高中数学《二次函数的图像与性质》导学案 北师大版必修1(1).doc

第8课时二次函数的图像与性质1.理解二次函数的图像中a,b,c,h,k的作用.2.能够熟练地对一般二次函数的解析式配方,研究二次函数图像的上下左右移动.3.培养学生由形到数的抽象概括能力,观察分析能力.汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车制动后,还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要因素,已知甲车的刹车距离y(m)与刹车的速度x (km/h)的关系可用模型y=ax2来描述,且甲车的速度为50 km/h时,刹车距离为10 m.该车在一条限速为100 km/h的高速公路上出了事故,测得它的刹车距离为50 m,那么我们来帮交通部门判断此车是否超车.问题1:将给定的速度50 km/h与刹车距离10 m代入y=ax2,即10=502a,求出a=10502;把x=100代入确定的解析式,求出刹车距离y=105021002=40.而5040,所以可以判定此车超速.问题2:二次函数的解析式有三种形式:(1)一般式:.(2)顶点式:.(3)零点式:.问题3:二次函数y=ax2(a0)的图像可由的图像各点的纵坐标变为原来的a倍得到(相应点的横坐标不变).因此,这里的a决定了图像的开口方向和在同一坐标系中的开口大小.当a0时,开口向上;当a0时)或(当h0)或(kbc,且a+b+c=0,则它的图像可能是().3.已知二次函数f(x)=-x2+4x+3,则f(x)的开口方向向(上、下),对称轴方程为,顶点坐标为,该函数可由y=-x2向平移个单位长度,再向上平移个单位长度得到.4.设函数f(x)=x2+bx+c,若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,求f(x)的解析式.二次函数的图像及其变换试用描点法与图像变换法两种方法作出二次函数y=-13x2+2x-1的图像.求二次函数的解析式已知f(x)是二次函数,求满足下列条件的函数解析式.(1)f(0)=-5,f(-1)=-4,f(2)=5;(2)f(0)=3,f(-5)=f(-3)=0;(3)顶点为(6,-12),且过点(8,0).二次函数图像的应用函数y=x2-4|x|+3是关于x的二次函数吗?请作出它的图像,并根据图像求出方程x2-4|x|+3=0的根.用描点法和图像变换法两种方法作二次函数y=x2-2x+4的图像.已知一抛物线与x轴的交点是a(-2,0),b(1,0),且经过点c(2,8).(1)求该抛物线的解析式;(2)求该抛物线的顶点坐标.当m为怎样的实数时,关于x的方程x2-4|x|+3=m有四个互不相等的实数根?1.已知二次函数的图像如图所示,那么此函数的解析式为().a.y=x2-4b.y=4-x2c.y=34(4-x2)d.y=34(2-x)22.已知反比例函数y=kx的图像如图所示,则二次函数y=2kx2-4x+k2的图像大致为().3.已知关于x的二次函数图像的对称轴是直线x=1,图像交y轴于点(0,2),且过点(-1,0),则这个二次函数的解析式是.4.已知函数f(x)=4x2-mx+5在区间-2,+)上是增函数,求f(1)的取值范围.(2010年安徽卷)设abc0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像可能是().考题变式(我来改编):答案第8课时二次函数的图像与性质知识体系梳理问题2:(1)f(x)=ax2+bx+c(a0)(2)f(x)=a(x+h)2+k(a0)(3)f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0)问题3:y=x2越小越大问题4:向左向右向上向下基础学习交流1.dy=-x2+4x=-(x-2)2+4,y=-x2+4x的递增区间为(-,2.2.d由已知得 a0,c0,选d.3.下x=2(2,7)右27f(x)=-x2+4x+3=-(x-2)2+7,由a=-10,可知f(x)的开口向下,对称轴方程为x=2,顶点坐标为(2,7),可由y=-x2向右平移2个单位长度,再向上平移7个单位长度得到.4.