【备战】高考数学专题讲座 第15讲 高频考点分析之最值探讨.doc

【备战2013高考数学专题讲座】第15讲：高频考点分析之最值探讨12讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，38讲，对数学思想方法进行了探讨，912讲对数学解题方法进行了探讨，从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。最值问题是中学数学的重要内容，它分布在中学数学的各个部分和知识水平层面。以最值为载体，可以考查中学数学的许多知识点，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。纵观近年高考，从题型分布来看，大多数一道填空题或选择题，一道解答题；从分值来看，约占总分的10%左右，它在高考中占有比较重要的地位。分析考题的类型，高考中最值问题的呈现方式一般有以下几种：1函数（含三角函数）的最值；2学科内的其它最值，如几何中的最值问题、数列的最大项等等；3字母（函数）的取值范围；4不等式恒成立问题、存在性问题，常常转化为求函数的最值，例如： 对恒成立的最小值0成立，对恒成立的最大值0成立，等等；5实际应用问题，如最优化问题，可以通过建模可化为最值问题，等等。结合中学数学的知识，高考中最值问题的求解方式一般有以下几种：1应用配方法求最值；2应用不等式（含基本不等式）求最值；3应用导数求最值；4应用单调性等性质求最值；5应用函数的值域求最值；6应用三角函数求最值；7应用几何、向量知识求最值； 8应用线性规划求最值。结合2012年全国各地高考的实例，我们从以上八方面探讨最值问题的求解。一、应用配方法求最值：典型例题：例1. （2012年浙江省文5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则的最小值是【 】a. b. c.5 d.6【答案】c。【考点】基本不等式或配方法的应用。【解析】x+3y=5xy，。 。（或由基本不等式得） 5，即的最小值是5。故选c。例2.（2012年上海市理14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里a处，如图. 现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为7. （1）当时，写出失事船所在位置p的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）【答案】解：（1）时，p的横坐标，代入抛物线方程得p的纵坐标。 a（0，12）， 。 救援船速度的大小为海里/时。 由tanoap=，得，救援船速度的方向为北偏东弧度。 （2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为。 由，整理得。 当即=1时最小，即。 救援船的时速至少是25海里才能追上失事船。【考点】曲线与坐标。【解析】（1）求出a点和p点坐标即可求出。 （2）求出时速关于时间的函数关系式求出极值。例3.（2012年山东省文13分）如图，椭圆m：的离心率为，直线和 所围成的矩形abcd的面积为8.()求椭圆m的标准方程；() 设直线与椭圆m有两个不同的交点p，q，与矩形abcd有两个不同的交点s，t.求的最大值及取得最大值时m的值.【答案】解：()椭圆m：的离心率为，即。 矩形abcd面积为8，即由解得：。椭圆m的标准方程是。(ii)由得。设，则。由得。当过a点时，当过c点时，。当时，有，。设，则。当，即时，取得最大值。当时，由对称性，可知，当时，取得最大值。 当时，当时，取得最大值。综上可知，当时，取得最大值。【考点】椭圆的性质，矩形的性质，函数的极值。【解析】（）由已知条件，根据椭圆m的离心率为 ，直线和 所围成的矩形abcd的面积为8，列方程组组求解。 （）应用韦达定理、勾股定理，用表示出，分，三种情况分别求解。例4.（2012年辽宁省文12分）如图，动圆,与椭圆：相交于a，b，c，d四点，点分别为的左，右顶点。 ()当为何值时，矩形的面积取得最大值？并求出其最大面积； () 求直线与直线交点m的轨迹方程。【答案】解：（i）设，则矩形的面积。 由得， 。 当时，最大为，。 ， 当时，矩形的面积取得最大值，最大面积为6。()设，直线a1a的方程为，直线a2b的方程为。由可得：。在椭圆上，。代入可得：，点m的轨迹方程为。【考点】直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法。【解析】（i）设，应用函数方程思想求出最大时的情况即可。()设出线a1a的方程、直线a2b的方程，求得交点满足的方程，利用a在椭圆上，化简即可得到点m的轨迹方程。二、应用不等式（含基本不等式）求最值：典型例题：例1. （2012年安徽省理13分）设 （i）求在上的最小值； （ii）设曲线在点的切线方程为；求的值。【答案】解：（i）设，则。 当时，。在上是增函数。 当时，的最小值为。 当时， 当且仅当时，的最小值为。（ii），。 由题意得：，即，解得。