18.1平行四边形的性质第1课时 (2).doc

18.1.1平行四边形的性质太和县倪邱中学 王殿卿1.理解平行四边形的概念.2.探究并掌握平行四边形的边、角、对角线的性质.3.利用平行四边形的性质来解决简单的实际问题.通过观察、猜测、归纳、证明,培养学生类比、转化的数学思想方法,锻炼学生的简单推理能力和逻辑思维能力,渗透“转化”的数学思想.让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值,同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.【重点】平行四边形的概念和性质的探索.【难点】平行四边形性质的运用.第课时1.理解平行四边形的定义及有关概念.2.探究并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质,利用平行四边形的性质进行简单的计算和证明.3.了解平行线间距离的概念.1.经历利用平行四边形描述、观察世界的过程,发展学生的形象思维和抽象思维.2.在进行性质探索的活动过程中,发展学生的探究能力.3.在性质应用的过程中,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,培养学生的推理能力和逻辑思维能力.在性质应用过程中培养独立思考的习惯,让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值,同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.【重点】平行四边形边、角的性质探索和证明.【难点】如何添加辅助线将平行四边形问题转化成三角形问题解决的思想方法.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题的投影图片.【学生准备】方格纸,量角器,刻度尺.导入一:过渡语前面我们已经学习了许多图形与几何知识,掌握了一些探索和证明几何图形性质的方法,本节开始,我们继续研究生活中的常见图形.我们一起来观察下图中的小区的伸缩门,庭院的竹篱笆和载重汽车的防护栏,它们是什么几何图形的形象?学生观察,积极踊跃发言,教师从实物中抽象出平行四边形.本节课我们主要研究平行四边形的定义及有关概念,探究并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质,利用平行四边形的性质进行简单的计算和证明.设计意图通过图片展示,让学生真切感受生活中存在大量平行四边形的原型,进而从实际背景中抽象出平行四边形,让学生经历将实物抽象为图形的过程.导入二:(出示本章农田鸟瞰图)观察章前图,你能从图中找出我们熟悉的几何图形吗?学生自由说出图中的几何图形,教师结合学生说到的图中包含长方形、正方形等,明确本章主要研究对象平行四边形.过渡语下面我们来认识特殊的四边形平行四边形.设计意图以农田鸟瞰图作为本章的章前图,学生可以见识各种四边形的形状,通过查找长方形、正方形、平行四边形等,为进一步比较系统地学习这些图形做准备,并明确本章的学习任务.1.平行四边形的定义思路一提问:你知道什么样的图形叫做平行四边形吗?教师引导学生回顾小学学习过的平行四边形的概念:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.说明定义的两方面作用:既可以作为性质,又可以作为判定平行四边形的依据.追问:平行四边形如何好记好读呢?画出图形,教师示范后,学生结合图练习,并提醒学生注意字母的顺序要按照顶点的顺序记.平行四边形用“”表示,平行四边形ABCD,记作“ABCD”.如右图所示,引导学生找出图中的对边,对角.对边:AD与BC,AB与DC;对角:A与C,B与D.进一步引导学生总结:四边形中不相邻的边,也就是没有公共顶点的边叫做对边;没有公共边的角,叫做对角.设计意图给出定义,强调定义的作用,让学生结合图形认识“对角”“对边”,为学习性质做好准备.思路二请举出你身边存在的平行四边形的例子.学生举出生活中常见的例子.如小区的伸缩门,庭院的竹篱笆和载重汽车的防护栏教师点评,画出图形,如右图所示.提问:(1)你能说出平行四边形的定义吗?(2)你能表示平行四边形吗?(3)你能用符号语言来描述平行四边形的定义吗?