高中数学竞赛教材讲义 第六章 三角函数.doc

用心 爱心 专心 1 第六章第六章 三角函数三角函数 一 基础知识 定义 1 角 一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角 若旋转方向为逆时针方向 则 角为正角 若旋转方向为顺时针方向 则角为负角 若不旋转则为零角 角的大小是任意的 定义 2 角度制 把一周角 360 等分 每一等价为一度 弧度制 把等于半径长的圆弧所对 的圆心角叫做一弧度 360 度 2 弧度 若圆心角的弧长为l 则其弧度数的绝对值 其 r l 中 r 是圆的半径 定义 3 三角函数 在直角坐标平面内 把角 的顶点放在原点 始边与x轴的正半轴重合 在角的终边上任意取一个不同于原点的点p 设它的坐标为 x y 到原点的距离为 r 则正 弦函数 sin 余弦函数cos 正切函数tan 余切函数cot 正割函数 r y r x x y y x sec 余割函数csc x r y r 定理 1 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tan sin cos cot 1 csc 1 商数关系 tan 乘积关系 sec 1 sin cos cot cos sin tan cos sin cot sin cos 平方关系 sin2 cos2 1 tan2 1 sec2 cot2 1 csc2 定理 2 诱导公式 sin sin cos cos tan tan cot cot sin sin cos cos tan tan cot cot sin sin cos cos tan tan cot cot sin cos cos sin tan cot 奇变偶 2 2 2 不变 符号看象限 定理 3 正弦函数的性质 根据图象可得y sinx x r 的性质如下 单调区间 在区间 上为增函数 在区间上为减函数 最小正周期 2 2 2 2 kk 2 3 2 2 2kk 为 2 奇偶数 有界性 当且仅当x 2kx 时 y取最大值 1 当且仅当x 3k 时 2 2 y取最小值 1 对称性 直线x k 均为其对称轴 点 k 0 均为其对称中心 值域 2 为 1 1 这里k z 定理 4 余弦函数的性质 根据图象可得y cosx x r 的性质 单调区间 在区间 2k 2k 上单调递减 在区间 2k 2k 上单调递增 最小正周期为 2 奇偶性 偶 函数 对称性 直线x k 均为其对称轴 点均为其对称中心 有界性 当且 0 2 k 仅当x 2k 时 y取最大值 1 当且仅当x 2k 时 y取最小值 1 值域为 1 1 这 里k z 定理 5 正切函数的性质 由图象知奇函数y tanx xk 在开区间 k k 2 2 2 上为增函数 最小正周期为 值域为 点 k 0 k 0 均为其对 2 称中心 用心 爱心 专心 2 定理 6 两角和与差的基本关系式 cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin tan tantan1 tan tan 定理 7 和差化积与积化和差公式 sin sin 2sincos sin sin 2sincos 2 2 2 2 cos cos 2coscos cos cos 2sinsin 2 2 2 2 sin cos sin sin cos sin sin sin 2 1 2 1 cos cos cos cos sin sin cos cos 2 1 2 1 定理 8 倍角公式 sin2 2sin cos cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 tan2 tan1 tan2 2 定理 9 半角公式 sin cos 2 2 cos1 2 2 cos1 tan 2 cos1 cos1 sin cos1 cos1 sin 定理 10 万能公式 2 tan1 2 tan2 sin 2 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 2 tan1 2 tan2 tan 2 定理 11 辅助角公式 如果a b是实数且a2 b20 则取始边在x轴正半轴 终边经过点 a b 的一个角为 则 sin cos 对任意的角 22 ba b 22 ba a asin bcos sin 22 ba 定理 12 正弦定理 在任意 abc中有 其中a b c分别是r c c b b a a 2 sinsinsin 角a b c的对边 r 为 abc外接圆半径 定理 13 余弦定理 在任意 abc中有a2 b2 c2 2bcosa 其中a b c分别是角a b c的对 边 定理 14 图象之间的关系 y sinx的图象经上下平移得y sinx k的图象 经左右平移得 y sin x 的图象 相位变换 纵坐标不变 横坐标变为原来的 得到y sin 1 x 的图象 周期变换 横坐标不变 纵坐标变为原来的a倍 得到y asinx的图象0 振幅变换 y asin x 0 的图象 周期变换 横坐标不变 纵坐标变为原来的 a倍 得到y asinx的图象 振幅变换 y asin x 0 a 叫作振幅 的图象 用心 爱心 专心 3 向右平移个单位得到y asinx的图象 定义 4 函数y sinx的反函数叫反正弦函数 记作y arcsinx x 1 1 2 2 x 函数y cosx x 0 的反函数叫反余弦函数 记作y arccosx x 1 1 函数 y tanx的反函数叫反正切函数 记作y arctanx x 2 2 x y cosx x 0 的反函数称为反余切函数 记作y arccotx x 定理 15 三角方程的解集 如果a 1 1 方程 sinx a的解集是 x x n 1 narcsina n z 方程cosx a的解集是 x x 2kxarccosa k z 如果a r 方程tanx