九年级数学上册 第22章 第10课时 二次函数与一元二次方程导学案2 （新版）新人教版.doc

二次函数与一元二次方程（2）一、学习目标1了解图像法确定一元二次方程近似解的方法；2了解图像法解一元二次不等式的方法；3体验函数y=ax2与y=bx+c的交点的横坐标是方程ax2=bx+c的解的探索过程，掌握用函数y=ax2和y=bx+c图像交点的方法求方程ax2=bx+c的解二、知识回顾二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程的关系二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的解二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式（b2-4ac）有两个交点有两个相异的实数根b2-4ac0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac0三、新知讲解1利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤：（1）画出函数y=ax2+bx+c(a0)的图象；（2）确定抛物线与x轴的交点的个数，看交点在哪两个数之间；（3）列表，根据题目实际情况在两个数之间合理等分，并用计算器估算每个等分点所对应的函数值y当x由x1取到x2，对应的y值出现y10，y20（或 y10，y20）且符合题目近似值要求时，x1或x2可以看做方程的近似根2二次函数与一元二次不等式的关系设抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴有两个交点a（x1，0），b（x2，0）（x1x2），则当a0时，不等式ax2+bx+c0的解集是xx1或xx2，不等式ax2+bx+c0的解集是x1xx2四.典例探究扫一扫，有惊喜哦！1图象法求一元二次方程的近似根【例1】利用二次函数图象求一元二次方程5x2+4x2=0的近似根总结：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤：（1）画出函数y=ax2+bx+c(a0)的图象；（2）确定抛物线与x轴的交点的个数，看交点在哪两个数之间；（3）列表，根据题目实际情况在两个数之间合理等分，并用计算器估算每个等分点所对应的函数值y当x由x1取到x2，对应的y值出现y10，y20（或 y10，y20）且符合题目近似值要求时，x1或x2可以看做方程的近似根练1 利用函数y=x2x3的图象，借助计算器探索方程x2x3=0介于3与2之间的根（精确到0.1）2图像法解一元二次不等式【例2】（2010淮北模拟）阅读材料，解答问题例：用图象法解一元二次不等式：x22x30解：设y=x22x3，则y是x的二次函数a=10，抛物线开口向上又当y=0时，x22x3=0，解得x1=1，x2=3由此得抛物线y=x22x3的大致图象如图所示观察函数图象可知：当x1或x3时，y0x22x30的解集是：x1或x3（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x22x30的解集是_；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x210总结：设抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴有两个交点a（x1，0），b（x2，0）（x1x2），则当a0时，不等式ax2+bx+c0的解集是xx1或xx2，不等式ax2+bx+c0的解集是x1xx2练2 画出函数y=2x2+8x6的图象，根据图象回答：（1）方程2x2+8x6=0的解是什么？（2）当x取何值时，y0？（3）当x取何值时，y0？3用一次函数和二次函数图像交点的方法求一元二次方程的解【例3】已知二次函数y=2x22和一次函数y=5x+1（1）你能用图象法求出方程2x22=5x+1的解吗？试试看；（2）请通过解方程的方法验证（1）问的解总结：1. 画出一次函数和二次函数的图象，观察两图象交点坐标，即可求相应一元二次方程的解2. 反过来，令二次函数和一次函数的值相等，列出关于x的一元二次方程，该一元二次方程的解即为二次函数与一次函数交点的横坐标.练3 利用函数图象求出一元二次方程x2+2=4x的近似根，或在同一平面直角坐标系中画出二次函数y=x2+2和一次函数y=4x的图象，根据两个图象交点的横坐标找出一元二次方程x2+2=4x的近似根，请试一试五、课后小测一、选择题1根据抛物线y=x2+3x1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解（ ）ax21=3x bx2+3x+1=0 c3x2+x1=0 dx23x+1=02（2014秋安次区校级期中）已知：二次函数y=x22x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x22x+m=0的解为（ ）a1 b3 c2 d03（2015泸州）若二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=1，则使函数值y0成立的x的取值范围是（ ）ax4或x2 b4x2 cx4或x2 d4x24（2015成都模拟）已知二次函数y=x22x1的图象如图所示，根据图中提供的信息，求使得y2成立的x的取值范围是（ ）ax1或x3 b2x2 cx2 d1x35（2014尤溪县质检）直线y1=x+1与抛物线y2=x2+3的图象如图，当y1y2时，x的取值范围为（ ）ax2 bx1 c2x1 dx2或x1二、填空题6（2015大连模拟）如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点a（1，0）和b（3，2），不等式x2+bx+cx+m 的解集为_7（2010奉化市模拟）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是_8（2014锦州一模）已知二次函数y=（xm）2+b的图象如图，则关于x的一元二次方程（xm）2+b=0的解为_9（2014武汉模拟）直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式mx+nax2+bx+c0的解集是_三、解答题10（2014佛山）利用二次函数的图象估计一元二次方程x22x1=0的近似根（精确到0.1）11（2011杭州模拟）小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：例题：求一元二次方程x2x1=0的两个解（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）（2）解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解如图，把方程x2x1=0的解看成是二次函数y=的图象与x轴交点的横坐标即x1，x2就是方程的解（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解把方程x2x1=0的解看成是二次函数y=的图象与一个一次函数y=的图象交点的横坐标画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解12（2014东西湖区校级模拟）如图，已知抛物线y1=2x2+2与直线y2=2x+2交于a、b两点（1）求a、b两点的坐标（2）若y1y2，请直接写出x的取值范围13一元二次方程x2+7x+9=1的根与二次函数y=x2+7x+9的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来典例探究答案：【例1】【解析】根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解解：方程5x2+4x2=0根是函数y=5x2+4x2与x轴交点的横坐标作出二次函数y=5x2+4x2的图象，如图所示，由图象可知方程有两个根，一个在2和1之间，另一个在0和1之间先求2和1之间的根，当x=1.1时，y=0.35；当x=1.2时，y=0.4；因此，x=1.15是方程的一个近似根，同理，x=0.35是方程的另一个近似根故一元二次方程5x2+4x2=0的近似根为x=1.15或0.35点评：本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，二次函数图象与x轴交点的横坐标是相应的一元二次方程的解练1【解析】根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解解：方程x2x3=0的根是函数y=x2x3与x轴交点的横坐标作出二次函数y=x2x3的图象，如图所示，由图象可知方程有两个根，一个在3与2之间，另一个在2和3之间求3与2之间的根，当x=2.2时，y=0.14；当x=2.3时，y=0.105；因此，x=2.3是方程介于3与2之间的一个近似根点评：本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法【例2】【解析】（1）由x22x3=0得x1=1，x2=3，抛物线y=x22x3开口向上，y0时，图象在x轴的上方，此时x1或x3；（2）仿照（1）的方法，画出函数y=x21的图象，找出图象与x轴的交点坐标，根据图象的开口方向及函数值的符号，确定x的范围解：（1）x1或x3；（2）设y=x21，则y是x的二次函数，a=10，抛物线开口向上又当y=0时，x21=0，解得x1=1，x2=1由此得抛物线y=x21的大致图象如图所示观察函数图象可知：当x1或x1时，y0x210的解集是：x1或x1点评：本题考查了学生的阅读理解能力，知识的迁移能力及二次函数与不等式的关系，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y0时，自变量x的范围练2【解析】利用描点连线的方法画出函数y=2x2+8x6的图象再根据图象判断函数的增减性解：函数y=2x2+8x6的图象如图由图象可知：（1）方程2x2+8x6=0的解x1=1，x2=3（2）当1x3时，y0（3）当x1或x3时，y0点评：本题重点考查了函数图象的画法及解读【例3】【解析】（1）根据函数图象的交点坐标是相应方程的解，可得答案；（2）根据因式分解，可得方程的解解：（1）如图在平面直角坐标系内画出y=2x22和函数y=5x+1的图象，图象交点的横坐标是，32x22=5x+1的解是x1=，x2=3；（2）化简得2x25x3=0，因式分解，得（2x+1）（x3）=0解得x1=，x2=3点评：本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，图象交点的横坐标是方程的解练3【解析】建立平面直角坐标系，根据网格结构作出函数y=x2+2和y=4x的图象，然后找出两函数图象的交点坐标，从而得解解：在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2+2和y=4x的图象，如图所示：由图可知，交点坐标为（0.6