学生阅读教材第41页,点名学生回答以上问题,教师进一步讲解:(1)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.概念中有两个条件:是一个四边形;两组对边分别平行.(2)指出表示平行四边形错误的情况,如ACDB.(3)作为性质:四边形ABCD是平行四边形,ADBC,ABCD.作为判定:ADBC,ABCD,四边形ABCD是平行四边形.设计意图学生结合实例和教材中的图片,师引导学生归纳这些四边形的共同特征,即:两组对边分别平行.2.平行四边形边、角的性质思路一过渡语同学们回忆我们的学习经历,研究几何图形的一般思路是什么?一起回顾全等三角形的学习过程,得出研究的一般过程:先给出定义,再研究性质和判定.教师进一步指出:性质的研究,其实就是对边、角等基本要素的研究.提问:平行四边形是一种特殊的四边形,它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外,还有什么特殊的性质呢?教师画出图形,如右图所示,引导学生通过观察、度量,提出猜想.猜想1:四边形ABCD是平行四边形,那么AB=CD,AD=BC.猜想2:四边形ABCD是平行四边形,那么A=C,B=D.追问:你能证明这些结论吗?学生讨论,发现不添加辅助线可以证明猜想2.ABCD,A+D=180,ADBC,A+B=180,B=D.同理可得A=C.在学生遇到困难时,教师引导学生构造全等三角形进行证明.过渡语我们知道,利用全等三角形的对应边、对应角都相等是证明线段相等、角相等的一种重要方法.学生尝试,连接平行四边形的对角线,并证明猜想,如右图所示.证明:连接AC.ADBC,ABCD,1=2,3=4.又AC是ABC和CDA的公共边,ABCCDA.AD=CB,AB=CD.B=D.BAD=1+4,DCB=2+3,1+4=2+3,BAD=DCB.引导学生归纳平行四边形的性质:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等.追问:通过证明,发现上述两个猜想正确.这样得到平行四边形的两个重要性质.你能说出这两个命题的题设与结论,并运用这两个性质进行推理吗?教师引导学生辨析定理的题设和结论,明确应用性质进行推理的基本模式:四边形ABCD是平行四边形(已知),AB=CD,AD=BC(平行四边形的对边相等),A=C,B=D(平行四边形的对角相等).设计意图让学生领悟证明线段相等或角相等通常采用证明三角形全等的方法,而图形中没有三角形,只有四边形,我们需要添加辅助线,构造全等三角形,将四边形问题转化为三角形问题来解决,突破难点.进而总结、提炼出将四边形问题化为三角形问题的基本思路.知识拓展(1)运用平行四边形的这两条性质可以直接证明线段相等和角相等.(2)四边形的问题,常常通过连接对角线转化成三角形的问题解决.(教材例1)如图所示,在ABCD中,DEAB,BFCD,垂足分别为E,F.求证AE=CF.引导学生分析:要证明线段AE=CF,它不是平行四边形的对边,无法直接用平行四边形的性质证明,考虑证明ADECBF.由题意容易得到AED=CFB=90,再根据平行四边形的性质可以得出A=C,AD=CB.在此基础上,引导学生写出证明过程,并组织学生进行点评.证明:四边形ABCD是平行四边形,A=C,AD=CB.又AED=CFB=90,ADECBF.AE=CF.设计意图应用性质进行推理,体会得到证明思路的方法.思路二1.提问:根据定义画一个平行四边形ABCD,并观察这个四边形除了“两组对边分别平行”外,它的边、角之间还有哪些关系?度量一下,是不是和你的猜想一致?AB=BC=CD=AD=猜想:A=B=C=D=猜想:小组合作完成,交流自己的猜想.教师强调平行四边形的对边、邻边、对角、邻角等概念,再引导学生归纳:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等.2.你能证明你发现的上述结论吗?已知:如图(1)所示,四边形ABCD中,ABCD,ADBC.求证:(1)AD=BC,AB=CD;(2)B=D,BAD=DCB.小组讨论,发现:需要连接对角线,将平行四边形的问题转化成两个三角形全等的问题来解决.证明:(1)连接AC,如图(2)所示.ADBC,ABCD,1=2,3=4.又AC是ABC和CDA的公共边,ABCCDA.AD=CB,AB=CD.