[教学设计]相似三角形.DOC

第二单元 相似三角形一、教 法 建 议抛砖引玉本单元主要研究相似三角形的判定与性质，并在此基础上，通过把多边形分割成若干个三角形的知识，介绍了相似多边形的概念和性质.在教学中，要用类比的方法贯穿教学始终，要把重点放在研究相似三角形的判定定理和性质定理上.在这一章之前，主要研究线段相等问题，在这一章中，则要研究线段之间比的相等关系，由研究相等转化为研究成比例，对学生来说，在认识上要有一个适应过程，虽然相等与成比例都是等式（），但由于涉及量多，又出现了公式，变化的形式也多了，学生会感到困难，为此，在教学中，关键要抓住两点：第一教学中注意与相等情况类比，例如，在证明线段相等时，我们常常去证明它们分别与第三个量相等，通过“等量代换”得到所需要的结论.在证明线段成比例时（两个比相等），注意让学生把每一个比看成一个整体，分别证明它们与第三个比相等，通过这个比来过渡，这就是所谓利用“中间比”的方法.这样类比，学生就可以把他们不熟悉的问题，转化为他们已熟悉的问题了；第二是注意关于比例式的变形训练，要贯穿教学始终，通过具体实例，反复演练，便可扫除障碍，掌握比例变形的规律.在教学中，应注意全等三角形与相似三角形之间的联系，不仅可以利用类比法研究相似三角形的判定与性质，也可依照全等三角形来归纳整理相似三角形的知识，通过对比，加深对相似三角形的认识和理解.在教学中要理论联系实际，把学得的课本知识服务于社会，应用在实际中，以调动学生学习的积极性，与此同时，把数学思想方法要贯穿在教学始终，如类比的方法，数形结合法，矛盾转化的方法等，把数学的思想方法交给学生.指点迷津抓住相似三角形的“对应”线段，写出比例式，然后结合比例性质进行变换，便可获证，在学习中要善于逆向思维，如“两个相似三角形的面积比为，则它们的相似比是 ”.对本单元几个基本图形要熟记，如图3-2-1.对于图形（1）（5）是学好本单元内容常见图形，利用它们可以攻克有关相似形的难题，为以后学习圆也打下了坚实基础.图3-2-1二、学 海 导 航思维基础一、 填空题（1）对应角 ，对应边 的三角形，叫做相似三角形，相似比等于 的相似三角形就是全等三角形.（2）判定两个三角形相似的条件有： 个角分别对应相等；两条边对应 ，并且 角相等；三边对应 .判定两个直角三角形相似，还有 边和一条 边对应成比例.（3）相似三角形的对应角 ；对应线段的比等于 ；相似三角形周长比等于 ；面积比等于 .（4）如果两个边数相同的多边形的 相等 成比例，这两个多边形叫做相似多边形.（5）相似多边形周长比等于 ，对应对角线的比等于 ；相似多边形面积比等于 相似多边形中的 相似.二、 选择填空题（1）如图3-2-2，矩形ABCD中，BEF=90，相似三角形是（ ）.（A）和 （B）和（C）和 （D）和 图3-2-2 图3-2-3（2）如图3-2-3，梯形ABCD的腰AD，BC的延长线交于P，AC交BD于Q，PQ交AB、DC于M、N，图中相似三角形的组数是（ ）.（A）6 （B）5 （C）4 （D）3（3）下列各组的两个图形一定相似的是（ ）.（A） 两个矩形；（B） 等腰梯形中位线把它分成的两个等腰梯形；（C） 对应边成比例的两个多边形；（D） 有一个角相等的两个菱形；（4）如果两个四边形的四个角分别对应相等，那么这两个四边形（ ）.（A）全等 （B）相似 （C）不相似 （D）不一定相似三、 填空题（1） 在比例尺上1140000的地图上，量得甲、乙两地距离2.5cm，那么甲、乙两地的实际距离是 .如图3-2-4，EDBC，DFAB，若SAED=4，SDFC=9，则SBFDE= .图3-2-4（3）在RtABC中，AD是斜边上的高，AB=4，AC=5，则SABCSDACSDAB= .（4）将长为8cm，宽为6cm的长方形ABCD折叠，使B、D两点重合，折线EF的长为 .经典题解例 已知：如图3-2-5,ABC，P是AB上一点，连结CP，满足什么条件时，ACP与 ABC相似.图3-2-5【思考】1.