，2.4），（3.4，13.6），所以一元二次方程x2+2=4x的近似根为x10.6，x23.4点评：本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，主要是利用函数图象的交点坐标求方程的解，读懂题目信息是解题的关键课后小测答案：一、选择题1【解析】根据抛物线y=x2+3x1与x轴的交点的横坐标就是方程x2+3x1=0的根来解决此题解：抛物线y=x2+3x1与x轴的交点的横坐标就是方程x2+3x1=0的根，可以求出方程x2+3x1=0的根，方程x21=3x与方程x2+3x1=0等价，可以求出方程x21=3x的根故选a点评：据函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根2【解析】根据二次函数的图象得出抛物线与x轴的交点，进而可得出结论解：由图可知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一个交点为3，另一个交点=2（1）+3=1，关于x的一元二次方程x22x+m=0的解为x1=3，x2=1故选a点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，熟知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系是解答此题的关键3【解析】由抛物线与x轴的交点及对称轴求出另一个交点坐标，根据抛物线开口向下，根据图象求出使函数值y0成立的x的取值范围即可解：二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=1，二次函数的图象与x轴另一个交点为（4，0），a0，抛物线开口向下，则使函数值y0成立的x的取值范围是4x2故选d点评：此题考查了二次函数与不等式（组），求出抛物线与x轴另一个交点坐标是解本题的关键4【解析】根据函数图象写出y=2对应的自变量x的值之间的取值即可解：由图可知，使得y2成立的x的取值范围是1x3故选d点评：本题考查了二次函数与不等式，准确识图是解题的关键5【解析】根据函数图象，写出直线在抛物线上方部分的x的取值范围即可解：由图可知，x2或x1时，y1y2故选d点评：本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键二、填空题6【解析】根据已知条件和图象找出直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c的交点，即可求出不等式x2+bx+cx+m 的解集解：直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点a（1，0）和b（3，2），根据图象可知，不等式x2+bx+cx+m 的解集为x1或x3；故答案为：x1或x3点评：主要考查了二次函数与不等式组，解题的关键是根据图象找出直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c的交点，要具备读图的能力7【解析】本题是一道估算题，先测估计出对称轴左侧图象与x轴交点的横坐标，再利用对称轴x=3，可以算出右侧交点横坐标解：依题意得二次函数y=ax2+bx+c的部分图象的对称轴为x=3，而对称轴左侧图象与x轴交点与原点的距离，约为1.6，x1=1.6；又对称轴为x=3，则=3，x2=231.6=4.4点评：解答本题首先需要估计图象估计出一个解，再根据对称性计算出另一个解，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，必须估计尽量准确8【解析】二次函数y=（xm）2+b的顶点坐标为（m，b），由图象得，m=2，b=2，可得二次函数的解析式为y=（x2）22再解一元二次方程即可解：由图象得，m=2，b=2，所以二次函数的解析式为y=（x2）22关于x的一元二次方程（x2）22=0（x2）2=2解得：，故答案为：，点评：本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，本题的关键是得出二次函数的解析式为y=（x2）229【解析】从图上可知，mx+nax2+bx+c，则有x1或x；根据ax2+bx+c0，可知1x2；综上，不等式mx+nax2+bx+c0的解集是1x2解：因为mx+nax2+bx+c0，由图可知，1x2点评：此题将图形与不等式相结合，考查了同学们对不等式组的解集的理解和读图能力，有一定的难度，读图时要仔细三、解答题10【解析】根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解解：方程x22x1=0根是函数y=x22x1与x轴交点的横坐标作出二次函数y=x22x1的图象，如图所示，由图象可知方程有两个根，一个在1和0之间，另一个在2和3之间先求1和0之间的根，当x=0.4时，y=0.04；当x=0.5时，y=0.25；因此，x=0.4（或x=0.5）是方程的一个近似根，同理，x=2.4（或x=2.5）是方程的另一个近似根点评：本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法11【解析】（1）用配方法解答一元二次方程；（2）二次函数方程为y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程x2x1=0的解，所以，只要求出方程x2x1=0的根，就可以求出二次函数方程为y=ax2+bx+c与x轴交点；（3）由（1）（2）解得x1、x2，再根据题意画出图象