【考点】复合函数的应用，导数的应用，函数的增减性，基本不等式的应用。【解析】（i）根据导数的的性质分和求解。 （ii）根据切线的几何意义列方程组求解。例2.（2012年安徽省文12分）设定义在（0，+）上的函数（）求的最小值；（ii）若曲线在点处的切线方程为，求的值。【答案】解：（i）， 当且仅当时，的最小值为。（ii）曲线在点处的切线方程为，。 。 又， 。 解得：。【考点】基本不等式的应用，导数的应用。【解析】（i）应用基本不等式即可求得的最小值。 （ii）由和联立方程组，求解即可求得的值。例3.（2012年陕西省理5分）在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为【 】a. b. c. d. 【答案】c。【考点】余弦定理，基本不等式的应用。【解析】通过余弦定理求出cosc的表达式，利用基本不等式求出cosc的最小值：，。由余弦定理得，当且仅当时取“=”。的最小值为。故选c。例4.（2012年安徽省理5分）若平面向量满足：；则的最小值是 来【答案】。【考点】平面向量，基本不等式的应用。【解析】，。 又，。 的最小值是。例5.（2012年天津市理5分）设，若直线与圆相切，则的取值范围是【 】（a） （）（）（）【答案】d。【考点】直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法【分析】直线与圆相切，圆心到直线的距离为，。又，即。设，则，解得。故选d。例6. （2012年湖南省理5分）已知两条直线 ：和：，与函数的图像从左至右相交于点a，b ，与函数的图像从左至右相交于c,d .记线段ac和bd在x轴上的投影长度分别为 , ,当m 变化时，的最小值为【 】a b. c. d. 【答案】b。【考点】数形结合，函数的图象，基本不等式的应用。【解析】如图，在同一坐标系中作出，图像， 由，得，由，得。根据题意得。，。故选b。例7. （2012年福建省理5分）下列不等式一定成立的是【 】alglgx(x0)bsinx2(xk，k)cx212|x|(x)d.1(x)【答案】c。【考点】不等式的性质以及基本不等式的应用。【解析】对于a，当x时，lglgx，所以a不一定成立；对于b，当sinx0时，不等式才成立，所以b不一定成立；对于c，命题显然正确；对于d，x211，00且。当mba=90时，点m的坐标为（2，, 3）。当mba90时，x2。由得 tanmba=，即化简得：。而点（2，,3）在上。时，。综上可知，轨迹c的方程为（）。(ii)由方程消去y，可得。（*）由题意，方程（*）有两根且均在（1，+）内，设，解得，m1且m2。设q、r的坐标分别为，由有。由m1且m2得 且。 的取值范围是。 【考点】直线、双曲线、轨迹方程的求法，倍角公式的应用。【解析】（）设m的坐标为（x，y），当mba=90时，可直接得到点m的坐标为（2，, 3）；当mba90时，由应用倍角公式即可得到轨迹的方程。（）直线与联立，消元可得，利用有两根且均在（1，+）内可知，m1，m2。设q，r的坐标，求出xr，xq，利用 ，即可确定 的取值范围。例10. （2012年四川省文12分）如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为4，设动点的轨迹为。（）求轨迹的方程；（）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。【答案】解：（）设m的坐标为（x，y），当x=1时，直线ma的斜率不存在；当x=1时，直线mb的斜率不存在；，ma的斜率为，mb的斜率为。由题意，有=4，化简可得，。轨迹的方程为（）。（）由消去y，可得 () 对于方程()，其判别式，而当1或1为方程（*）的根时，m的值为1或1，结合题设可知，且m1。设的坐标分别为，,则为方程（*）的两根。，。 。此时，且。 且。且。综上所述，的取值范围为 。【考点】直线、双曲线、轨迹方程的求法。【解析】（）设m的坐标为（x，y），由当x=1时，直线ma的斜率不存在；当x=1时，直线mb的斜率不存在，得到，由直线的斜率之积为4列式即可得到轨迹的方程。（）直线与联立，消元可得 ()，利用()有两根且，且m1。设q，r的坐标，求出xr，xq，利用 ，即可确定 的取值范围。例11.（2012年江苏省14分）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由【答案】解：（1）在中，令，得。 由实际意义和题设条件知。 ，当且仅当时取等号。 炮的最大射程是10千米。 （2），炮弹可以击中目标等价于存在，使成立， 即关于的方程有正根。 由得。 此时，（不考虑另一根）。 当不超过6千米时，炮弹可以击中目标。【考点】函数、方程和基本不等式的应用。【解析】（1）求炮的最大射程即求与轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。 （2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。