(2)ABCCDA(已证),B=D.BAD=1+4,DCB=2+3,1+4=2+3,BAD=DCB.一组代表发言后,另一小组补充,我们发现不作辅助线也可以证明平行四边形的对角相等.ABCD,BAD+D=180,ADBC,BAD+B=180,B=D.同理可得BAD=DCB.教师根据学生的证明情况进行评价、总结.证明线段相等或角相等时,通常证明三角形全等,图中没有三角形怎么办?一般是连接对角线将四边形的问题转化为三角形的问题.引导学生将文字语言转化为符号语言表述,并进行笔记.四边形ABCD是平行四边形(已知),AB=CD,AD=BC(平行四边形的对边相等),A=C,B=D(平行四边形的对角相等).(补充)如图,在ABCD中,AC是平行四边形ABCD的对角线.(1)请你说出图中的相等的角、相等的线段;(2)对角线AC需添加一个什么条件,能使平行四边形ABCD的四条边相等?学生认真读题、思考、分析、讨论,得出有关结论.因为平行四边形的对边相等,对角相等.所以AB=CD,AD=BC,DAB=BCD,B=D,又因为平行四边形的两组对边分别平行,所以DAC=BCA,DCA=BAC.教师根据学生回答,板书有关正确的结论.解决第(2)个问题时,学生思考、交流、讨论得出:只要添加AC平分DAB即可.说明理由:因为平行四边形的两组对边分别平行,所以DCA=BAC,而DAC=BAC,所以DCA=DAC,所以AD=DC,又因为平行四边形的对边相等,所以AB=DC=AD=BC.设计意图学生通过亲自动手,提出猜想,验证猜想,得出结论,并初步应用.3.平行线间的距离过渡语距离是几何中的重要度量之一.前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离,那么平行线间的距离又是怎样的呢?思路一提问:在教材的例1中,DE=BF吗?学生思考,都容易发现:由ADECBF,容易得到DE=BF.追问:如图所示,直线ab,A,D为直线a上任意两点,点A到直线b的距离AB和点D到直线b的距离DC相等吗?为什么?学生讨论,发现容易证明ABCD,由已知得ADBC,所以四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD.教师引导归纳:如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.此时教师适时介绍两条平行线间的距离的概念及性质.两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离,平行线间的距离相等.学生结合图指出:ab,点A是a上的任意一点,ABb,B是垂足,线段AB的长就是a,b之间的距离.教师点评,并强调:任意两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的,都是夹在两条平行线之间的最短的线段的长度.设计意图结合例1的进一步追问,自然引出平行线间距离的概念.思路二请同学们拿出方格纸,在方格纸上画两条互相平行的直线,在其中一条直线上任取若干点,过这些点作另一条直线的垂线.老师边看边指导学生画图.追问:请同学们用刻度尺量一下方格纸上两平行线间的所有垂线段的长度,你发现了什么现象?学生发现:平行线间的所有垂线段的长度相等.教师引导归纳:如果两条直线平行,那么一条直线上所有点到另一条直线的距离都相等.此时教师适时介绍两条平行线间的距离的概念及性质.两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离,平行线间的距离相等.如右图所示,用符号语言表述为:l1 l2,ABl2,CDl2,AB=CD.教师进一步强调:两平行线l1 ,l2之间的距离是指什么? 指在一条直线l1上任取一点A,过A 作ABl2于点B,线段AB的长度叫做两平行线l1 ,l2间的距离.引导学生归纳:两平行线之间的距离、点与直线的距离、点与点之间的距离的区别与联系.两平行线间的距离点到直线的距离点与点之间的距离.l1,l2间的距离转化为点A到l2间的距离,再转化为点A到点B的距离.追问:如果AB,CD是夹在两平行线l1,l2之间的两条平行线段,那么AB和CD仍相等吗?教师引导学生思考:(出示教材第43页图18.1-5)如图所示,ab,cd,c,d与a,b分别相交于A,B,C,D四点.