例题的图形有什么特点？问题19与例题特点有何相似之处？2.如何借助例题打开19的思路？【思路分析】这道例题十分简单，图形对大家来说又很熟悉，然而这一基本图形的特点是：有一个公共角的两个三角形相似的证题的思维是：（一）必须找一对对应角相等；（二）或者夹公共角的对应边成比例，只要按这两条探索，本例就能圆满解决.ACPABC【解】1=B A=AACPABC 2=ACP A=AACPABC A=A又因ABAC=ACAPAC2=ABAP，因此得，当1=B，或2=ACB，或AC2=ABAP时，ACPABC.这道例题容易解决，以它为基础，只要告知问题与其基本图形一样，利用它的两大思路作“向导”，便可解决一系列的有关问题.问题1：如图3-2-6，ABC是等边三角形，DAE=120，D、B、C、E共线，则图中有相似三角形的个数至少为（ ）.（A）1对 （B）2对（C）3对 （D）4对揭示思路：可把DAB和DEA看作有一个公共角ADE的基本图形，再把EAC和DEA看作一个公共角AEB的基本图形. 图3-2-6 图3-2-7问题2：已知：如图3-2-7，D、E是ABC的边BC上两点，且BAD=C，DAE=EAC.求证：BDBA=DEEC揭示思路：把ABD和ACB看作有公共B的基本图形.问题3：如图3-2-8，已知：PQR是等边三角形，APB=120，求证：（1）PAQBPR；（2）AQRB=QR2.揭示思路：同问题1相仿，不再叙述. 图3-2-8 图3-2-9问题4：AD为ABC（ABAC）的角的平分线（如图3-2-9），AD的垂直平分线和BC的延长线交于点E，求证：DE2=BECE揭示思路：连结AE，把ACE与ABE看作公共E的基本图形.问题5：如图3-2-10：四边形ABEG、CEFH、HFCD都是边长为a的正方形，（1）计算AE、AF、AC的长；（2） 求证：AEFCEA；（3） 求证：AFB+ACB=45.图3-2-10揭示思路：把AEF与CEA看作有公共AEF的基本图形.问题6：如图3-2-11，已知ABC中，P为AB上的一点，PCA=B，AP=9cm，PB=3cm，求AC的长.揭示思路：把ABC与ACP看作有公共角A的基本图形.问题7：如图3-2-12：ABC中，BAC=90，ADBC于D，DE为AC的中线，延长线交AB的延长线F，求证：ABAF=ACDF 图3-2-11 图3-2-12揭示思路：把DBF和ADF看作有公共角F的基本图形.问题8：如图3-2-13，D是ABC的边BC上的一点，且BAD=C，若AB=a,AD=b,AC+BC=c，求AC的长.揭示思路：把BAD和BCA看作有公共角B的基本图形. 图3-2-13 图3-2-14问题9：如图3-2-14：D为ABC的边AC的一点，DBC=A，已知BC=，BCD与ABC的面积的比是23，则CD的长是（ ）.（A） （B） （C） （D）揭示思路：把ABC和BDC看作有公共角C的基本图形.从以上九个问题可知，涉及求值、求证线段成比例、求角度等方方面面的题目，只有一个不变内容，即其基本图形，对每个问题只要能找到基本图形，思路就能打开.由此看来，对课本中介绍的基本图形（指点迷津介绍的五种基本图形）的特点一定要熟练地掌握住，在遇到新的问题或陌生问题，可进行解剖，从中挖掘出基本图形，应用基本图形作开路先锋，思中便容易畅通，由此也启示我们，要认真学好教科书上基础知识，可以以少胜多，事半功倍.思维体操例 如图3-2-15，在ABC中，D、E分别为BC的三等分点，AC边上的中线BM交AD于P，交AE于Q，若BM=10cm，试求BP、PQ、QM的长. 图3-2-15 图3-2-16【思考】1.遇到三角形的中线，中点问题通常添设哪些辅助线？2.面积法证题的思路是什么？3.你会构造中心对称图形吗？4.你会用数形结合的思维方法去分析问题吗？【思路扩散1】由AC边的中线BM启示我们，“遇到中线常加倍”这是证解中线问题好办法，对本例当然也实用.