三、应用导数求最值：典型例题：例1. （2012年全国课标卷理5分）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为【 】 【答案】。【考点】反函数的性质，导数的应用。【解析】函数与函数互为反函数，它们的图象关于对称。 函数上的点到直线的距离为 设函数，则，。 由图象关于对称得：最小值为。故选。例2. （2012年重庆市理5分）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如题图所示，则下列结论中一定成立的是【 】（a）函数有极大值和极小值 （b）函数有极大值和极小值 （c）函数有极大值和极小值 （d）函数有极大值和极小值【答案】d。【考点】函数在某点取得极值的条件，函数的图象。【分析】由图象知，与轴有三个交点，2，1，2， 。 由此得到， ，和在上的情况：212000000极大值非极值极小值 的极大值为，的极小值为。故选d。例3. （2012年陕西省理5分）设函数，则【 】a. 为的极大值点 b.为的极小值点c. 为的极大值点 d. 为的极小值点【答案】d。【考点】应用导数求函数的极值。【解析】，令得。当时，为减函数；当时，为增函数，所以为的极小值点。故选d。例4. （2012年陕西省文5分）设函数则【 】a=为的极大值点 b=为的极小值点c=2为 的极大值点 d=2为 的极小值点【答案】d。【考点】应用导数求函数的极值。【解析】，令得。当时，为减函数；当时，为增函数。为的极小值点。故选d。例5. （2012年全国课标卷理12分）已知函数满足满足；（1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值。【答案】解：（1），。令得，。，得。 的解析式为。 设，则。 在上单调递增。 又时，单调递增；时，单调递减。 的单调区间为：单调递增区间为，单调递减区间为。 （2），。令得。 当时，在上单调递增。 但时，与矛盾。 当时，由得；由得。 当时， 。 令；则。 由得；由得。 当时， 当时，的最大值为。【考点】函数和导函数的性质。【解析】（1）由求出和即可得到的解析式，根据导数的性质求出单调区间。（2）由和，表示出，根据导函数的性质求解。例6. （2012年北京市理13分）已知函数（1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间（，1）上的最大值。【答案】解：（1）（1，c）为公共切点，。 ，即。 又，。 又曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线， 。 解，得。（2），设。 则。令，解得。 ，。 又在各区间的情况如下：00在单调递增，在单调递减，在上单调递增。若，即时，最大值为；若，即时，最大值为。若时，即时，最大值为。综上所述：当时，最大值为；当时，最大值为1。【考点】函数的单调区间和最大值，切线的斜率，导数的应用。【解析】（1）由曲线与曲线有公共点（1，c）可得；由曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线可得两切线的斜率相等，即。联立两式即可求出a、b的值。 （2）由 得到只含一个参数的方程，求导可得的单调区间；根据 ，和三种情况讨论的最大值。 例7. （2012年天津市理14分）已知函数的最小值为，其中.（）求的值；（）若对任意的,有成立，求实数的最小值；（）证明.【答案】解：（）函数的定义域为，求导函数可得. 令，得。当变化时，和的变化情况如下表：0极小值在处取得极小值。由题意，得。（）当0时，取，有，故0不合题意。当0时，令，即。求导函数可得。令，得。当时， 0，在（0，+）上恒成立，因此在（0，+）上单调递减，从而对任意的），总有，即对任意的，有成立。符合题意。当时，0，对于(0， )，0，因此在(0， )上单调递增，因此取(0， )时，即有不成立。 不合题意。综上，实数的最小值为。（）证明：当=1时，不等式左边=2ln32=右边，所以不等式成立。当2时，。在（2）中，取，得，。综上，。【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，利用导数求闭区间上函数的最值。【分析】（）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用函数的最小值为，即可求得的值。（）当0时，取，有，故0不合题意。当0时，令，求导函数，令导函数等于0，分类讨论：当 时，0，在（0，+）上单调递减，从而对任意的），总有。当时，0，对于(0， )，0，因此在(0， )上单调递增。由此可确定的最小值。（）当=1时，不等式左边=2ln32=右边，所以不等式成立。当2时，由，在（）中，取得,从而可得，由此可证结论。例8. （2012年安徽省理13分）设 （i）求在上的最小值； （ii）设曲线在点的切线方程为；求的值。【答案】解：（i）设，则。 当时，。在上是增函数。 当时，的最小值为。 当时， 当且仅当时，的最小值为。（ii），。 由题意得：，即，解得。【考点】复合函数的应用，导数的应用，函数的增减性，基本不等式的应用。