高中数学 §3.2立体几何中的向量方法(一)平行与垂直关系的向量证法学案 新人教A版选修21.doc

3.2立体几何中的向量方法 (一)平行与垂直关系的向量证法知识点一求平面的法向量已知平面经过三点a(1,2,3)，b(2,0，1)，c(3，2，0)，试求平面的一个法向量解a(1,2,3)，b(2,0，1)，c(3，2,0)，(1，2，4)，(1，2，4)，设平面的法向量为n(x，y，z)依题意，应有n= 0， n = 0.即，解得.令y1，则x2.平面的一个法向量为n(2,1,0)【反思感悟】用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量)即可在正方体abcd-a1b1c1d1中，e，f分别是bb1，dc的中点，求证：是平面a1d1f的法向量.证明 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则是平面a1d1f的法向量证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(1,0,0)，e，. .d1(0,0,1)，f，a1(1,0,1)，(1,0,0)0，0，.又a1d1d1fd1，ae平面a1d1f， 是平面a1d1f的法向量知识点二利用向量方法证平行关系在正方体abcda1b1c1d1中，o是b1d1的中点，求证：b1c平面odc1.证明 方法一 =， b b1ca1d，又a1d面odc1，b1c面odc1.方法二 = += + + + = +.，共面.又b1c 面odc1，b1c面odc1.方法三建系如图，设正方体的棱长为1，则可得b1(1,1,1)，c(0,1,0)，o，c1(0,1,1)，(1,0，1)，.设平面odc1的法向量为n(x0，y0，z0)，则得令x01，得y01，z01，n(1,1，1)又 n1101(1)(1)0，n，b1c平面odc1.【反思感悟】证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面odc1内找一向量与共线；二是说明能利用平面odc1内的两不共线向量线性表示，三是证明与平面的法向量垂直如图所示，矩形abcd和梯形befc所在平面互相垂直，becf，bcfcef90，ad，ef2.求证：ae平面dcf.证明如图所示，以点c为坐标原点，以cb、cf和cd所在直线分别作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系cxyz.设aba，beb，cfc，则c(0,0,0)，a(，0，a)，b(，0,0)，e(，b,0)，f(0，c,0)(0，b，a)， (，0,0)，(0，b,0)，所以 = 0， = 0，从而cbae，cbbe.所以cb平面abe.因为cb平面dcf，所以平面abe平面dcf.故ae平面dcf.知识点三利用向量方法证明垂直关系在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是棱ab，bc的中点，试在棱bb1上找一点m，使得d1m平面efb1.解建立空间直角坐标系dxyz，设正方体的棱长为2，则e(2,1,0)，f(1,2,0)，d1(0,0,2)，b1(2,2,2)设m（2，2，m），则 =（1，1，0），=（0， 1， 2）， =（2，2，m2）. 平面efb1， ef，b1e， = 0且 = 0，于是m1，故取b1b的中点为m就能满足d1m平面efb1.【反思感悟】证明直线与平面垂直有两种方法：(1)用直线与平面垂直的判定定理；(2)证明该直线所在向量与平面的法向量平行在正三棱柱abca1b1c1中，b1ca1b.求证：ac1a1b.证明建立空间直角坐标系c1xyz，设aba，cc1b.则a1，b(0，a，b)，b1(0，a,0)，c(0,0，b)，a，c1(0,0,0)于是 = =（0， a，b），.b1ca1b， b20,而a2a2b2b20 即ac1a1b.课堂小结：1用待定系数法求平面法向量的步骤：(1)建立适当的坐标系(2)设平面的法向量为n(x，y，z)(3)求出平面内两个不共线向量的坐标a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)(4)根据法向量定义建立方程组.(5)解方程组，取其中一解，即得平面的法向量. 2平行关系的常用证法.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外，证面面平行可转化证两面的法向量平行3垂直关系的常用证法要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直一、选择题1. 已知a（3，5，2），b（-1，2，1），把按向量a(2,1,1)平移后所得的向量是()a(4，3,0) b(4，3，1)c(2，1,0) d(2，2,0)答案b(4，3，1)平移后向量的模和方向是不改变的 2平面的一个法向量为(1,2,0)，平面的一个法向量为(2，1,0)，则平面与平面的位置关系是()a平行 b相交但不垂直c垂直 d不能确定答案c解析(1,2,0)(2，1,0)0，两法向量垂直，从而两平面也垂直3从点a(2，1,7)沿向量a(8,9，12)的方向取线段长ab34，则b点的坐标为()a(9，7,7) b(18,17，17)c(9,7，7) d(14，19,31)答案b解析 ，设b（x，y，z），=（x2，y+1，z7）=（8，9， 12），0.故x2=8,y+1=9,z7=12，又（x22+（y+12+（z72 = 342，得（17）2 = 342，0,=2.x = 18,y = 17,z =17,即b（18，17， 17）.4已知a(2,4,5)，b(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1l2，则()ax6，y15 bx3，ycx3，y15 dx6，y答案d解析l1l2，ab，则有，解方程得x6，y.5若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为u(2,0，4)，则()al blcl dl与斜交答案b解析u2a，au，l.二、填空题6已知a(1,1，1)，b(2,3,1)，则直线ab的模为1的方向向量是_答案或解析， =（1，2，2），| | = 3 .模为1的方向向量是,7已知平面经过点o(0,0,0)，且e(1,1,1)是的法向量，m(x，y，z)是平面内任意一点，则x，y，z满足的关系式是_答案xyz0解析 e=（x，y，z）（1，1，1）= x+y+z = 0.8若直线a和b是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1)和(2，3，2)，则直线a和b的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线)的一个方向向量是_答案(1,4，5)(答案不唯一)解析设直线a和b的公垂线的一个方向向量为n(x，y，z)，a与b的方向向量分别为n1，n2，由题意得即：解之得：y4x，z5x，令x1，则有n(1,4，5)三、解答题9已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，e、f分别是bb1、dd1的中点，求证：(1)fc1平面ade；(2)平面ade平面b1c1f.证明如图所示建立空间直角坐标系dxyz，则有d(0,0,0)、a(2,0,0)，c(0,2,0)，c1(0,2,2)，e(2,2,1)，f(0,0,1)，b1(2,2,2)，所以 =（0，2，1）， =（2，0，0）， =（0，2，1）.（1）设n1=（x1 , y1 , z1）是平面ade的法向量,则n1 ， n1，即 得令z12，则y11，所以n1(0，1,2)因为 n1220，所以n1.又因为fc1平