a的解集 是 x x k arctana k z 恒等式 arcsina arccosa arctana arccota 2 2 定理 16 若 则 sinx x 1 所以cos 2 x 0 2 x 所以 sin cosx 0 又 00 所以cos sinx sin cosx 若 则因为 2 0 x sinx cosx sinxcos sincosx sin x 2cos 2 2 sin 2 2 2 xx 4 4 2 4 2 2 所以 0 sinx cosxcos cosx sin cosx 2 综上 当x 0 时 总有cos sinx 0 求证 2 2 sin cos sin cos x x 证明 若 则x 0 由 0 得cos cos sin 2 2 2 所以 0 sin cos 所以 0 1 sin cos 2 sin cos 用心 爱心 专心 4 所以 2 sin cos sin cos sin cos sin cos 0 0 x x 若 则x 0 由 0 cos sin 0 2 2 2 2 所以 1 又 0 sin 1 sin cos 2 sin cos 所以 得证 2 sin cos sin cos sin cos sin cos 0 0 x x 注 以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式 值得注意的是角的讨论 3 最小正周期的确定 例 4 求函数y sin 2cos x 的最小正周期 解 首先 t 2 是函数的周期 事实上 因为cos x cosx 所以co x cosx 其 次 当且仅当x k 时 y 0 因为 2cosx 2 2 所以若最小正周期为t0 则t0 m m n 又 sin 2cos0 sin2sin 2cos 所以 t0 2 4 三角最值问题 例 5 已知函数y sinx 求函数的最大值与最小值 x 2 cos1 解法一 令 sinx 4 3 0 4 sin2cos1 cos2 2 x 则有y 4 sin 2sin2cos2 因为 所以 4 3 0 4 42 所以 1 4 sin 0 所以当 即x 2k k z 时 ymin 0 4 3 2 当 即x 2k k z 时 ymax 2 4 2 解法二 因为y sinx cos1 sin2cos1 222 xxx 2 因为 a b 2 2 a2 b2 且 sinx 1 所以 0 sinx 2 x 2 cos1 x 2 cos1 所以当 sinx 即x 2k k z 时 ymax 2 x 2 cos1 2 当 sinx 即x 2k k z 时 ymin 0 x 2 cos1 2 例 6 设 0 求 sin的最大值 cos1 2 解 因为 0 0 cos 0 22 0 2 2 用心 爱心 专心 5 所以 sin 1 cos 2sin cos2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 sin22 222 3 222 3 2 cos 2 cos 2 sin2 2 9 34 27 16 当且仅当 2sin2 cos2 即tan 2arctan时 sin 1 cos 取得最大 2 2 2 2 2 2 2 2 值 9 34 例 7 若a b c为 abc三个内角 试求 sina sinb sinc的最大值 解 因为 sina sinb 2sincos 2 ba 2 sin2 2 baba sinc sin 2 3 sin2 2 3 cos 2 3 sin2 3 ccc 又因为 3 sin2 4 3 cos 4 3 sin2 2 3 sin 2 sin cbacbac ba 由 得 sina sinb sinc sin 4sin 3 3 所以 sina sinb sinc 3sin 3 2 33 当a b c 时 sina sinb sinc max 3 2 33 注 三角函数的有界性 sinx 1 cosx 1 和差化积与积化和差公式 均值不等式 柯西不等式 函数的单调性等是解三角最值的常用手段 5 换元法的使用 例 8 求的值域 xx xx y cossin1 cossin 解 设t sinx cosx 4 sin 2cos 2 2 sin 2 2 2 xxx 因为 1 4 sin 1 x 所以 22 t 又因为t2 1 2sinxcosx 所以 sinxcosx 所以 2 1 2 t 2 1 1 2 1 2 t t x y 所以 2 12 2 12 y 用心 爱心 专心 6 因为t 1 所以 所以y 1 1 2 1 t 所以函数值域为 2 12 11 2 12 y 例 9 已知a0 1 an n n 求证 an 1 1 121 n n a a 2 2 n 证明 由题设an 0 令an tanan an 则 2 0 an tan 2 tan sin cos1 tan 1sec tan 1tan1 1 1 1 1 1 1 1 2 n n n n n n n n a a a a a a a a 因为 an 所以an 所以an 2 1 n a 2 0 1 2 1 n a 2 1 0 a n 又因为a0 tana1 1 所以a0 所以 4 n n a 2 1 4 又因为当 0 xx 所以 2 22 tan 22 nn n a 注 换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性 另外当x 时 有tanx x sinx 这是个熟知的结论 暂时不证明 学完导数后 证 2 0 明是很容易的 6 图象变换 y sinx x r 与y asin x a 0 由y sinx的图象向左平移个单位 然后保持横坐标不变 纵坐标变为原来的a倍 然后 再保持纵坐标不变 横坐标变为原来的 得到y asin x 的图象 也可以由y sinx 1 的图象先保持横坐标不变 纵坐标变为原来的a倍 再保持纵坐标不变 横坐标变为原来的 最后向左平移个单位 