由平行四边形的概念和性质可知,四边形ABDC是平行四边形,AB=CD.说明:两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.设计意图借助学生熟悉的方格纸引出平行线间距离的概念,浅显易懂,并注重两平行线间的距离、点到直线的距离、点与点间的距离之间的知识整合.知识拓展(1)当两条平行线确定后,两条平行线之间的距离是一定值,不随垂线段位置的变化而改变.(2)平行线之间的距离处处相等,因此在作平行四边形的高时,可以灵活选择位置.4.例题讲解(补充)在ABCD中,BC边上的高为4,AB=5,AC=25,试求ABCD的周长.引导学生根据题意作图分析,教师根据学生考虑不周全的问题进行引导,明确思路后学生写解答过程.解析本题考查了平行四边形的性质及勾股定理的应用,解题的关键是分别画出符合题意的图形.设BC边上的高为AE,分AE在ABCD的内部和AE在ABCD的外部两种情况计算.解:在ABCD中,AB=CD=5,AD=BC.设BC边上的高为AE.(1)若AE在ABCD的内部,如图所示,在RtABE中,AB=5,AE=4,根据勾股定理,得:BE=AB2-AE2=52-42=9=3;在RtACE中,AC=25,AE=4,根据勾股定理,得:CE=AC2-AE2= (25)2-42=4=2.BC=BE+CE=3+2=5.ABCD的周长为2(5+5)=20.(2)若AE在ABCD的外部,如图所示,同理可得BE=3,CE=2,BC=BE-CE=3-2=1,ABCD的周长为2(5+1)=12.综上,ABCD的周长为20或12.解题策略本题相当于已知一个三角形的两条边以及第三条边上的高,求第三条边的长度,因为三角形的高可能在三角形的内部、也可能在三角形的外部,所以作图时应分两种情况讨论,如下图所示.本节课我们主要学习了平行四边形的定义,探索了平行四边形的两个特征,同时还学习了平行线间的距离,平行线的一些特征.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的性质:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等.平行线间的距离:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离.平行线间的距离相等,两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.1.已知ABCD中,A+C=200,则B的度数是()A.100B.160C.80D.60解析:A+C=200,A=C,A=100,又ADBC,A+B=180,B=180-A=80.故选C.2.如图所示,在平行四边形ABCD中,EFBC,GHAB,EF,GH相交于点O,则图中共有平行四边形的个数为()A.6B.7C.8D.9解析:图中的平行四边形有:平行四边形AEOG、平行四边形BHOE、平行四边形CHOF、平行四边形OFDG、平行四边形ABHG、平行四边形CHGD、平行四边形AEFD、平行四边形BEFC、平行四边形ABCD.故选D.3.如图所示,在ABCD中,AD=2AB,CE平分BCD交AD边于点E,且AE=3,则AB的长为()A.4B.3C.52D.2解析:四边形ABCD是平行四边形,AB=DC,ADBC,DEC=BCE,CE平分DCB,DCE=BCE,DEC=DCE,DE=DC=AB,AD=2AB=2CD,CD=DE,AD=2DE,AE=DE=3,DC=AB=DE=3.故选B.4.如图所示,在ABCD中,ABC和DBC的面积的大小关系是.解析:两平行线AD,BC间的距离相等,ABC与DBC是同底等高的两个三角形,它们的面积相等.故填相等.5.如图所示,已知在平行四边形ABCD中,C=60,DEAB于E,DFBC于F.(1)求EDF的度数;(2)若AE=4,CF=7,求平行四边形ABCD的周长.解:(1)四边形ABCD是平行四边形,ABCD,A=C=60,C+B=180.C=60,B=180-C=120.DEAB,DFBC,DEB=DFB=90,EDF=360-DEB-DFB-B=60.(2)在RtADE和RtCDF中,A=C=60,ADE=CDF=30,AD=2AE=8,CD=2CF=14,平行四边形ABCD的周长为2(8+14)=44.