【解析】（i）根据导数的的性质分和求解。 （ii）根据切线的几何意义列方程组求解。例9. （2012年浙江省理14分）已知，函数（）证明：当时， （i）函数的最大值为； （ii）；（）若对恒成立，求的取值范围【答案】() 证明：()当b0时，0在0x1上恒成立，此时的最大值为：|2ab|a；当b0时，在0x1上的正负性不能判断，此时的最大值为：|2ab|a。综上所述：函数在0x1上的最大值为|2ab|a。() 设， ，令。当b0时，0在0x1上恒成立，此时的最大值为：|2ab|a；当b0时，在0x1上的正负性不能判断，|2ab|a。综上所述：函数在0x1上的最大值小于(或等于)|2ab|a，即|2ab|a0在0x1上恒成立。()解：由()知：函数在0x1上的最大值为|2ab|a，且函数在0x1上的最小值比(|2ab|a)要大。11对x0，1恒成立，|2ab|a1。取b为纵轴，a为横轴则可行域为：和，目标函数为zab。作图如下：由图易得：当目标函数为zab过p(1，2)时，有所求ab的取值范围为：。【考点】分类思想的应用，不等式的证明，利用导数求闭区间上函数的最值，简单线性规划。【解析】() ()求导后，分b0和b0讨论即可。() 利用分析法，要证|2ab|a0，即证|2ab|a，亦即证在0x1上的最大值小于(或等于)|2ab|a。 （）由（）知：函数在0x1上的最大值为|2ab|a，且函数在0x1上的最小值比(|2ab|a)要大根据11对x0，1恒成立，可得|2ab|a1，从而利用线性规划知识，可求ab的取值范围。例10. （2012年湖南省理13分）某企业接到生产3000台某产品的a，b，三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为,（单位：件）.已知每个工人每天可生产部件件，或部件件，或部件件.该企业计划安排名工人分成三组分别生产这三种部件，生产部件的人数与生产部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.（）设生产部件的人数为，分别写出完成，三种部件生产需要的时间；（）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.【答案】解：（）设完成a，b，三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为由题设有其中均为1到200之间的正整数。（）完成订单任务的时间为其定义域为。易知，为减函数，为增函数。于是（1）当时， 此时 ，由函数的单调性知，当时取得最小值，解得。由于，故当时完成订单任务的时间最短，且最短时间为。（2）当时， 由于为正整数，故，此时。易知为增函数，则。由函数的单调性知，当时取得最小值，解得。由于此时完成订单任务的最短时间大于。（3）当时， 由于为正整数，故，此时。由函数的单调性知，当时取得最小值，解得。类似（2）的讨论，此时完成订单任务的最短时间为，大于。综上所述，当时完成订单任务的时间最短，此时生产，三种部件的人数分别为44，88，68。【考点】分段函数、函数单调性、最值，分类思想的应用。【解析】（）根据题意建立函数模型。（）利用单调性与最值，分、和三种情况讨论即可得出结论。例11. （2012年湖南省理13分）已知函数，其中0.（）若对一切r，1恒成立，求的取值集合.（）在函数的图像上取定两点，记直线ab的斜率为，问：是否存在，使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】解：（）若，则对一切，这与题设矛盾，又，故。令。当时，单调递减；当时，单调递增.当时，取最小值。于是对一切恒成立，当且仅当令则。当时，单调递增；当时，单调递减，当时，取最大值。当且仅当即时，式成立。综上所述，的取值集合为。（）存在。由题意知，。令则。令，则。当时，单调递减；当时，单调递增，当，即。，。又。函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，存在使单调递增，故这样的是唯一的，且，故当且仅当时， 。综上所述，存在使成立.且的取值范围为。【考点】利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立, 分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法的应用。【解析】（）用导函数法求出取最小值，对一切r，1恒成立转化为，从而得出的取值集合。（）在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断。例12. （2012年江苏省16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。已知是实数，1和是函数的两个极值点（1）求和的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；（3）设，其中，求函数的零点个数【答案】解：（1）由，得。 1和是函数的两个极值点， ，解得。 （2） 由（1）得， ， ，解得。 