【状元之路】高考数学二轮复习钻石卷 专题综合测试4.doc

专题四综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内1如图是一正方体被过点a、m、n的平面和点n、d、c1的平面截去两个角后所得的几何体，其中m、n分别为棱a1b1、a1d1的中点，则该几何体的正视图为()解析正视图是正方形，点m的射影是中点，对角线dc1在正视图中是虚线，故选b.答案b2如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和侧(左)视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的全面积为()a2b4c6d8解析由三视图知该空间几何体为圆柱，所以其全面积为1222126，故选c.答案c3平面平面的一个充分条件是()a存在一条直线a，a，ab存在一条直线a，a，ac存在两条平行直线a，b，a，b，a，bd存在两条异面直线a， b，a，b，a，b解析若l，al，a，a，a，a，故排除a.若l，a，al，则a，故排除b.若l，a，al，b，bl，则a，b，故排除c.答案d4将一个正方体截去四个角后得到一个正四面体，这个正四面体的体积是正方体体积的()a. b. c. d.解析设正方体的棱长为1，依题意知，截去的角为一个三棱锥，其体积为：v1111，则v正四面体14.答案b5已知空间中有三条线段ab、bc和cd，且abcbcd，那么直线ab与cd的位置关系是()aabcdbab与cd异面cab与cd相交dabcd或ab与cd异面或ab与cd相交解析若三条线段共面，如果ab，bc，cd构成等腰三角形，则直线ab与cd相交，否则直线ab与cd平行；若不共面，则直线ab与cd是异面直线，故选d.答案d6已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为()a. b. c. d.解析由于是正三棱锥，故顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心，底面的一个顶点到这个中心的距离是，故侧棱与底面所成角的余弦值为.答案d7(2013山东卷)已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若p为底面a1b1c1的中心，则pa与平面abc所成角的大小为()a. b. c. d.解析由棱柱abca1b1c1为正三棱柱底面边长为，设高为h，得2h，解得h，设abc中心为o，则po，ao1，由po面abc知pao即ap与面abc所成的角，tanpao，所以pao.答案b8(2013长沙模拟)如图所示，在正三棱柱abca1b1c1中，d为棱aa1的中点， 若截面三角形bc1d是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为()a16 b8 c4 d.解析设正三棱柱的底面边长为a，高为2h，则bdc1d，bc1，由bc1d是面积为6的直角三角形，得解得故此三棱柱的体积为v8sin6048.答案b9.如图所示，四棱锥sabcd的底面为正方形，sd底面abcd，则下列结论中不正确的是()aacsbbab平面scdcsa与平面sbd所成的角等于sc与平面sbd所成的角dab与sc所成的角等于dc与sa所成的角解析易证ac平面sbd，因而acsb，a正确；abdc，dc平面scd，ab平面scd，故ab平面scd，b正确；由于sa，sc与平面sbd的相对位置一样，因而所成的角相同答案d10(2013湖北卷)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为v1，v2，v3，v4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有()av1v2v4v3 bv1v3v2v4cv2v1v3v4 dv2v3v10，可得tan22.51，因此oc(1)h.在rtocf中，coscof，故coscodcos(2cof)2cos2cof12()211712.21(本小题12分)(文)如图所示，直角梯形acde与等腰直角abc所在平面互相垂直，f为bc的中点，bacacd90，aecd，dcac2ae2.(1)求证：平面bcd平面abc；(2)求证：af平面bde；(3)求四面体bcde的体积解(1)证明：平面abc平面acde，平面abc平面acdeac，cdac，dc平面abc.dc平面bcd，平面bcd平面abc.(2)证明：取bd的中点p，连接ep、fp，则pf綊dc.ea綊dc，ea綊pf.四边形afpe是平行四边形afep，ep平面bde，af平面bde.(3)baac，平面abc平面acdeac，ba平面acde，ba就是四面体bcde的高，且ba2.dcac2ae2，aecd，s梯形acde(12)23，sace121，scde312.vbcde22.22(本小题12分)(理)(2013浙江卷)如图所示，在四面体abcd中，ad平面bcd，bccd，ad2，bd2.m是ad的中点，p是bm的中点，点q在线段ac上，且aq3qc.(1)证明：pq平面bcd；(2)若二面角cbmd的大小为60，求bdc的大小解解法一：(1)取bd的中点o，在线段cd上取点f，使得df3fc，连接op，of，fq.因为aq3qc，所以qfad，且qfad.因为o，p分别为bd，bm的中点，所以op是bdm的中位线，所以opdm，且opdm.又点m为ad的中点，所以opad，且opad.从而opfq，且opfq，所以四边形opqf为平行四边形，故pqof，又pq平面bcd，of平面bcd，所以pq平面bcd.(2)作cgbd于点g，作ghbm于点h，连接ch.因为ad平面bcd，cg平面bcd，所以adcg，又cgbd，adbdd，故cg平面abd，又bm平面abd，所以cgbm.又ghbm，cgghg，故bm平面cgh，所以chg为二面角cbmd的平面角，即chg60.设bdc.在rtbcd中，cdbdcos2cos，cgcdsin2cossin，bgbcsin2sin2.在rtbdm中，hg.在rtchg中，tanchg.所以tan.从而60，即bdc60.解法二：(1)如图所示，取bd的中点o，以o为原点，od，op所在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系oxyz.由题意知a(0，2)，b(0，0)，d(0，0)设点c的坐标为(x0，y0,0)因为3，所以q.因为m为ad的中点，故m(0，1)又p为bm的中点，故p.所以.又平面bcd的一个法向量为u(0,0,1)，故u0.又pq平面bcd，所以pq平面bcd.(2)设m(x，y，z)为平面bmc的法向量由(x0，y0,1)，(0,2，1)知取y1，得m.又平面bdm的一个法向量为n(1,0,0)，于是|cosm，n|，即23.(1)又bccd，所以0，故(x0，y0,0)(x0，y0,0)0，即xy2.(2)联立(1)(2)，解得(舍去)或所以tanbdc.又bdc是锐角，所以bdc60.22(本小题12分)(文)(2013北京海淀一模)在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，abc是正三角形，ac与bd的交点m恰好是ac中点，又cad30，paab4，点n在线段pb上，且.(1)求证：bdpc；(2)求证：mn平面pdc；(3)设平面pab平面pcdl，试问直线l是否与直线cd平行，请说明理由解(1)证明：因为abc是正三角形，m是ac的中点，所以bmac，即bdac.又因为pa面abcd，bd面abcd，所以pabd，又paaca，所以bd面pac，又pc面pac，所以bdpc.(2)证明：在正三角形abc中，bm2，在acd中，因为m为ac中点，dmac，所以adcd