第1课时1.平行四边形的定义2.平行四边形边、角的性质例1例23.平行线间的距离4.例题讲解例3一、教材作业【必做题】教材第43页练习第1,2题;教材第49页习题18.1第1,2题.【选做题】教材第50页习题18.1第8题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在平行四边形ABCD中,B=110,延长AD至F,延长CD至E,连接EF,则E+F等于()A.110B.30C.50D.702.如图所示,l1 l2,BECF,BAl1 于点A,DCl2于点C,有下面的四个结论;(1)AB=DC;(2)BE=CF;(3)SABE=SDCF;(4)S四边形ABCD=S四边形BCFE.其中正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个3.如图所示,点E是ABCD的边CD的中点,AD,BE的延长线相交于点F,DF=3,DE=2,则ABCD的周长为()A.5B.7C.10D.144.如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=4,BAD的平分线与BC的延长线交于点E,与DC交于点F,且点F为边DC的中点,DGAE,垂足为G,若DG=1,则AE的长为()A.23B.43C.4D.85.如图所示,ABCD与DCFE的周长相等,且BAD=60,F=110,则DAE的度数为.【能力提升】6.如图所示,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(0,0),(3,0),(4,2),则顶点D的坐标为.7.如图所示,在ABCD中,DE平分ADC,AD=6,BE=2,则ABCD的周长是.8.(2015自贡中考)在ABCD中,BCD的平分线与BA的延长线相交于点E,BHEC于点H.求证CH=EH.9.如图所示,四边形ABCD是一个平行四边形,BECD于点E,BFAD于点F.(1)请用图中的字母表示出平行线AD与BC之间的距离;(2)若BE=2 cm,求平行线AB与CD之间的距离.10.如图所示,在平行四边形ABCD中,AEBC,交其延长线于点E,AFCD于点F,EAF=30,AE=4 cm,AF=3 cm,求平行四边形ABCD的周长.11.如图所示,已知四边形ABDE是平行四边形,C为边BD延长线上一点,连接AC,CE,AB=AC.(1)求证BADACE;(2)若B=30,ADC=45,BD=10,求平行四边形ABDE的面积.【拓展探究】12.如图所示,点E,F分别在平行四边形ABCD的边DC,CB上,且AE=AF,DGAF,BHAE,G,H是垂足.求证DG=BH.【答案与解析】1.D(解析:由平行四边形的对角相等可得ADC=110,再由邻补角的性质得出FDC=70,所以 E+F=FDC=70.)2.A(解析:l1l2,BAl1 于点A,DCl2于点C,AB=CD,故(1)正确;l1 l2,BECF,BE=CF,故(2)正确;根据HL可以证明RtABERtDCF,因此,SABE=SDCF,故(3)正确;四边形ABCD与四边形BCFE是同底等高的两个平行四边形,S四边形ABCD=S四边形BCFE,故(4)正确.故选A.)3.D(解析:四边形ABCD为平行四边形,ADBC,F=CBF,FDE=C.E为CD的中点,DE=CE,FDEBCE(AAS),BC=AD=FD,DF=3,DE=2,AD=3,AB=DC=4,ABCD的周长为2(AD+AB)=14.故选D.)4.B(解析:AE为DAB的平分线,DAE=BAE.由题意知DCAB,BAE=DFA,DAE=DFA,AD=FD.又F为DC的中点,DF=CF,AD=DF=12DC=12AB=2,在RtADG中,根据勾股定理得AG=3,则AF=2AG=23,由题意知ADBC,DAF=E,在ADF和ECF中, ADFECF(AAS),AF=EF,则AE=2AF=43.故选B.)5.25(解析:ABCD与DCFE的周长相等,且CD=CD,AD=DE,DAE=DEA,BAD=60,F=110,ADC=120,CDE=F=110,ADE=360-120-110=130,DAE=180-1302=25.故填25.)6.(1,2)(解析:A,B的坐标分别是(0,0),(3,0),则AB=3,根据平行四边形对边相等,得CD=AB=3,点C的坐标为(4,2),点D的坐标为(1,2).)7.20(解析:在ABCD中,AB=CD,ADBC,且AD=BC=6.BE=2,CE=BC-BE=6-2=4.如图所示,ADBC,1=3,又由题意知1=2,2=3,CD=CE=4,ABCD的周长为2(AD+CD)=2(6+4)=210=20.故填 20.)8.证明:如图所示,在ABCD中,BECD,E=2.CE平分BCD,1=2.1=E.BE=BC.又BHEC,CH=EH.9.解:(1)四边形ABCD是平行四边形,ADBC,BFAD, BFBC,平行线AD与BC之间的距离是线段BF的长度.(2)四边形ABCD是平行四边形,ABCD,BECD, BEAB,平行线AB与CD之间的距离是线段BE的长度,是2 cm.10.解:四边形ABCD是平行四边形,ABCD,B=D.AEBC,AFCD,EAF=30,ECD=B=D=30. AE=4 cm,AF=3 cm,AB=8 cm,AD=6 cm,平行四边形ABCD的周长为8+8+6+6=28(cm).11.(1)证明:AB=AC,B=ACB.又四边形ABDE是平行四边形,AEBD,AE=BD,ACB=CAE=B.在DBA和AEC中, DBAEAC(SAS).(2)解:过A作AGBC,垂足为G,如图所示.设AG=x, 在RtAGD中,ADC=45,AG=DG=x.在RtAGB中,由B=30,易得BG=3x .又BD=10,BG-DG=BD=10,即3x-x=10,解得x=103-1=53+5,S平行四边形ABDE=BDAG=10(53+5)=503+50.12.证明:连接BE,DF.设平行四边形ABCD的面积为S,AB,AD边上的高分别为a和b,依题意:S=ABa=ADb,SABE=12ABa=12S,SADF=12ADb=12S,SABE=SADF.DGAF,BHAE,SABE=12AEBH,SADF=12AFDG,AEBH=AFDG,AE=AF,DG=BH.本节以探究活动的形式,让学生通过自主探索、合作交流去发现和体验新知识.整个过程充满着观察、实验、模拟、推断等探索性与挑战性活动.改变了以例题、示范、讲解为主的教学方式,引导学生投入到探索与交流的学习活动中去.这一节课学生已通过画图,测量,猜想的探究方式发现“平行四边形的对边相等,对角相等”等特征.学生参与度高,提高学生的学习兴趣和实际操作能力,取得较好的学习效果.引导学生进行思考的语言不够精练,时间把握得不够好,课堂不够紧凑.由于性质探索部分花了较多时间,导致练习的时间不够多.应该让学生在练习的时候有更多的时间讨论,说得更多.第课时1.理解并掌握平行四边形对角线互相平分的性质.2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题.在观察、操作、推理、归纳的探索活动中,进一步培养学生的数学说理能力与习惯.通过小组合作探究学习,促进同学间的情感交流,体验学习的乐趣,在自我评价中学会自我肯定,增强学习的自信心.【重点】平行四边形对角线互相平分的性质,以及性质的应用.【难点】综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】两张方格纸,铅笔,图钉.导入一:一位饱经沧桑的老人,经过一辈子的辛勤劳动,到晚年的时候,终于拥有了一块平行四边形的土地,由于年迈体弱,他决定把这块土地分给他的四个孩子,他是这样分的:(如右图所示)当四个孩子看到时,争论不休,都认为自己的地少,同学们,你认为老人这样分合理吗?为什么?本节课,我们将继续学习与平行四边形的对角线有关的性质,你将会明白老人的分法是否合理.设计意图把知识融入到故事情境中,提高学生的学习兴趣.导入二:1.复习提问:(1)什么样的四边形是平行四边形?(2)前面我们学习过平行四边形的什么性质?学生自由说,教师根据学生回顾情况梳理知识.具有一般四边形的性质(内角和是360).角:平行四边形的对角相等,邻角互补.边:平行四边形的对边平行且相等.2.回顾思考:(1)平行四边形ABCD中,A比B大20,则C的度数为()A.60B.80C.100D.120(2)平行四边形ABCD的周长为40 cm,三角形ABC的周长为25 cm,则对角线AC的长为()A.5 cmB.15 cmC.6 cmD.16 cm(3)平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于O,则全等三角形的对数有.