得到y asin x 的图象 1 例 10 例 10 已知f x sin x 0 0 是 r 上的偶函数 其图象关于点 对称 且在区间上是单调函数 求和的值 0 4 3 m 2 0 解 由f x 是偶函数 所以f x f x 所以 sin sin x 所以 cossinx 0 对任意x r 成立 又 0 解得 2 因为f x 图象关于对称 所以 0 0 4 3 m 4 3 4 3 xfxf 取x 0 得 0 所以sin 4 3 f 0 24 3 所以 k z 即 2k 1 k z 24 3 k 3 2 用心 爱心 专心 7 又 0 取k 0 时 此时f x sin 2x 在 0 上是减函数 2 2 取k 1 时 2 此时f x sin 2x 在 0 上是减函数 2 2 取k 2 时 此时f x sin x 在 0 上不是单调函数 3 10 2 2 综上 或 2 3 2 7 三角公式的应用 例 11 已知sin sin 且 13 5 13 5 求sin2 cos2 的值 2 2 2 3 解 因为 所以cos 2 13 12 sin1 2 又因为 所以cos 2 2 3 13 12 sin1 2 所以sin2 sin sin cos cos sin 169 120 cos2 cos cos cos sin sin 1 例 12 已知 abc的三个内角a b c成等差数列 且 试求 bcacos 2 cos 1 cos 1 的值 2 cos ca 解 因为a 1200 c 所以cos cos 600 c 2 ca 又由于 120cos cos cos 120cos cos 1 120cos 1 cos 1 cos 1 0 0 0 cc cc ccca 22 2 1 2120cos 60cos 2 2120cos 120 cos 2 1 60cos 60cos2 0 0 00 00 c c c c 所以 0 23 2 cos2 2 cos24 2 caca 解得或 2 2 2 cos ca 8 23 2 cos ca 又 0 所以 2 cos ca 2 2 2 cos ca 例 13 求证 tan20 4cos70 解 tan20 4cos70 4sin20 20cos 20sin 20cos 40sin220sin 20cos 20cos20sin420sin 用心 爱心 专心 8 20cos 40sin10cos30sin2 20cos 40sin40sin20sin 3 20cos 20cos60sin2 20cos 40sin80sin 三 基础训练题 1 已知锐角x的终边上一点a的坐标为 2sin3 2cos3 则x的弧度数为 2 适合 2cscx的角的集合为 x x x x cos1 cos1 cos1 cos1 3 给出下列命题 1 若 则sin sin 2 若sin sin 则 3 若sin 0 则 为第一或第二象限角 4 若 为第一或第二象限角 则sin 0 上述四个命题中 正确的命题有 个 4 已知sinx cosx x 0 则cotx 5 1 5 简谐振动x1 asin和x2 bsin叠加后得到的合振动是 3 t 6 t x 6 已知 3sinx 4cosx 5sin x 1 5sin x 2 5cos x 3 5cos x 4 则 1 2 3 4分别是第 象限角 7 满足sin sinx x cos cosx x 的锐角x共有 个 8 已知 则 2 2 3 xxcos 2 1 2 1 2 1 2 1 9 40cos170sin 10tan31 50sin40cos 10 cot15cos25cot35cot85 11 已知 0 tan sin 求cos 的值 2 1 2 13 5 12 已知函数f x 在区间上单调递减 试求实数m的取值范围 x xm cos sin2 2 0 四 高考水平训练题 1 已知一扇形中心角是a 所在圆半径为 r 若其周长为定值c c 0 当扇形面积最大时 a 2 函数f x 2sinx sinx cosx 的单调递减区间是 3 函数的值域为 x x y cos2 sin2 4 方程 0 的实根个数为 xxlg 6 2sin2 5 若sina cosa tana a 则 a 填大小关系 2 0 3 6 1 tan1 1 tan2 1 tan44 1 tan45 7 若 0 y x0 k 1 求f x 的单调区间 3 试求最小正整数k 使得当x在任意两个整 数 包括整数本身 间变化时 函数f x 至少取得一次最大值和一次最小值 五 联赛一试水平训练题 一 1 若x y r 则z cosx2 cosy2 cosxy的取值范围是 2 已知圆x2 y2 k2至少盖住函数f x 的一个最大值点与一个最小值点 则实数 k x sin3 k的取值范围是 3 f 5 8cos 4cos2 cos3的最小值为 4 方程sinx cosx a 0 在 0 2 内有相异两实根 则 3 5 函数f x tanx cotx 的单调递增区间是 6 设sina 0 cosa 且sin cos 则的取值范围是 3 a 3 a 3 a 7 方程tan5x tan3x 0 在 0 中有 个解 8 若x y r 则m cosx cosy 2cos x y 的最小值为 9 若 0 0 在一个最小正周期长的区间上的图 象与函数g x 的图象所围成的封闭图形的面积是 1 2 a 用心 爱心 专心 10 2 若 则y tan tan cos的最大值是 3 12 5 x 3 2 x 6 x 6 x 3 在 abc中 记bc a ca b ab c 若 9a2 9b2 19c2 0 则 ba c cotcot cot 4 设f x x2 x arcsin arctan arccos arccot 3 1 4 5 3 1 4 5 将f f f f 从小到大排列为 5 logsin1cos1 a logsin1tan1 b logcos1sin1 c logcos1tan1 d 将a b c