-3-3，abd和bce是在直线ac同侧的两个等边三角形，试证明ae=cd.图3-3-310.用坐标法证明等腰梯形的两条对角线长相等.参考答案1思路解析: 思路解析:考查平面上两点间距离公式.mn=|x+y|.故选a.2. 思路解析:直接求本题较为麻烦，可以通过对称问题求解.a(-3,5)关于x轴的对称点a(-3，-5)，则ab即为所求，由两点间距离易求得ab=.答案:c3. 思路解析:点a(3，-1)关于直线x+y=0的对称点为a(1，-3)，连结ab与直线x+y=0的交点即为所求的点，直线ab的方程为y+3=(x-1)，即y=，与x+y=0联立,解得x=，y=.答案:c4. 思路解析:点a(1，3)关于x轴的对称点为a(1，-3)，连结ab交x轴于点p，即为所求.直线ab的方程是y+3=(x-1)，即y=.令y=0，得x=13.答案:b5. 思路解析:由两点间距离公式得ab=，解之,可得a=-1或.答案:-1或 6. 思路解析:本题主要是考查平面上两点间距离公式和三角形形状的判断.目前，判断三角形的形状主要是利用三角形的三边关系.而知道三角形的三个顶点求三角形的三边，主要是利用平面上两点间的距离公式.由两点间的距离公式可得|ab|=.同理可得|ac|=，|bc|=.所以|ab|=|ac|.又ab2+ac2=bc2=26，所以abc为等腰直角三角形.答案:等腰直角 7.答案: 思路解析:由中点公式得ab的中点的坐标为m(2，1).由两点间的距离公式，有|cm|=.ab边上的中线cm的长为.答案:9.思路解析:本题是证明两线段的相等问题，可以通过坐标法来证，这就需要根据图形的特征建立直角坐标系，得出相关点的坐标，通过两点间距离公式证明相等.解:以b为原点，ac所在直线为x轴建立直角坐标系，设等边abd和bce的边长分别为2a和2b，于是可得相关各点坐标：b(0，0)，a(-2a,0)，c(2b,0)，d(-a,)，e(b,),由两点间的距离公式，则|ae|=，|cd|=，所以|ae|=|cd|10.用坐标法证明等腰梯形的两条对角线长相等.思路解析: