高中数学 第二章 函数 2.1.1 第1课时 变量与函数的概念课件 新人教B版必修1.ppt

第1课时变量与函数的概念 第二章2 1 1函数 学习目标1 理解函数的概念 2 了解构成函数的三要素 3 能正确使用函数 区间符号 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一函数的概念 在一个变化过程中 有两个变量x和y 如果给定一个x值 相应地就确定唯一的一个y值 那么变量x y分别称为什么量 答案 答案x是自变量 y是因变量 思考2 初中时用运动变化的观点定义函数 用这种观点能否判断只有一个点 0 1 算不算是函数图象 答案 答案因为只有一个点 用运动变化的观点判断就显得牵强 因此有必要引入用集合和对应来定义的函数概念 函数的概念 1 函数的定义设集合a是一个的数集 对a中的 按照确定的法则f 都有的数y与它对应 则这种对应关系叫做集合a上的一个函数 记作 2 函数的定义域与值域在函数y f x x a中 叫做自变量 自变量取值的范围 数集a 叫做这个函数的定义域 如果自变量取值a 则由法则f确定的值y称为函数在a处的 记作 所有函数值构成的集合 叫做这个函数的值域 梳理 任意数x 非空 唯一确定 y f x x a 函数值 y f a 或y x a y y f x x a x 思考 知识点二函数相等 函数f x x2 x r与g t t2 t r是不是同一个函数 答案 答案两个函数都是描述的同一集合r中任一元素 按同一对应关系 平方 对应b中唯一确定的元素 故是同一个函数 梳理 一般地 函数有三个要素 定义域 对应法则与值域 如果两个函数的相同 并且完全一致 我们就称这两个函数相等 特别提醒 两个函数的定义域和对应法则相同就决定了这两个函数的值域也相同 定义域 对应法则 知识点三区间 1 区间的定义 名称 符号及数轴表示如下表 2 无穷大区间的表示 3 注意 读作无穷大 是一个符号 不是数 以 或 作为区间一端时 这一端必须是小括号 区间是数集的另一种表示方法 区间的两个端点必须保证左小 右大 题型探究 例1 1 给出下列四个图形 类型一函数关系的判断 其中 能表示函数关系的个数是a 0b 1c 2d 3 解析 能表示函数关系 不能表示函数关系 因为当x 1时 有两个y值与之对应 答案 解析 解 是实数集r上的一个函数 因为给定一个x值都有唯一确定的值与之对应 不是 对于 当x 0时 没有值与之对应 对于 当x 0时 没有值与之对应 2 下列各题的对应关系是否给出了实数集r上的一个函数 为什么 f 把x对应到3x 1 g 把x对应到 x 1 h 把x对应到 r 把x对应到 解答 检验给定两个变量之间是否具有函数关系的方法 1 定义域和对应法则是否给出 2 根据给出的对应法则 自变量x在其定义域中的每一个值 是否都能确定唯一的函数值y 反思与感悟 解析 表示函数的图象 跟踪训练1 1 下列四个图象中 表示函数图象的序号是 答案 解析 解 是函数关系 定义域为 x x 1 是函数关系 定义域为r 是函数关系 定义域为r 2 下列给出的对应关系是不是函数关系 若是函数关系 其定义域是什么 f 把x对应到 g 把x对应到 h 把x对应到常数1 解答 例2求下列函数的定义域 类型二已知函数的解析式 求其定义域 解答 解答 解由于00无意义 故x 1 0 即x 1 又x 2 0 即x 2 所以x 2且x 1 解答 求函数定义域的常用依据 1 若f x 是分式 则应考虑使分母不为零 2 若f x 是偶次根式 则被开方数大于或等于零 3 若f x 是指数幂 则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合 4 若f x 是由几个式子构成的 则函数的定义域要使各个式子都有意义 5 若f x 是实际问题的解析式 则应符合实际问题 使实际问题有意义 反思与感悟 跟踪训练2函数f x 的定义域为 x x 0且x 1 答案 解析 故函数f x 的定义域为 x x 0且x 1 例3求下列函数的值域 1 y x 1 类型三求函数的值域 解答 解 y x 1的定义域为r y x 1的值域为r 2 y x2 2x 3 x 0 3 解答 解 y x2 2x 3 x 1 2 2 又x 0 3 2 y 6 y x2 2x 3的值域为 2 6 解答 y 3 解答 求函数值域的常用方法 1 观察法 对于一些比较简单的函数 其值域可通过观察得到 2 配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时 可利用配方法求其值域 3 分离常数法 此方法主要是针对有理分式 即将有理分式转化为 反比例函数类 的形式 便于求值域 4 换元法 即运用新元代换 将所给函数化成值域易确定的函数 从而求得原函数的值域 对于f x ax b 其中a b c d为常数 且a 0 型的函数常用换元法 反思与感悟 跟踪训练3求下列函数的值域 解答 即所求函数的值域为 1 解答 又函数的定义域为r 所以x2 1 1 所以所求函数的值域为 1 1 例4 1 已知函数f x 若f a 4 则实数a 类型四对于f x f a 的理解 答案 14 a 2 16 a 14 解析 2 已知f x x r且x 1 g x x2 2 x r 求f 2 g 2 的值 解答 又因为g x x2 2 所以g 2 22 2 6 求f g 2 的值 解答 求f a 1 g a 1 g a 1 a 1 2 2 a2 2a 3 f x 中的x可以是一个具体的数 也可以是一个字母或者是一个表达式 不管是什么 只需把相应的x都换成对应的数或式子即可 反思与感悟 跟踪训练4已知f x x 1 1 求f 0 及f f 的值 解答 解答 2 求f 1 x 及f f x 当堂训练 1 对于函数y f x 以下说法正确的有 y是x的函数 对于不同的x y的值也不同 f a 表示当x a时函数f x 的值 是一个常量 f x 一定可以用一个具体的式子表示出来 a 1个b 2个c 3个d 4个 答案 2 3 4 5 1 2 区间 0 1 等于a 0 1 b 0 1 c x 0 x 1 d x 0 x 1 答案 2 3 4 5 1 3 函数y 的定义域是a 1 b 1 0 c 1 d 1 0 答案 2 3 4 5 1 解析 x 1 0 x 1 解析 答案 2 3 4 5 1 解析 5 下列各组函数是同一函数的是 答案 解析 2 3 4 5 1 a b c d 2 3 4 5 1 f x x2 2x 1与g t t2 2t 1 对应法则和定义域均相同 故是同一函数 规律与方法 1 函数的本质 两个非空数集间的一种确定的对应法则 由于函数的定义域和对应法则一旦确定 值域随之确定 所以判断两个函数是否相等只需两个函数的定义域和对应法则分别相同即可 2 定义域是一个集合 所以需要写成集合的形式 在已知函数解析式又对x没有其他限制时 定义域就是使函数式有意义的x的集合 3 在y f x 中 x是自变量 f代表对应法则 不要因为函数的定义而认为自变量只能用x表示 其实用什么字母表示自变量都可以 关键是符合定义 x只是一个较为常用的习惯性符号 也可以用t等表示自变量 关于对应法则f 它是函数的本质特