当时，；当时， 是的极值点。 当或时， 不是的极值点。 的极值点是2。（3）令，则。 先讨论关于 的方程 根的情况：当时，由（2 ）可知，的两个不同的根为i 和一2 ，注意到是奇函数，的两个不同的根为一和2。当时， ，一2 , 1，1 ，2 都不是的根。由（1）知。 当时， ，于是是单调增函数，从而。此时在无实根。 当时，于是是单调增函数。又，的图象不间断， 在（1 , 2 ）内有唯一实根。同理，在（一2 ，一i ）内有唯一实根。 当时，于是是单调减两数。又， ，的图象不间断，在（一1，1 ）内有唯一实根。因此，当时，有两个不同的根满足；当 时有三个不同的根，满足。现考虑函数的零点：( i ）当时，有两个根，满足。而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。( 11 ）当时，有三个不同的根，满足。而有三个不同的根，故有9 个零点。综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。【考点】函数的概念和性质，导数的应用。【解析】（1）求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。 （2）由（1）得，求出，令，求解讨论即可。 （3）比较复杂，先分和讨论关于 的方程 根的情况；再考虑函数的零点。例13. （2012年全国课标卷文5分）设函数()求的单调区间()若a=1，k为整数，且当x0时，求k的最大值【答案】解：() f(x)的的定义域为，。 若，则，在上单调递增。 若，则当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增。 ()a=1，。 当x0时，它等价于。 令，则。 由()知，函数在上单调递增。 ，在上存在唯一的零点。 在上存在唯一的零点，设此零点为，则。 当时，；当时，。 在上的最小值为。 又，即，。 因此，即整数k的最大值为2。【考点】函数的单调性质，导数的应用。【解析】()分和讨论的单调区间即可。 ()由于当x0时，等价于，令，求出导数，根据函数的零点情况求出整数k的最大值。例14. （2012年江西省文14分）已知函数在上单调递减且满足。（1）求的取值范围；（2）设，求在上的最大值和最小值。【答案】解：（1），。函数在上单调递减，对于任意的，都有。由得；由得。又当=0时，对于任意的，都有，函数符合条件；当=1时，对于任意的，都有，函数符合条件。综上所述，的取值范围是01。（2）。（i）当=0时，对于任意有，在0，1上的最小值是，最大值是；（ii）当=1时，对于任意有，在0，1上的最小值是，最大值是；（iii）当01时，由得，若，即时，在0，1上是增函数，在0，1上最大值是，最小值是；若，即时，在取得最大值g，在=0或=1时取到最小值：，当时，在=0取到最小值；当时，在=1取到最小值。【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性。【解析】（1）由题意，函数在0，1上单调递减且满足，可求出函数的导数，将函数在0，1上单调递减转化为导数在0，1上的函数值恒小于等于0，再结合，这两个方程即可求得取值范围。（2）由题设条件，先求出的解析式，求出导函数，由于参数的影响，函数在0，1上的单调性不同，结合（1）的结论及分=0，=1， 01三类对函数的单调性进行讨论，确定并求出函数的最值。例15. （2012年湖北省文14分）设函数f(x)axn(1x)b(x0)，n为整数，a，b为常数曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为xy1.（）求a，b的值；（ii）求函数f(x)的最大值；（iii）证明：f(x).【答案】解：（）f(1)b，由点(1，b)在xy1上，可得1b1，即b0。f(x)anxn1a(n1)xn，f(1)a。又切线xy1的斜率为1，a1，即a1。a1，b0。（ii）由（）知，f(x)xn(1x)xnxn1，f(x)(n1)xn1。令f(x)0，解得x，即f(x)在(0，)上有唯一零点x0。在上，f(x)0，f(x)单调递增；在上，f(x)b2b3b7=；当n8时，bnb8=。n=7时，取得最大值，且的最大值为=。【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识，方程、分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。【解析】（）取n=1和n=2可得关于，的方程，解之即得。 （）作差求得，代入，根据对数的性质求解。例2. （2012年湖南省文5分）对于，将n表示为,当时，当时为0或1，定义如下：在的上述表示中，当，a2，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=.；（2）记cm为数列bn中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是.【答案】（1）3；（2）2。【考点】数列问题。【解析】（1）观察知；依次类推；，；b2+b4+b6+b8=。