【解】延长BM到点N，使MN=MB， AM=CM，BME=NMA BMCNMA， AN=BC BDAN， BPDNPA BDAN=BPPN即 BDBC=BPPN=13 ， BM=10， PB=5同法可求：BQ=8 PQ=BQ-BP=3，QM=10-BQ=2.【思路扩散2】（构造中位线）：因为本例告知的中点有三个，M是AC的中点，D是BE中点，E是DC的中点，根据解题经验告知我们，“遇到中点构造中位线，思路易呈现”.既然本例告知三个中点，构造中位线的方法至少有几种，现分别叙述如下：如图3-2-17，过A点作ANBM交CQ的延长线于N，则BM是ANC的中位线.图3-2-17 AM=2BM，BN=BC BDND=14 （1）BD=DE=EC BENE=25 DBPDANBDND=PBAN （2） EQBEANBENE=BQAN （3）由（1）（2）（3）BPBM= BP=5（cm） BQBM= PQ=3(cm) BP+PQ+QM=BM=10 QM=2(cm)【思路扩散3】（构造中位线）如图3-2-18，连ME，可知PB为BME的中位线图3-2-18BP=PM=BM=5 AD=2ME，ME=2PD QAPQEMPQQM=APMEPQQM=32 PQ=3，QM=2. PM=PQ+Q【思路扩散4】（构造中位线）如图3-2-19，过点C作CGBM，分别交AD、AE延长线于G、F二点，则PM为AGC中位线. GC=2PM DBPDCGPBGC=BDDC=12PB2PM=12 PB=PM=5 PM+PM=10BMGC QMFC=AMAC=12 BEEC=BQFC=21BQFC=BQ2QM=21 QM=2 BQ+QM=10 又5+PQ+2=10PQ=3.图3-2-19【思路扩散5】（构造中位线）图3-2-20如图3-2-20，过M点作MNBC分别交AE，AD，AN于点F，G，N，则BD=DE=EC=2MF=2FG=2GN（三角形中位线性质）PBDPMGPB=PM=BM=5MNBCQMFQBE MQQB=MFEB= （1）BQ+MQ=10 （2）由（1），（2）MQ=2，BQ=8 PQ=3.5+PQ+2=10【思路扩散6】（构造中位线）如图3-2-21，过点D、E分别作ND、EF均平行于BM且交AC于N、F两点，则EF，MN=NF=FC=AM. APMADNPMDN=AMAN= AQMAEFQMEF=AMAF= CEFCBMBMEF=BCEC=31BMPMQM=1032 BP=5，PQ=3，QM=2.BM=10，PMEF=BM=5 图3-2-21 图3-2-22【思路扩散7】（构造中位线）如图3-2-22，过D、E分别作DN、EF平行于AC，且分别交BM于N、F二点，则BN=NF=FM， PDNPAMPNPM=DNAM=13 QEFQAMQFQM=EFAM= QFQMPNPMPQ=3PM=5， 2+PQ=PM【思路扩散8】（构造中位线）如图3-2-23，过D作DGAE交CA的延长线于G点，又分别交BM、BA于点N、F，根据三角形中位线性质，已知 AEDG，AM=MC， ， DNAQ=13BN=NQ=2QM，BM=10BP=5，PQ=3，QM=2.图3-2-23【思路扩散9】一般告知中点问题通常也采用中心对称法，再数形结合，可找到十分简捷、巧妙的解法.以M为对称中心，作ABC的中心对称图形ABC（如图3-2-24），则DCAD，ECAE，使BP=x，PQ=y，QM=z，由中心对称性质可得图3-2-24 即BP=5，PQ=3，QM=2.【思路扩散10】由图形可发现几个三角形有等底共高的特点，因此，可联想面积法证明，思路很畅通.图3-2-25如图3-2-25，连结PC，QC由 同理BQQM=41BP+PM=10，BQ+QM=10PB=5，PQ=3，QM=2.对于求线段的长，可添设平行线，构造出相似三角形，使各线段之段发生关系，再借助比例性质进行变换，便可达到目的.