高考数学一轮必备 7.4《基本不等式》考情分析学案(1).doc

7.4基本不等式考情分析 基本不等式的应用是高考考查的重点，包括利用基本不等式解决函数的最大（小）值问题和简单的证明问题，基本不等式在高考中，还会与几何、函数、数列、倒数、三角等知识相结合。其作用在于求最值，往往在解答题中体现的较多。基础知识1.重要不等式：如果a、br，那么a 2b 2 2ab（当且仅当ab时取“”号）2.定理：如果a，b是正数，那么 （当且仅当ab时取“”号）3、常用不等关系：ab， 注意事项1.运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是ab；(a，b0)逆用就是ab2(a，b0)等还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等2.(1)2ab(a，br，当且仅当ab时取等号)；(2) (a0，b0，当且仅当ab时取等号)这两个不等式链用处很大，注意掌握它们3(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中 “正”“定”“等”的条件(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致 题型一利用基本不等式求最值【例1】若向量a(x1,2)，b(4，y)相互垂直，则9x3y的最小值为()a. 12b. 2c. 3d. 6答案：d解析：依题意得4(x1)2y0，即2xy2,9x3y32x3y2226，当且仅当2xy1时取等号，因此9x3y的最小值是6，选d.【变式1】 (1)已知x1，则f(x)x的最小值为_(2)已知0x，则y2x5x2的最大值为_(3)若x，y(0，)且2x8yxy0，则xy的最小值为_解析(1)x1，f(x)(x1)1213当且仅当x2时取等号(2)y2x5x2x(25x)5x(25x)，0x，5x2,25x0，5x(25x)21，y，当且仅当5x25x，即x时，ymax.(3)由2x8yxy0，得2x8yxy，1，xy(xy)101021022 18，当且仅当，即x2y时取等号，又2x8yxy0，x12，y6，当x12，y6时，xy取最小值18.答案(1)3(2)(3)18题型二利用基本不等式证明不等式【例2】已知a0，b0，ab1，求证：(1)8；(2)(1)(1)9.证明：(1)2()，ab1，a0，b0，2224，8(当且仅当ab时等号成立)(2)方法一a0，b0，ab1，112，同理，12，(1)(1)(2)(2)52()549.(1)(1)9(当且仅当ab时等号成立)方法二(1)(1)1.由(1)知，8，故(1)(1)19.【变式2】 已知a0，b0，c0，且abc1.求证：9.证明a0，b0，c0，且abc1，3332229，当且仅当abc时，取等号题型三利用基本不等式解决恒成立问题【例3】若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是_解析若对任意x0，a恒成立，只需求得y的最大值即可，因为x0，所以y，当且仅当x1时取等号，所以a的取值范围是答案【变式3】已知x0，y0，xyx2y，若xym2恒成立，则实数m的最大值是_解析由x0，y0，xyx2y2 ，得xy8，于是由m2xy恒成立，得m28，m10，故m的最大值为10.答案10题型四利用基本不等式解实际问题【例4】某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形abcd和efgh构成的面积为200 m2的十字型区域现计划在正方形mnpq上建一花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.(1)设总造价为s元，ad的长为x m，试建立s关于x的函数关系式；(2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区解：(1)设dqy，则x24xy200，y.s4200x22104xy804y2380004000x2(0x2)， n()x22(xnb. m2，x0，m(a2)2224，n22x2n，故选a.2.若0x1，则当f(x)x(43x)取得最大值时，x的值为()a. b. c. d. 答案：d解析：0x1)的图象最低点的坐标为() a. (1,2)b. (1，2)c. (1,1)d. (0,2)答案：d解析：yx12，当x1，即x0时，y最小值为2，故选d项4. 已知f(x)x2(x0)，则f(x)有()a. 最大值为0b. 最小值为0c. 最大值为4d. 最小值为4答案：c解析：x0，x2(x)2224，当且仅当x，即x1时，等号成立5. 已知a，b为正实数且ab1，若不等式(xy)()m对任意正实数x，y恒成立