解:f(-4)=f(0),f(-2)=-2,(-4)2-4b+c=c,(-2)2-2b+c=-2,解得b=4,c=2.f(x)=x2+4x+2.重点难点探究探究一:【解析】(描点法)y=-13x2+2x-1=-13(x-3)2+2.故该抛物线的对称轴是直线x=3,顶点是(3,2),列表如下:x0123456y-1235325323-1描点连线得函数的图像.(如图(1)所示)(图像变换法)先作函数y=-13x2的图像,再将图像向右平移3个单位长度,得到y=-13(x-3)2的图像,然后将此图像向上平移2个单位长度,得到y=-13(x-3)2+2的图像,如图(2)所示.【小结】作函数图像的常用方法有:描点作图法:考虑定义域;列表;描点;连线成图.变换作图法:平移:y=f(x)=y=f(x+a).y=f(x)=y=f(x)+h,总结为左加右减,上加下减.翻折与对称变换:y=f(x)y=f(-x),y=f(x)y=|f(x)|,y=f(x)y=-f(x),y=f(x)y=-f(-x),y=f(x)y=f(|x|).探究二:【解析】(1)设所求函数为f(x)=ax2+bx+c,根据已知条件,得方程组0+0+c=-5,a-b+c=-4,4a+2b+c=5,解得a=2,b=1,c=-5.因此,所求函数为f(x)=2x2+x-5.(2)设所求函数为f(x)=a(x+5)(x+3),据f(0)=3,得a=15.因此,所求函数为f(x)=15x2+85x+3.(3)依题意可设所求函数为y=a(x-6)2-12,据题意有f(8)=0,即4a-12=0,解之得a=3,因此,所求函数为f(x)=3x2-36x+96.【小结】求二次函数的解析式可采用待定系数法,应结合题设条件选择恰当的二次函数形式,以达到事半功倍的效果.探究三:【解析】y=x2-4|x|+3不是关于x的二次函数.其解析式可改写为y=x2-4x+3(x0),x2+4x+3(x0),作出图像如图所示.由图像与x轴的交点,可得方程x2-4|x|+3=0的根是x1=-3,x2=-1,x3=1,x4=3.【小结】数形结合是研究数学的一个重要手段,是解题的一个有效途径,用数形结合思想解题,便于发现问题,启发思考,有助于培养综合运用数学知识解决问题的能力.思维拓展应用应用一:描点法:y=x2-2x+4=(x-1)2+3,x-10123y74347图像变换法:先作y=x2的图像,向右平移1个单位长度,得到y=(x-1)2的图像,然后将此图像向上平移3个单位长度,得到y=(x-1)2+3的图像.应用二:(1)(法一)设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.抛物线过a(-2,0),b(1,0),c(2,8)三点,于是得4a-2b+c=0,a+b+c=0,4a+2b+c=8,解这个方程组得a=2,b=2,c=-4.所求抛物线的解析式为y=2x2+2x-4.(法二)设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-1),又知f(x)过点c(2,8),a=2.解析式为y=2(x+2)(x-1)=2x2+2x-4.(2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2(x+12)2-92,该抛物线的顶点坐标是(-12,-92).应用三:由y=x2-4|x|+3得y=x2-4x+3(x0),x2+4x+3(x0).作出图像如图所示.从图像可以看出,当-1m3时,方程有四个互不相等的实根.基础智能检测1.c由图可知函数过点(0,3),(-2,0),(2,0),代入检验即可.2.d由已知得k0,又二次函数的对称轴为x=1k,排除b,c,又开口向下,排除a,从而选d.3.y=-23x2+43x+2由对称轴是直线x=1,可设这个二次函数的解析式为y=a(x-1)2+m,因为图像交y轴于点(0,2),所以a+m=2,又过点(-1,0),所以4a+m=0,由解得a=-23,m=83,所以所求解析式为y=-23(x-1)2+83=-23x2+43x