【思路扩散11】如图3-2-26，过点B作BNAC交AE、AD的延长线于N、G，则EACENB， ACBN=CEEB， AMBN=14 ACBN QMAQBN， AMBN=QMQB=14 QM（BM-QM）=14 BM=10， QM=2 BNAC， PBGPMA，DBGDCA BGAC=BDDC=12 BGAM=BPPMBPPM=11P为BM中点BP=BM=5=PM故PQ=PM-QM=5-2=3图3-2-26【思路扩散12】如图3-2-27，过B作BFAE交CA、AD的延长线于F、N二点，余下步骤留给读者，读者实战练习，写出具体解题步骤.【思路扩散13】如图3-2-28，过点B作BFAD交CA的延长线于点N，EA的延长线于点F.余下步骤请读者完成.【思路扩散14】如图3-2-29，过点C作GNAB交AD、AE、BM的延长线分别为G、F、N，则MABMCN FCAB=CEEB=12CN=2FC ECFEBA CN=ABGNABABDGCDABGC=BDDC=12GC=2ABGN=3ABPB=5BPPN=ABGN=13 BP+PN=20ABGNAQBFQNBQQN=ABFN=AB（FE+CN）=CN（FE+CN）=2FC3FC=23BQ+QN=20 PQ=3 BP+PQ+QM=10 5+3+QM=10 QM=2. 图3-2-27 图3-2-28 图3-2-29【思路扩散15】如图3-2-30，过C点作CNAD分别交AE、BM的延长线于F、N二点，则MAPMCN，请继续完成余下的步骤. 图3-2-30 图3-2-31【思路扩散16】如图3-2-31，过点C作CGAE，分别交BM、BA，DA的延长线于N、F、G三点，余下步骤，请读者接着写下去，一定能达目的.思路分析这道例题还可以继续扩散，可达20余种.在解有关相似三角形问题时，思路纵横、宽阔，使人感到有些茫然，到底走哪条思路，沿哪条思路走下去才“平坦”？本便已告知我们，当遇到中线问题，可有两大常规思路：“遇到中线常加倍，思路明白又省劲”，因为中线加倍后，可构造平行四边形，全等三角形等，各种隐含关系被挖掘出来，把分散的条件又集中起来，使思路明朗化.这一规律要熟记，以便今后更好地应用.其次是“遇到中点构造中位线，思路出现在眼前”.思维扩散28七种构造三角形中位线的方法，从不同角度、不同位置、不同的方法构造出三角形中位线，使问题都得到圆满解决，展示了构造三角形中位线的各种方法，开阔了眼界，拓宽了思路.学会了构造三角形中位线方法，使数学素养得到提高.遇到中点问题转化为中心对称问题时，思维扩散9也作出示范，读者可仿效.研究线段之间的关系，可“添设平行线”，添设平行线后，可构造出相似三角形，出现新的比例式，进行新的组合（如中间比代换、等积代换、等线段代换等），便可发现新的关系，再借助比例的基本性质，便可找到思路，思维扩散1116是读者学习的典范.面积法对等高或等底，等高不等底，等底不等高方面的问题，也是行之有效的，思维扩散10的求解过程确凿地证明了这一点.难题解析例 如图3-2-32，自ABC的顶点引两条射线交BC于P、Q，使BAPCAQ，求证：图3-2-32【思考】1.共高或等高三角形面积的比等于什么？2.S=（为边a、b的夹角）这个公式你知道吗？是否会证明这个公式？是否会应用这个公式？【思路分析】本例题设与结论，两者很难找到关系，给证题带来麻烦.继续探索，观察图形，像是似曾相识，不难发现与课本一道例题相似，这四个三角形等高，“面积法”的思维火花在脑海虽闪现，照亮了前进道路，找到简捷证法.【证明】阿！给人一个惊喜！所证问题左边完全相似，良好的开端是成功的一半，那么下一步当然仿效面积证法，再如：.成功了！面积法威力大，遇到等高（或等底）别忘“它”，“它”可帮你想办法，请读者写出它的证明过程吧！【思考】1.添设平行线，构造相似三角形，是研究线段之间关系重要方法，你说对吗？2.添设平行线的原则是什么？【思路分析】添设平行线，构造相似三角形，是研究线段之间关系的重要方法，尽管道路坎坷，荆棘丛生，只要勇于探索，黎明前的黑暗即将过去，胜利曙光在“招手”，添设平行线吧！会成功的.