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加试模拟训练题（25）1四边形abcd内接于圆，bcd，acd，abd，abc的内心依次记为ia，ib，ic，id.试证：iaibicid是矩形.2. 设都是正数,并且,求证: 3. 正五边形的每个顶点对应一个整数使得这五个整数的和为正若其中三个相连顶点相应的整数依次为x、y、z，而中间的y0，则要进行如下的操作：整数x、y、z分别换为xy、y、zy只要所得的五个整数中至少还有一个为负时，这种操作就继续进行问：是否这样的操作进行有限次后必定终止？4、试证：当时，不存在个连续自然数，使得它们的平方和是完全平方数.加试模拟训练题（25）1四边形abcd内接于圆，bcd，acd，abd，abc的内心依次记为ia，ib，ic，id.试证：iaibicid是矩形.分析：连接aic，aid，bic，bid和dib.易得aicb=90+adb=90+acb=aidba，b，id，ic四点共圆.同理，a，d，ib，ic四点共圆.此时aicid=180-abid =180-abc，aicib=180-adib=180-adc，aicid+aicib=360-(abc+adc)=360-180=270.故ibicid=90.同样可证iaibicid其它三个内角皆为90.该四边形必为矩形.2. 设都是正数,并且,求证: (根据前苏联第22届数学竞赛试题改编)分析与证明: 以代入原不等式可得齐次不等式:.因为 而 =+. 从而原不等式得证.3. 正五边形的每个顶点对应一个整数使得这五个整数的和为正若其中三个相连顶点相应的整数依次为x、y、z，而中间的y0，则要进行如下的操作：整数x、y、z分别换为xy、y、zy只要所得的五个整数中至少还有一个为负时，这种操作就继续进行问：是否这样的操作进行有限次后必定终止？第二十七届(1986年)国际数学奥林匹克题【解】为方便计，把五个数写成一列：v、w、x、y、z，并注意v与z是相邻的不妨设y0操作后，便得v、w、xy、y、yz它们的和未变考虑操作前后各项平方及每相邻两项和的平方之和(称为双平方和)的差v2w2(xy)2(y)2(yz)2(vw)2(wxy)2x2z2(yzv)2v2w2x2y2z2(vw)2(wx)2(xy)2(yz)2(zv)22y(vwxyz)因为y0，vwxyz0，故上述差为负数这就是说，每操作一次后，各数双平方和变小但原来5个数的双平方和为一定值，因此这种操作进行有限次后即行停止，即5个数最后都变为正数另解：必定终止。变换前后三个数和虽然不变，但是平方和变小，若不终止，整数的平方和为0，即各整数均为零，还得终止。注：操作过程中的不变性质和变化的性质是解决问题的关键。4、试证：当时，不存在个连续自然数，使得它们的平方和是完全平方数.解析：设是非负整数.假若结论不成立,即存在使即 记 则当时，分别由 和令，代入得即把代入后将分别得到但这是不可能的，故. 当时,由得 若则由知,，由于的任
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