学生独自思考,交流解答情况.教师适当点评.(1)C(2)A(3)4对画出图形,针对(3)小题学生的错误提问:为什么(3)小题中全等三角形的对数不是2对,而是4对呢?通过今天的学习,你会明白其中的原因.设计意图以问题串形式回顾平行四边形的概念和平行四边形的性质,温故知新.通过(1)(3)的问题串,反馈学生对平行四边形的对边、对角性质的理解和简单应用.希望真实、客观地反馈学生对上节“平行四边形性质”的掌握情况,并有针对性地在本节补救强化.过渡语上节课我们研究了平行四边形的边和角的关系,平行四边形中还有一种重要的线段,这就是对角线,平行四边形对角线之间有什么关系呢?1.平行四边形的对角线互相平分思路一【探究】请大家在方格纸上画两个全等的ABCD和HGFE,并连接对角线AC,BD和EG,HF,设它们分别交于点O.把这两个平行四边形放在一起,让它们重合,在点O处钉一个图钉,将ABCD绕点O旋转180,观察它还和HGFE重合吗?你能从中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗?进一步,你还能发现平行四边形的什么性质吗?学生按照要求操作,围绕问题讨论,发现:是否重合边角对角线旋转前ABCD和HGFE重合AB与GH,CD与EF互相重合;AD与HE,BC与GF互相重合ABC与HGF,ADC与HEF,BAD与GHE,BCD与GFE互相重合OA=OH,OC=OF,OB=OG,OD=OE旋转后ABCD和HGFE仍然重合AB与FE,CD与HG互相重合;AD与FG,BC与EH互相重合ABC与HEF,ADC与HGF,BAD与GFE,BCD与GHE互相重合OA=OF,OC=OH,OB=OE,OD=OG结论GH=EF,EH=GFHGF=HEF,GFE=GHEOH=OF,OG=OE教师引导学生交流:旋转后,ABCD与HGFE还是完全重合的.平行四边形的对边相等,对角也是相等的,对角线互相平分.过渡语上节课我们证明了平行四边形的对边相等,对角也相等.你能尝试证明平行四边形的对角线互相平分这一结论吗?已知:如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.求证:OA=OC,OB=OD.证明:四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,ABDC,BAO=DCO,ABO=CDO,AOBCOD,OA=OC,OB=OD.你还有其他的证明方法吗?与同伴交流.教师引导学生总结,并板书:平行四边形的对角线互相平分.用符号语言表述为:平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.引导学生思考:平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于O,则全等三角形的对数有几对?学生相互补充说出:AOB与COD,BOC与DOA,ABC与CDA,ABD与CDB分别全等,共有4对.设计意图利用活动的形式,让学生在活动中提炼出平行四边形的对角线的性质,并加以验证.思路二过渡语在上节课中,我们发现平行四边形边、角有特殊的关系,那么平行四边形的对角线有怎样的特殊关系呢?【探究】如图所示,在ABCD中,连接对角线AC,BD,相交于点O,OB与OD有什么关系?OA与OC呢?学生画图,测量后填表,交流.OA=OC=关系为:OB=OD=关系为:学生思考、交流得出:平行四边形的对角线互相平分.追问:互相平分如何理解?一生回答,其余补充.AC与BD互相平分,指AC平分BD,即OB=OD,BD平分AC,即OA=OC.(出示问题)已知ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,图中有哪些三角形全等?哪些线段相等?请同学们用多种方法加以验证.学生互相讨论自己的思维,并交流不同的验证思路.用“AAS”或“ASA”可以证明图中共有四对三角形全等,分别是AOBCOD,BOCDOA,ABCCDA,ABDCDB.相等的线段有:OA=OC,OB=OD,AB=CD,AD=CB.师生归纳:平行四边形的对角线互相平分.