【解】如图3-2-33，作PFAB交A，于点F，作EAC交QP于点E，1BAPCA2PAFAEPAF AEEPF=AAPACEP EPCAEAC=PPC （1）ABPFP FB APFAB=PB （2）由（1），（2） 图3-2-33 图3-2-34【解】再应用添放平行线方法，试证如下：如图3-2-34，作BEAQ交AP延长线于E点，作CFAP交AQ延长线于F点， BAECAFABAC=BECF （1） BPFAPQBPPQ=BEAQ CAPAPQCQPQ=CFAP 遇到难题是学习中的常事，但对难题要有攻破的必胜信心，再者就是研究攻破的方法，方法不是天上掉下来的，也不是现成就有的，要积极进行思维：这道题可否剖析成几个基本图形？可否用数形结合法？可曾和我们学过的问题有否相似之处？是否可转化为我们熟悉问题？是否能用我们学过的面积法？积极进行思维，光明前程在招手.如本例，通过思维，进而联想与本文“思维扩散”的例子有相仿之处，便把这个陌生难题转化成我们熟悉的问题.在遇到难题时，首先应用常规方法投石问路，说不定也能打开思路，如本例，若添设平行线，构造相似三角形，使各线段之间发生了关系，使证题出现了契机，要抓住契机，与面积法配伍，也使问题出现了新生.总之，要积极思维，多方位探索，金石为开！三、智 能 显 示心中有数相似三角形在初中数学中至关重要，它非常“随和”，与全等三角形、圆、函数、方程、方程组、三角函数、解直角三角形都很“亲近”，在中考中的综合题“它”也经常参与.因而，对相似三角形这一单元的学习必须强化，要投入更多的精力学好它，对基础知识一定要娴熟掌握，达到举一反三，触类旁通.对本单元学习的基本图形，思维方法也要熟练驾驭，把这些基础的东西储存牢，再遇到新问题，通过联想，便可引发出新的思维.动脑动手1. 如图3-2-35，ABC中，DEFGBC，GIEFAB，若ADE，EFG，GIC的面积分别为20cm2，45cm2，80cm2，求ABC的面积. 图3-2-35 图3-2-362. 如图3-2-36，在ABC中，AB=AC，AD为BD边上的高，AD的中点为M，CM的延长线交AB于K点，求证：AB=3AK3. 已知ABC的边AB，AC=2，BC边上的高AD，（1）求BC的长；（2）如果有正方形的一边在AB上，另两个顶点分别在AC、BC上，求这个正方形面积.4. 在RtABC中，C=90。AB=5cm，AC=4cm，以C为顶点，作一个内接等边三角形，且使它的一边在RtABC的一边上.（1） 符合上述条件的等边三角形能作几个，请你分别画出图形.（2） 在这些等边三角形中，哪一个面积最大？最大面积是多少？（精确到0.01cm2）5. 如图3-2-37，一块直角梯形的田地与两底垂直的一腰长84m，两底分分别为44m，65m，现在要修一条与两底平行，宽4m，并使道路两旁面积相等，试确定路的位置（即求道路的一边与一底之间的距离）.图3-2-37四、 同 步 题 库一、 填空题1. 如图3-2-28，已知在RtABC，中CD为斜边AB上的高，CAB的平分线交DC于E、交BC于F，在这个图形中，共有相似三角形 对.2.如图3-2-39，已知在RtABC中，DC是斜边AB上的高.在这个图形中，两组相等的锐角是 ；三个连续相似的三角形是 ；AC2BC2等于 两条线段的比. 图3-2-38 图3-2-393.已知两个相似三角形周长的比为，那么这两个三角形面积的比是 .4.如图3-2-40，已知DEBC，AD=2cm，BD=DE=3cm，那么BC= .5.已知在ABC中，DEBC，AEAC=13，SBDEC=12，那么SADE= . 图3-2-40 图3-2-416. 把一个三角形变成与它相似的三角形.如果边长缩小为原来的倍，那么面积缩小为原来的 倍.7.如图3-2-41，已知在RtABC中，DC为斜边上的高，E为AB的中点，BC=3cm，AC=4cm，那么DC= cm，DE= cm.8.已知两个相似多边形的最长边分别为25cm和10cm，它们周长的差为60cm，那么这两个三角形的周长分别为 .9.