（2）由（1）知cm的最大值为。例3. （2012年四川省文12分）已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立。（）求数列的通项公式；（）设，当为何值时，数列的前项和最大？【答案】解：（）取n=1，得，。 若=0，则=0, 当n时，。 若，则，有当n时，两个相减得：，。数列公比是2的等比数列。综上所述，若=0, 则 ；若，则。（）当且时，令，则。 是单调递减的等差数列（公差为lg2） 则 b1b2b3b6=；当n7时，bnb7=。数列lg的前6项的和最大，即当=6时，数列的前项和最大。【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识，分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。【解析】（i）由题意，n=1时，由已知可知，分类讨论：由=0及，结合数列的和与项的递推公式可求。 （ii）由且时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项 。例4. （2012年四川省理14分）已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。（）用和表示；（）求对所有都有成立的的最小值；（）当时，比较与的大小，并说明理由。【答案】解：（）由已知得，交点a的坐标为，对求导得。 抛物线在点a处的切线方程为，即。（）由（1）知，则成立的充要条件是。即知，对于所有的n成立，特别地，取n=2时，得到。当时,。当n=0，1，2时，显然。当时，对所有自然数都成立。满足条件的的最小值是。（）由（1）知，则，。下面证明：。首先证明：当0x1时，设函数，则。当时，；当时，在区间（0,1）上的最小值min=g。当0x1时，0,即得。由0a1知0ak1()，。从而。【考点】导数的应用、不等式、数列。【解析】（）根据抛物线与x轴正半轴相交于点a，可得a，进一步可求抛物线在点a处的切线方程，从而可得（）由（）知，则 成立的充要条件是，即知，对所有n成立。当时，；当n=0，1，2时，由此可得的最小值。（）由（）知，证明当0x1时， 即可证明： 。例5.（2012年四川省文14分）已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。（）用和表示；（）求对所有都有成立的的最小值；（）当时，比较与的大小，并说明理由。【答案】解：（）由已知得，交点a的坐标为，对求导得。 抛物线在点a处的切线方程为，即。（）由（1）知，则成立的充要条件是。即知，对于所有的n成立，特别地，取n=1时，得到。当时,。当n=0时，。当时，对所有自然数都成立。满足条件的的最小值是3。（）由（1）知，下面证明：。首先证明：当0x1时， ，设函数，则。当时，；当时，在区间（0,1）上的最小值min=g。当0x1时，0,即得。由0a1知0ak1()，。从而。【考点】导数的应用、不等式、数列。【解析】（）根据抛物线与x轴正半轴相交于点a，可得a，进一步可求抛物线在点a处的切线方程，从而可得（）由（）知，则成立的充要条件是，即知，对所有n成立。当时，；当n=0时，由此可得的最小值。（）由（）知，证明当0x1时，即可证明：。例6. （2012年北京市文5分）某棵果树前n年的总产量s与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。m值为【 】a.5 b.7 c.9 d.11【答案】c。【考点】直线斜率的几何意义。【解析】据图像识别看出变化趋势，利用变化速度可以用导数来解，但图像不连续，所以只能是广义上的。实际上，前n年的年平均产量就是前n年的总产量s与n的商：，在图象上体现为这一点有纵坐标与横坐标之比。 因此，要使前m年的年平均产量最高就是要这一点的纵坐标与横坐标之比最大，即这一点与坐标原点连线的倾斜角最大。图中可见。当n=9时，倾斜角最大。从而m值为9。故选c。例7. （2012年山东省理13分）在平面直角坐标系xoy中，f是抛物线c：x2=2py（p0）的焦点，m是抛物线c上位于第一象限内的任意一点，过m，f，o三点的圆的圆心为q，点q到抛物线c的准线的距离为。（）求抛物线c的方程；（）是否存在点m，使得直线mq与抛物线c相切于点m？若存在，求出点m的坐标；若不存在，说明理由；（）若点m的横坐标为，直线l：y=kx+与抛物线c有两个不同的交点a，b，l与圆q有两个不同的交点d，e，求当时，的最小值。【答案】解：（）f抛物线c：x2=2py（p0）的焦点f，设m，。由题意可知，则点q到抛物线c的准线的距离为，解得。抛物线c的方程为。（）假设存在点m，使得直线mq与抛物线c相切于点m，而，即。由可得，则，即，解得，点m的坐标为。（）点m的横坐标为，点m，。由可得。设，则。圆，圆心到直线l 的距离。，令。设，则。当时，即当时，。当时，。【考点】抛物线和圆的性质，切线斜率的应用和意义，韦达定理的应用，导数的应用。函数的单调性质。【解析】（）由已知条件，根据抛物线和圆的性质列式求解。