学生说出定理的题设和结论,用符号语言表述为:平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.教师提醒:定理的证明只是让学生进一步理解定理,而在定理的运用时则没必要这么麻烦,直接由四边形是平行四边形得出其对角线互相平分,这是证明线段相等的常用方法.设计意图学生通过操作感知,辅以三角形全等知识的应用,发现、验证了所要学习的内容,解决了重点,突破了难点.2.例题讲解(补充)如图所示,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O与AB,CD分别相交于点E,F.求证OE=OF,AE=CF,BE=DF.学生讨论:由刚刚得出的结论“平行四边形的对角线互相平分”,得到OA=OC,继而得到AOECOF(AAS),从而得证.证明:在ABCD中,ABCD,1=2,3=4.又 OA=OC(平行四边形的对角线互相平分), AOECOF(AAS).OE=OF,AE=CF(全等三角形对应边相等).四边形ABCD是平行四边形, AB=CD(平行四边形对边相等). AB-AE=CD-CF,即 BE=FD.引申提问:若例1中的条件都不变,将EF转动到如图所示的位置,那么例1中的结论是否成立?若将EF向两方延长,与平行四边形的两对边的延长线分别相交(如图和图所示),例1中的结论是否成立?说明你的理由.分别由一名学生说说自己分析的结果,证明过程留在课后完成.(教材例2)如图所示,在ABCD中,AB=10,AD=8,ACBC,求BC,CD,AC,OA的长,以及ABCD的面积.引导学生读题,强调“底”是对应着高说的,平行四边形中,任一边都可以作为“底”,“底”确定后,高也就随之确定了.学生共同分析:由平行四边形的对边相等,可得BC,CD的长,在RtABC中,由勾股定理可得AC的长.再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长,根据平行四边形的面积计算公式:平行四边形的面积=底高(高为此底上的高),可求得ABCD的面积.解:四边形ABCD是平行四边形,BC=AD=8,CD=AB=10.ACBC,ABC是直角三角形.根据勾股定理,AC=AB2-BC2=102-82=6.又OA=OC,OA=12AC=3,SABCD=BCAC=86=48.师生共同完成解答过程,并说明用S表示面积时,常在它的下脚注上图形标记,例如SABCD表示ABCD的面积.设计意图本节课安排了两个例题,例1是一道补充题,它是平行四边形对角线的性质的直接运用,然后对例1进行了引申,可以根据学生的实际情况选讲,并归纳结论:过平行四边形对角线的交点作直线,交对边或对边的延长线,所得的对应线段相等.例1与后面的三个图形是一组重要的基本图形,熟悉本节的性质对解答复杂问题是很有帮助的.例2是教材第44页的例2,这是复习、巩固小学学过的平行四边形面积的计算.这个例题比小学计算平行四边形面积的题加深了一步,需要应用勾股定理,先求得平行四边形一边上的高,然后才能应用公式计算.在以后的解题中,还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题,在教学中要注意使学生掌握其方法.知识拓展(1)利用平行四边形的对角线互相平分可以解决对角线或边的取值范围问题,在解答时应联系“三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”来解决.(2)若一条直线过平行四边形的两条对角线的交点,则这条直线被一组对边所截线段以对角线的交点为中点,且这条直线平分该平行四边形的面积.(3)在平行四边形中,被对角线所分成的四个小三角形,相邻两个小三角形的周长之差等于邻边长之差.师生共同整理平行四边形性质等知识.名称平行四边形图形定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形性质边角对角线平行四边形的对边平行;对边相等对角相等;邻角互补对角线互相平分1.判断对错.(1)在ABCD中,AC交BD于O,则AO=OB=OC=OD.()(2)平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等.()(3)平行四边形的两组对边分别平行且相等.()(4)平行四边