在RtABC中，AD为斜边上的高，SABC=4SABD，那么ABBC的值为 .10.已知D、E分别是ABC的边AB、AC的中点，若DE=2，则BC ；SADES四边形BCED= .二、 选择题11.如图3-2-42，A=63，AOC=61，则B=（ ）.（A）63 （B）61 （C）59 （D）56图3-2-4212.如3-2-43图，ACB=ADC=90，BC=a，AC=b，AB=c，要使ABCCAD，只要CD等于（ ）.（A） （B）（C） （D）13.如图3-2-44， ABCD中，E是BC中点，F是BE的中点，AE与DF交于H，SEFH与SADH的比值是（ ）.（A） （B）（C） （D） 图3-2-43 图3-2-4414.如图3-2-45，已知D、E分别在ABC的AB、AC边上，AED=B，那么下列各式中正确的是（ ）.（A） （B）（C）ADAB=AEAC （D）ADBC=ABDE图3-2-4515.如图3-2-46，已知在 ABCD中，AB=10cm，AD=6cm，E为AD的中点.在AB上取点F，使CBFCDF，那么AF的长为（ ）.（A）5cm （B）8.2cm（C）64cm （D）7.8cm16.如图3-2-47，已知ABC中，四边形CEDF是矩形，BC=6，AC=8，那么BFDE等于（ ）.（A）34 （B）916 （C）2764 （D）288117.如图3-2-48，已知ABDE，AFC=F，那么BCAC等于（ ）.（A）ACCE （B）CDAC （C）ACCD （D）ACCF 图3-2-46 图3-2-47 图3-2-4818.已知两个相似多边形的面积比m1，周长的比为n1（m、n0），那么n等于（ ）.（A） （B） （C）2m （D）m219.如图3-2-49，已知在ABC中，DEBC，SADESABC=18，那么AEEC=（ ）.（A）18 （B）12 （C）1 （D）1 图3-2-49 图3-2-5020.如图3-2-50，已知FGBC，SAFGSABC=23，BC=12cm，那么FG的长为（ ）.（A）8cm （B）4cm （C）4cm （D）4cm三、 解答题21.如图3-2-51，ABC中，BAC=90，ADBC于D点，P为AD中点，BP的延长线交AC于E点，EFBC于F点，求证：EF2=AEEC. 图3-2-51 图3-2-5222.如图3-2-52，以RtABC的直角边AC、BC为边向外作正方形ACEF和BHGC，连接AH、BF分别交BC、AC于K、L.求证：CL=CK.23.如图3-2-53，已知在ABC中，ADBC于D，CFAB于F，AP=AD，PQBC，PQ=a.求CF的长.24.如图3-2-54，已知在梯形ABCD中，ADBC，SBOC=9cm2，SAOD=4cm2，求梯形ABCD的面积.25.如图3-2-55，已知AD是ABC中BC边上的中线，CAD=B，AD上有一点E，且AEC=ADB.求证：. 图3-2-53 图3-2-54 图3-2-5526.如图3-2-56，已知在 ABCD中，P为BD上任意一点，HE过P分别交DC、AB于H、E，GF过P分别交AD、BC于G、F.求证：EFGH.27.已知如图3-2-57，矩形DEFG内接于ABC，点D在AB上，点G在AC上，E、F在BC上，AHBC于H，且交于N，BC=18cm，AH=6cm，DEDG=23，求矩形DEFG的周长.28.如图3-2-58，在正方形网格上，有ABC和A1B1C1，求证ABCA1B1C1. 图3-2-56 图3-2-57 图3-2-5829.如图3-2-59，在 ABCD中，EFBC，GHAB，EF、GH的交点P在BD上（P不是BD中点）.，EF和GH把原平行四边形分成四个互不重叠的小平行四边形.（1）图中哪两个小平行四边形的面积相等？为什么？（2）图中哪些小平行四边形相似？为什么？30.如图3-2-60，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC上一点，且BE=BF，作PBCE于P，求证：PDPF. 