第6讲 梯形.doc

第5讲 梯形知识要点：1梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.2等腰梯形的性质和判定：性质定理：等腰梯形在同一底上的两个角相等判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.1 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.对于梯形的问题，往往是通过作辅助线，将梯形问题转化为三角形或平行四边形问题来解决.常添的辅助线如图：典型例题：例1已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4，求此梯形的面积.分析：要求梯形的面积，先确定出上、下底，再求出其高.解 以1，2，3，4为边作梯形只有以下六种可能：分别以1、2；1、3；1、4；2、3；2、4；3、4为底.其中只有以1、4为底才能构成梯形，其它都不能构成梯形.如图，在梯形ABCD中，过A作则是等腰三角形.例2如图，梯形ABCD的中位线MN与对角线AC、BD分别交于点P、Q，设梯形ABCD的周长为l，四边形PQCD的周长为l1，若AB=2CD，试求的值. 解：例3如图，在梯形ABCD中，AB/DC，AD=BC，AB=10，CD=4，延长BD到E，使DE=BD，作EFAB交BA的延长线于点F. 求AF的长度.分析：因D为斜边的中点，故可考虑连接DF.解：由易证，例4如图，在梯形ABCD中，AD/BC，E、M、F、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，已知BC=7，MN=3，试求EF的长. 解：延长BA、CF交于H，连接HN.HN、HM分别为的中线，且，M、N、H三点共线，又BC=7，MN=3，HN=0.5分别为AB、CD的中点，.例5 如图，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=DC，BD=BC，求证：.分析：先作出AD+BC，即过A作AF/BD交CB的延长线于F，则FC=AD+BC，而FC是的斜边，它等于斜边上中线的2倍，再证这条中线等于CE即可.证明：过A作AF/BD交CB的延长线于F，作于G.四边形ADBF是平行四边形，又AF=AC.易证例6如图，分别以的边AC和BC为一边，向三角形外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF中点，垂足为H，若. 求PH的长.解：过E作N.过C作，交AB于I.易证由已知可证PH为梯形的中位线，.例7如图，在梯形ABCD中，AB/CD，令试判断与的大小.解：设又即：例8如图，梯形的面积为34，相交于O，的面积为11，求阴影的面积.解：取的中点，连接MC、MD，则设的公共边CD上的高为的中点，则（cm）2.例9 如图，在等腰梯形ABCD中，CD/AB，对角线AC、BD相交于点O，点S、P、Q分别为OD、OA、BC的中点.（1）求证：是等边三角形；（2）若求的面积；（3）若的面积与的面积比为7：8，求梯形上、下两底的比：.分析：易证考虑再证、也等于，注意到Q是BC的中点，只要证、是直角三角形即可.（1）证明：易证 又是等边三角形，连接PB、CS， 为OA中点，又是BC的中点， 同理又 是等边三角形.（2）解： （3）解：设 整理得：.课后训练：1如图，在四边形ABCD中，AD/BC，E是AB的中点，若的面积为S ，则四边形ABCD的面积为（ ）A B C D1答：B解：延长DE交CB的延长线于F，易证，DE=FE，2如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，P是BC边上任意一点，PEAB于E，PFCD于F，BGCD于G，求证：PE+PF=BG. 2证明：延长BA交CD的延长线于点O，连OP，则OB=OC，由三角形的面积公式得.3如图,梯形ABCD中,AB/DC,E是AD的中点,有以下四个命题:如果如果如果的平分线，则；如果的平分线.其中真命题的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个3答：D4如图，梯形ABCD中，AD/BC，EF为中位线，4解：提示：可求得.5如图，在梯形ABCD中，AB/DC，CE是的平分线，把梯形分成面积为两部分，求的值.5解：延长CB、DA交于F，由已知得2EA=ED，从而令两次运用中位线定理可得F到AB的距离是F到CD距离的，于是，6BD、CE是锐角的角平分线，P是DE的中点，于H，求证：6证明：作，则（EG+DN），证7如图，已知M、N分别是等腰梯形ABCD的两底AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点，且已知求四边形MENF的面积.解：由于E、N分别是BM、BC的中点，则EN平行且等于那么ENFM是平行四边形.连结MN，由于ABCD是等腰梯形，则MN是梯形的高，且等于这时8如图，已知梯形ABCD中，AD/BC，（1）求BC、AD的长度；（2）若点P从点B开始沿BC边向点C以的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t的关系式，并写出t的取值范围（不包含点P在B、C两点的情况）；（3）在（2）的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.8解：（1）（2）.（3）存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5. 理由：的面积不可能是梯形ABCD的面积的，9如图，的平分线BE与BC边的中线AD垂直且相等，已知求三边.9解:过D作由于BE平分,则O是AD的中点.而D是BC的中点,且则F是EC的