图3-2-59 图3-2-60参 考 答 案动脑动手1. 本例是研究相似三角形面积，应用“要似三角形面积的比等于相似比的平方”即可找到思路.思路一：设AE=a，EG=b，GC=c，由题设可知：ADEEFGGICABC 三式分别开方，并相加，得 将上式两边平方，得 SABC=405（cm）2.思路二：设AE=a，EG=b，GC=c 由题设可证： ADEEFGGICABC abc=234 (cm)2.思路三：设SEHC=S，SEFG=S1，SGIC=S2 FGBCEFGEHC GIEHGICEHC （1） 将（1）式两边平方，得 S=S1+S2+2 SFHIG=S-S1-S2=2 （2） 将S1=45，S2=80代入（2），得： SFHIG=2 故SEHC=45+80+120=245（cm2） 再应用（2）式，得 SDBHE=2=140（cm2） SABC=20+245+140=405（cm2）2. 本例由AB=AC，且ADBC，得BD=DC，即D为BC中点，又AM=MD，M为AD中点，由于有两个中点，可架设中位线，要中线加倍，可架设平行线，可用面积法，可用射影法近30种解法本文只重点写出几种有代表性的解法，其余许多种解法，请读者一一研究，进行思维扩散，写出完整证明过程.（一） 架设中位线法思路一：如图3-2-61，取BK的中点N，加接DN 图3-2-61 图3-2-62 D为BC中点 DNMK M为AD中点 AK=KN N为BK的中点， BK=NK=AK=AB， AB=3AK（二） 中线加倍法思路二：如图3-2-62，延长MD至N，且使DN=DM=AM AB=AC ADBC BD=DC BNCM为 BNCM ， AB=3AK.图3-2-63（三） 添加平行线法思路三：如图3-2-63，过点A作ANKC交BC的延长线于点N，则 .（四） 面积法思路四：如图3-2-64，连接BM图3-2-64 .（五） 射影法思路五：如图3-2-65，分别过A、B、D作CK的垂线，垂足分别为N、E、F，则BE=2DF=2AN（MDFAMNAN=DF），ANBE.3. 因AB=，AC=2，高，虽然AB、AC均比AD长，本例应考虑两个方面，D点在BC上或在BC的延长线上，二者缺一不可.图3-2-65思路： AB，A均比AD长，于是知点D在BC上或BC的延长线上.（1）若D在BC上，如图3-2-66（1）， 则BD= BC=BD+DC=4. 若D在BC延长线上，如图3-2-66（2）， BC=BD-CD=2（2）当BC=4时 BC2=AB2+AC2 ABC为直角三角形这时内接正方形AEFG应如图3-2-67所示，设正方形边长为xGFAB S正方形AEGF 当BC=2时，AC=2，AB边上的高为如图3-2-68，正方形EFGH的边EF在AB上设EF=x，GHABCGHCBA S正方形EFGH=. 图3-2-66 图3-2-67 图3-2-684.思路:在RtABC中,C=90 AB=5cm，AC=4cm， BC=3cm.图3-2-69（1） 符合条件的等边三角形能作出3个，如3-2-69（1）（3）所示.（2） 如图3-2-69（1）过E作EDAC于D，有DEBC ADEACB DEBC=ADAC 设DE=x，则 （cm）.如图3-2-69（2）过E作EDBC于D，有DEAC EBDABC DEAC=BDBC 设DE=x，则 3 （cm）.如图3-2-69（3），过点C作CDAB于D CDAB=ACBC， 又 2.42.352.09 第种情况下的等边三角形面积最大，SCEF3.33（cm2） 答：当C为顶点，其对边在斜边上时，构成的等边三角形面积约为3.33cm2是最大.5.（如原题图及辅助线） 思路：作如图辅线后，则CPFCRB 设CP=h1，QR=h2，于是有 FHMCRB， 依题意，得方程组： h1+h2=80 （1） （2）（1） 代入（2）整理，得因式分解